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期末专项培优 解二元一次方程组
一．解答题（共5小题）
1．（2024 沙河口区期末）用指定的方法解下列方程组：
（1）（代入法）；
（2）（加减法）．
2．（2024 杭州模拟）已知关于x，y的二元一次方程（a﹣1）x+（a+2）y+5﹣2a＝0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
3．（2024 莘县期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
4．（2024春 衡阳期末）已知关于x、y的方程组满足，且它的解是一对正数．
（1）试用m表示方程组的解；
（2）求m的取值范围；
（3）化简．
5．（2024 东海县校级期中）先阅读，然后解方程组．
解方程组时，可由①得x﹣y＝1③，然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”．
请用这样的方法解方程组．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 武汉）定义运算“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a、b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝　 　．
7．（2024春 阳信县期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝3，则m的值为　 　
8．（2024 锦江区期末）若方程组，则　 　．
9．（2024 龙岗区期末）已知方程组，则2a+3b的值是　 　．
10．（2024 秦淮区期末）二元一次方程组有可能无解．例如方程组无解，原因是：将①×2得2x+4y＝2，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于x、y的方程组无解，则a、b须满足的条件是　 　．
三．选择题（共5小题）
11．（2024 广州）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
12．（2024 巴中）若单项式2x2ya+b与xa﹣by4是同类项，则a，b的值分别为（　　）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝﹣1
13．（2024 蜀山区自主招生）方程组的解的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2024 西安期末）已知二元一次方程组无解，则a的值是（　　）
A．a＝2 B．a＝6 C．a＝﹣2 D．a＝﹣6
15．（2024 河北）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去y，可以将①×5+②×2
B．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
C．要消去y，可以将①×5+②×3
D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
期末专项培优 解二元一次方程组
参考答案与试题解析
一．解答题（共5小题）
1．（2024 沙河口区期末）用指定的方法解下列方程组：
（1）（代入法）；
（2）（加减法）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把①代入②得出x的值，再把x的值代入①求出y的值，从而得出方程组的解；
（2）①×3+②×2得出19x＝114，求出x，把x＝6代入①求出y即可．
【解答】解：（1），
把①代入②得：3x+2（2x﹣3）＝8，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
则原方程组的解是：．
（2），
①×3+②×2得：19x＝114，
解得：x＝6，
把x＝6代入①得：18+4y＝16，
解得：y，
所以方程组的解．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
2．（2024 杭州模拟）已知关于x，y的二元一次方程（a﹣1）x+（a+2）y+5﹣2a＝0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；方程思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】将已知方程按a整理得（x+y﹣2）a＝x﹣2y﹣5，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，所以只须x+y﹣2＝0且x﹣2y﹣5＝0．联立以上两方程即可求出结果．
【解答】解：将方程化为a的表达式：（x+y﹣2）a＝x﹣2y﹣5，
由于x，y的值与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，
所以有，
解得．
【点评】本题考查了关于x的方程ax＝b有无穷解的条件：a＝b＝0，此知识点超出初中教材范围，属于竞赛题型．同时考查了二元一次方程组的解法．本题关键在于将已知方程按a整理以后，能够分析得出这个方程的解与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，从而转化为求解关于x、y的二元一次方程组．
3．（2024 莘县期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】把甲的结果代入第二个方程，乙的结果代入第一个方程，联立求出m与n的值，即可确定出原方程组的解．
【解答】解：把代入得：7+2n＝13，
把代入得：3m﹣7＝5，
解得：n＝3，m＝4，
∴原方程组为，
解得：．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．（2024春 衡阳期末）已知关于x、y的方程组满足，且它的解是一对正数．
（1）试用m表示方程组的解；
（2）求m的取值范围；
（3）化简．
【考点】解二元一次方程组；绝对值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用解二元一次方程组的知识把m当做已知，表示出x、y的值即可；
（2）根据方程组的解是一对正数列出不等式组，求出m的取值范围即可；
（3）根据m的取值范围及去绝对值符号的法则去掉绝对值符号再计算即可．
【解答】解：（1）
由①﹣②×2得：y＝1﹣m③，
把③代入②得：x＝3m+2，
∴原方程组的解为；
（2）∵原方程组的解为是一对正数，
∴，
解得，
∴m＜1；
（3）∵m＜1，
∴m﹣1＜0，m0，
，
＝1﹣m+m，
．
【点评】此题综合性较强，综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，是中学阶段的重点内容．
5．（2024 东海县校级期中）先阅读，然后解方程组．
解方程组时，可由①得x﹣y＝1③，然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”．
请用这样的方法解方程组．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】整体思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y的值，进一步求出方程组的解即可．
【解答】解：，
由①得2x﹣y＝2③，
将③代入②得2y＝12，
解得y＝5，
把y＝5代入③得x＝3.5．
则方程组的解为．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握整体代入法解方程组的一般步骤是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 武汉）定义运算“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a、b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝　10　．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】已知等式利用新定义化简，求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
【解答】解：根据题中的新定义化简已知等式得：，
解得：a＝1，b＝2，
则2*3＝4a+3b＝4+6＝10，
故答案为：10．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
7．（2024春 阳信县期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝3，则m的值为　1　
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】②﹣①得到x﹣y＝4﹣m，代入x﹣y＝3中计算即可求出m的值．
【解答】解：，
②﹣①得：x﹣y＝4﹣m，
∵x﹣y＝3，
∴4﹣m＝3，
解得：m＝1，
故答案为：1
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．（2024 锦江区期末）若方程组，则　　．
【考点】解二元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】把t当成已知数，求出方程组的解，再代入求出即可．
【解答】解：
①+②×5得：17x＝11t，
解得：x，
把x代入②得：y＝t，
解得：y，
所以，
故答案为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能求出二元一次方程组的解是解此题的关键．
9．（2024 龙岗区期末）已知方程组，则2a+3b的值是　3　．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】应用加减消元法，求出2a+3b的值是多少即可．
【解答】解：
①﹣②，可得：2a+3b＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
10．（2024 秦淮区期末）二元一次方程组有可能无解．例如方程组无解，原因是：将①×2得2x+4y＝2，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于x、y的方程组无解，则a、b须满足的条件是　a且b≠2　．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】①×2得2x+2ay＝2b，根据方程组无解得出2a＝3且2b≠4，解之可得．
【解答】解：，
①×2，得：2x+2ay＝2b，
由题意知2a＝3且2b≠4，
解得：a且b≠2，
故答案为：a且b≠2．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是理解并掌握方程组无解的情况．
三．选择题（共5小题）
11．（2024 广州）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．
【解答】解：法1：，
①+②×5得：16a＝32，即a＝2，
把a＝2代入①得：b＝2，
则a+b＝4，
法2：①+②得：4a+4b＝16，
则a+b＝4，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
12．（2024 巴中）若单项式2x2ya+b与xa﹣by4是同类项，则a，b的值分别为（　　）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝﹣1
【考点】解二元一次方程组；同类项．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】利用同类项的定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．
【解答】解：∵单项式2x2ya+b与xa﹣by4是同类项，
∴，
解得：a＝3，b＝1，
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
13．（2024 蜀山区自主招生）方程组的解的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】解二元一次方程组；绝对值．
【专题】分类讨论．
【答案】A
【分析】由于x、y的符号不确定，因此本题要分情况讨论．
【解答】解：当x≥0，y≤0时，原方程组可化为：，解得；
由于y≤0，所以此种情况不成立．
当x≤0，y≥0时，原方程组可化为：，解得．
当x≥0，y≥0时，，无解；
当x≤0，y≤0时，，无解；
因此原方程组的解为：．
故选：A．
【点评】在解含有绝对值的二元一次方程组时，要分类讨论，不可漏解．
14．（2024 西安期末）已知二元一次方程组无解，则a的值是（　　）
A．a＝2 B．a＝6 C．a＝﹣2 D．a＝﹣6
【考点】解二元一次方程组；解一元一次方程．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】由②得出y＝2x﹣1③，把③代入①得出（a+6）x＝5，根据方程组无解，得到a+6＝0，求出即可．
【解答】解：，
由②得：y＝2x﹣1③，
把③代入①得：ax+3（2x﹣1）＝2，
∴（a+6）x＝5，
∵方程组无解，
∴a+6＝0，
∴a＝﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程（a+6＝0），题目比较典型，但一点难度，是一道容易出错的题目．
15．（2024 河北）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去y，可以将①×5+②×2
B．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
C．要消去y，可以将①×5+②×3
D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：利用加减消元法解方程组，要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2．
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
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