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期末专项培优 平方根
一．选择题（共5小题）
1．（2024 黄陂区校级自主招生）实数的平方根为（　　）
A．a B．±a C．± D．±
2．（2024 东营）的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．±9 D．9
3．（2024春 孟村县月考）若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
4．（2024 南开区校级模拟）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1
5．（2024 承德模拟）如果（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二．填空题（共5小题）
6．（2024 庆阳）的平方根是 　 　．
7．（2024 仁寿县校级月考）若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a＝　 　，这个正数是　 　．
8．（2024 广东）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝　 　．
9．（2024 青海）若实数m，n满足（m﹣1）20，则（m+n）5＝　 　．
10．（2024 济宁模拟）在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2022春 克拉玛依区校级期末）已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
（1）求这个正数是多少？
（2）的平方根又是多少？
12．（2024春 金安区校级期末）一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．
13．（2024 兰州期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的值．
14．（2023春 恩施州期中）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；
（2）若2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，求a的值．
15．（2024 安岳县校级月考）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；
（2）根据上面的规律，可得　 　．
（3）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．
期末专项培优 平方根
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 黄陂区校级自主招生）实数的平方根为（　　）
A．a B．±a C．± D．±
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】首先根据算术平方根的定义可以求得|a|，再利用绝对值的定义可以化简|a|即可得到结果．
【解答】解：∵当a为任意实数时，|a|，
而|a|的平方根为．
∴实数的平方根为．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平方根的性质，注意此题首先利用了|a|，然后要注意区分平方根、算术平方根的概念．
2．（2024 东营）的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．±9 D．9
【考点】平方根；算术平方根．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】根据平方运算，可得平方根、算术平方根．
【解答】解：∵，
9的平方根是±3，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，平方运算是求平方根的关键．
3．（2024春 孟村县月考）若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
【考点】平方根．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a﹣b的值．
【解答】解：∵a2＝4，b2＝9，
∴a＝±2，b＝±3，
∵ab＜0，
∴a＝2，则b＝﹣3，
a＝﹣2，b＝3，
则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平方根的定义以及有理数的乘法等知识，得出a，b的值是解题关键．
4．（2024 南开区校级模拟）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1
【考点】平方根．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．
【解答】解：当2m﹣4＝3m﹣1时，m＝﹣3，
当2m﹣4+3m﹣1＝0时，m＝1．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是平方根的性质，明确2m﹣4与3m﹣1相等或互为相反数是解题的关键．
5．（2024 承德模拟）如果（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】算术平方根．
【专题】计算题；数感；运算能力．
【答案】B
【分析】如果（0＜x＜150）是一个整数，则它一定是一个数的平方的形式．把150分解因数得5，5，2，3，凑质数的平方即可解决问题．
【解答】解：∵，
而（0＜x＜150）是一个整数，且x为整数，
∴5×5×2×3x一定可以写成平方的形式，
所以可以是6，24，54，96共有4个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根的性质，解题关键是把150分解因数得5，5，2，3，凑质数的平方即可．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 庆阳）的平方根是 　±2　．
【考点】平方根；算术平方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵4
∴的平方根是±2．
故答案为：±2
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
7．（2024 仁寿县校级月考）若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a＝　﹣1　，这个正数是　9　．
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，由此即可列出方程求解．
【解答】解：依题意得，2a﹣1+（﹣a+2）＝0，
解得：a＝﹣1．
则这个数是（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9．
故答案为：﹣1，9
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
8．（2024 广东）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝　2　．
【考点】平方根．
【专题】计算题；实数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：根据题意知x+1+x﹣5＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
9．（2024 青海）若实数m，n满足（m﹣1）20，则（m+n）5＝　﹣1　．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而可求出（m+n）5的值．
【解答】解：由题意知，
m，n满足（m﹣1）20，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴（m+n）5＝（1﹣2）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
10．（2024 济宁模拟）在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值　406　．
【考点】算术平方根．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】先分别求出①②③④的结果，发现的规律①＝1；②＝1+2；③＝1+2+3；④＝1+2+3+4．以此类推，1+2+3+4+…+28，由此即可求解．
【解答】解：∵①1；
②3＝1+2；
③6＝1+2+3；
④10＝1+2+3+4，
∴1+2+3+4+…+28＝406．
【点评】此题主要考查了学生的分析，总结归纳的能力，要会从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题．
三．解答题（共5小题）
11．（2022春 克拉玛依区校级期末）已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
（1）求这个正数是多少？
（2）的平方根又是多少？
【考点】算术平方根；平方根．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可解得即可求出m；
（2）利用（1）的结果及平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：（m+3）+（2m﹣15）＝0
解得m＝4．
则这个正数是（m+3）2＝49．
（2）3，则它的平方根是±．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
12．（2024春 金安区校级期末）一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方根的定义得出2a﹣3+5﹣a＝0，进而求出a的值，即可得出x的值．
【解答】解：∵一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，
∴2a﹣3+5﹣a＝0，
解得：a＝﹣2，
∴x＝（﹣7）2＝49．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键．
13．（2024 兰州期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的值．
【考点】算术平方根；平方根．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
∴a＝5，
∵3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴3a+b﹣1＝16，
∴3×5+b﹣1＝16，
∴b＝2，
∴a+2b＝5+2×2＝9．
【点评】本题考查了算术平方根与平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
14．（2023春 恩施州期中）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；
（2）若2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，求a的值．
【考点】平方根．
【专题】实数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用平方根的定义得出a，b的值，进而得出答案；
（2）直接利用平方根的定义得出a的值．
【解答】解：（1）依题意，得2a﹣1＝9且3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2．
∴a+2b＝5+4＝9．
∴a+2b的平方根为±3，
即±±3；
（2）∵2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，
∴2a﹣4+3a+1＝0或2a﹣4＝3a+1，
∴解得：a或a＝﹣5．
【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
15．（2024 安岳县校级月考）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；
（2）根据上面的规律，可得　　．
（3）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．
【考点】算术平方根．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意：
（1）；
（2）；
（3）
（1）将中的3用4代替，4用5代替
（2）将中的3用9代替，4用10代替
（3）根据（1）、（2）总解规律，其中3用n，4用（n+1）代替．
【解答】解：（1）1
验证：
（2）
（3）
验证：
【点评】本题属于探索规律型，主要考查学生的观察及学习能力，并根据观察总结规律的能力．这种类型的题目，能够考查到学生的实际水平，因而同学们一定要足够的重视．
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