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期末专项培优 平行线
一．选择题（共5小题）
1．（2021 东港区校级三模）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）
A．132° B．134° C．136° D．138°
2．（2023 福田区校级模拟）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　）
A．60° B．65° C．72° D．75°
3．（2024 枣庄）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．（2024春 安庆期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
5．（2024 恩施市模拟）如图，能判定EC∥AB的条件是（　　）
A．∠B＝∠ACE B．∠A＝∠ECD C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 郑州期末）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝35°，∠3＝165°，则∠2的度数为 　 　．
7．（2024秋 广陵区期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 　 　．
8．（2024秋 徐汇区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°，当0＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，当∠ACE的度数为 　 　时，三角板BCE的直角边与边AD平行．
9．（2011 曲靖）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE＝　 　度．
10．（2024 泰州）如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 松北区期末）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点B，E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1＝∠2，∠A＝∠F．
求证：∠C＝∠D．
证明：因为∠1＝∠2（已知）
又因为∠1＝∠ANC（ 　 　），
所以 　 　（等量代换）．
所以BD∥CE（ 　 　）．
所以∠ABD＝∠C（ 　 　）．
又因为∠A＝∠F（已知），
所以DF∥AC（ 　 　）．
所以 　 　（ 　 　）．
所以∠C＝∠D（ 　 　）．
12．（2024秋 宿城区期末）完成下面的证明：
已知：如图，在三角形ABC中，BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，且∠1+∠2＝180°．
求证：DE∥BC．
证明：∵BD⊥AC，FG⊥AC（已知），
∴∠BDC＝∠FGC＝90°，
∴BD∥FG（ 　 　），
∴∠2+∠DBC＝180°（ 　 　），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠1＝ 　 　（ 　 　），
∴DE∥BC（ 　 　）．
13．（2024秋 德化县期末）如图，直线a∥b，∠3＝60°，求∠1，∠2的度数．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵a∥b（已知），
∴∠1＝∠4 　 　．
∵∠4＝∠3 　 　，
又∠3＝60°（已知），
∴∠1＝∠3＝ 　 　（等量代换）．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝ 　 　（等式的性质）．
14．（2024 西华县期中）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
15．（2024春 夏津县期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 　 　；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
期末专项培优 平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021 东港区校级三模）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）
A．132° B．134° C．136° D．138°
【考点】平行线的性质．
【专题】几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
【解答】解：
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，
∵∠C＝44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC＝44°，∠BAE＝∠AEF＝90°﹣44°＝46°，
∴∠1＝180°﹣∠BAE＝180°﹣46°＝134°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
2．（2023 福田区校级模拟）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x，易证∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，构建方程即可解决问题．
【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
3．（2024 枣庄）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【考点】平行线的性质．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．
【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝45°﹣20°＝25°．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
4．（2024春 安庆期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【考点】平行线的判定．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【解答】解：A、∠3＝∠A，无法得到，AB∥CD，故此选项错误；
B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项正确；
C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
5．（2024 恩施市模拟）如图，能判定EC∥AB的条件是（　　）
A．∠B＝∠ACE B．∠A＝∠ECD C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE
【考点】平行线的判定．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理即可直接判断．
【解答】解：A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误；
D、正确．
故选：D．
【点评】本题考查了判定两直线平行的方法，正确理解同位角、内错角和同旁内角的定义是关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 郑州期末）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝35°，∠3＝165°，则∠2的度数为 　50°　．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】50°．
【分析】如图所示，作EF∥AB，可得∠3+∠GEF＝180°，∠FEH＝∠1＝35°，由∠GEH＝∠GEF+∠FEH，即可求解．
【解答】解：工作篮底部AB与支撑平台CD平行，如图，过E点作EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠3+∠GEF＝180°，∠FEH＝∠1＝35°，
∴∠GEF＝180°﹣∠3＝180°﹣165°＝15°，
∵∠GEH＝∠GEF+∠FEH＝15°+35°＝50°，
∴路政工程车的工作示意图中∠2的度数为50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（2024秋 广陵区期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 　144°　．
【考点】平行线的判定与性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】144°．
【分析】过点C作CF∥AB，根据铅笔模型进行计算，即可解答．
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∵DE∥AB，
∴DE∥CF，
∴∠CDE+∠DCF＝180°，
∴∠ABC+∠BCF+∠CDE+∠DCF＝360°，
即∠ABC+∠DCB+∠CDE＝360°，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵∠EDC＝126°，
∴∠DCB＝360°﹣∠ABC﹣∠CDE＝144°，
故答案为：144°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，垂线，熟练掌握铅笔模型是解题的关键．
8．（2024秋 徐汇区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°，当0＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，当∠ACE的度数为 　120°或30°　时，三角板BCE的直角边与边AD平行．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】120°或30°．
【分析】分两种情况：当CB∥AD时；当CE∥AD时，然后分别利用平行线的性质是解题的关键．
【解答】解：分两种情况：
当CB∥AD时，如图：
∵CB∥AD，
∴∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°；
当CE∥AD时，如图：
∵AD∥CE，
∴∠ACE＝180°﹣∠A＝120°；
综上所述：如果三角板BCE的直角边与边AD平行，那么∠ACE的度数为120°或30°，
故答案为：120°或30°．
【点评】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
9．（2011 曲靖）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE＝　20　度．
【考点】平行线的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得，∠BCF+∠ABC＝180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，
又由CF∥DE，所以∠CDE＝∠DCF．
【解答】解：过点C作CF∥AB，
已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，
∴AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC＝180°，
∴∠BCF＝60°，
∴∠DCF＝20°，
∴∠CDE＝∠DCF＝20°．
故答案为：20．
【点评】此题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．
10．（2024 泰州）如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝　140°　．
【考点】平行线的性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据平行线的性质，由l1∥l2得∠3＝∠1＝40°，再根据平行线的判定，由∠α＝∠β得AB∥CD，然后根据平行线的性质得∠2+∠3＝180°，再把∠1＝40°代入计算即可．
【解答】解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠α＝∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°．
故答案为140°．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 松北区期末）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点B，E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1＝∠2，∠A＝∠F．
求证：∠C＝∠D．
证明：因为∠1＝∠2（已知）
又因为∠1＝∠ANC（ 　对顶角相等　），
所以 　∠2＝∠ANC　（等量代换）．
所以BD∥CE（ 　同位角相等，两直线平行　）．
所以∠ABD＝∠C（ 　两直线平行，同位角相等　）．
又因为∠A＝∠F（已知），
所以DF∥AC（ 　内错角相等，两直线平行　）．
所以 　∠ABD＝∠D　（ 　两直线平行，内错角相等　）．
所以∠C＝∠D（ 　等量代换　）．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】对顶角相等；∠2＝∠ANC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；∠ABD＝∠D；两直线平行，内错角相等；等量代换．
【分析】先利用对顶角相等可得∠1＝∠ANC，从而可得∠2＝∠ANC，然后利用同位角相等，两直线平行可得BD∥CE，从而利用平行线的性质可得∠ABD＝∠C，再利用内错角相等，两直线平行可得DF∥AC，从而利用平行线的性质可得∠ABD＝∠D，最后利用等量代换即可解答．
【解答】解：因为∠1＝∠2（已知）
又因为∠1＝∠ANC（对顶角相等），
所以∠2＝∠ANC（等量代换）．
所以BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．
所以∠ABD＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
又因为∠A＝∠F（已知），
所以DF∥AC（内错角相等，两直线平行）．
所以∠ABD＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
所以∠C＝∠D（等量代换），
故答案为：对顶角相等；∠2＝∠ANC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；∠ABD＝∠D；两直线平行，内错角相等；等量代换．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
12．（2024秋 宿城区期末）完成下面的证明：
已知：如图，在三角形ABC中，BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，且∠1+∠2＝180°．
求证：DE∥BC．
证明：∵BD⊥AC，FG⊥AC（已知），
∴∠BDC＝∠FGC＝90°，
∴BD∥FG（ 　同位角相等，两直线平行　），
∴∠2+∠DBC＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠1＝ 　∠DBC　（ 　同角的补角相等　），
∴DE∥BC（ 　内错角相等，两直线平行　）．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；∠DBC；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行．
【分析】先根据垂直定义可得：∠BDC＝∠FGC＝90°，从而利用同位角相等，两直线平行可得：BD∥FG，然后利用平行线的性质可得：∠2+∠DBC＝180°，从而利用同角的补角相等可得：∠1＝∠DBC，最后根据内错角相等，两直线平行即可解答．
【解答】解：∵BD⊥AC，FG⊥AC（已知），
∴∠BDC＝∠FGC＝90°，
∴BD∥FG（同位角相等，两直线平行），
∴∠2+∠DBC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠1＝∠DBC．（同角的补角相等）
∴DE∥BC．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；∠DBC；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
13．（2024秋 德化县期末）如图，直线a∥b，∠3＝60°，求∠1，∠2的度数．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵a∥b（已知），
∴∠1＝∠4 　两直线平行，同位角相等　．
∵∠4＝∠3 　对顶角相等　，
又∠3＝60°（已知），
∴∠1＝∠3＝ 　60°　（等量代换）．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝ 　120°　（等式的性质）．
【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】两直线平行，同位角相等；对顶角相等；60°；120°．
【分析】先利用平行线的性质可得∠1＝∠4，再利用对顶角相等可得∠4＝∠3，从而可得∠1＝∠3＝ 60°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵a∥b（已知），
∴∠1＝∠4两直线平行，同位角相等，
∵∠4＝∠3对顶角相等，
又∠3＝60°（已知），
∴∠1＝∠3＝ 60°（等量代换）．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝ 120°（等式的性质），
故答案为：两直线平行，同位角相等；对顶角相等；60°；120°．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
14．（2024 西华县期中）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
【考点】平行线的判定．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用平行线的性质以及角平分线的定义得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．
【解答】证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，∠CFE＝∠E，
∴∠1＝∠CFE＝∠E，
∴∠2＝∠E，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查角平分线的定义以及平行线的判定定理．
15．（2024春 夏津县期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 　∠A+∠C＝90°　；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
【考点】平行线的判定与性质；余角和补角．
【专题】方程思想；线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD＝∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C＝∠CBG，即可得到∠ABD＝∠C；
（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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