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2025年湖南省郴州市初中学业水平考试第二次监测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中最小的一个数是（ ）
A．0 B． C． D．
2．下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2025年清明节假期全国国内出游126000000人次，将数据126000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．5名同学1分钟跳绳成绩分别为176，191，188，190，191，则这组数据的中位数是（ ）
A．176 B．188 C．190 D．191
7．如图，，，，则的周长是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．28
8．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．明代时，1斤=16两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有两，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，下列说法错误的是（ ）
A．函数图象上的“和谐点”在第二象限 B．函数图象上有两个“和谐点”
C．函数图象上只有一个“和谐点” D．函数图象上的“和谐点”的横坐标为
二、填空题
11．的绝对值是 ．
12．已知关于的方程的一个根为2，则的值为 ．
13．将分别标有“大”“美”“郴”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其他差别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“美”的概率是 ．
14．某段视频的完整时长为40分钟，当以x倍速播放时，实际播放时间t（分钟）与x的函数关系为.若该视频以8倍速播放，则实际播放时间为 分钟．
15．如图，，．若，则 度．
16．校运会上铅球场地的有效落地区是以点O为圆心的扇形面．如图，在扇形面中，半径米，，则的长为 米（结果保留）．
17．如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为 ．
18．小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）．2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为 （用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为 ．
三、解答题
19．计算：．
20．解方程组：．
21．某班参加学校举行的“宪法学习”知识竞赛，赛后将该班参赛学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
(1)该班参加竞赛的学生有________人；扇形统计图中，________，圆心角________度；
(2)补全条形统计图（要求在条形图上方标注人数）；
(3)若该校有3000名学生参加知识竞赛，请估计全校学生成绩为“B等级”的人数．
22．某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同．
(1)求A、B两款吉祥物的销售单价；
(2)A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？
23．如图，在中，点D为线段上任意一点．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的基础上，线段与交于点G，已知________（请从“①平分；②点G为中点”这两个条件中选取一个作为已知条件）．
求证：四边形是菱形．
24．综合与实践
目标 篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度
工具 测角仪、卷尺
素材1 小敏借助测角仪测得：，，．
素材2 为计算篮球架的伸臂距离地面的高度，小明在点处测得：米，.在距离点左侧米的处测得：． （参考数据：，，）
任务一 利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂地面，支架地面）．
任务二 利用素材2，求篮球架的伸臂距离地面的高度．（结果保留一位小数）
25．在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．
(1)求b的值；
(2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，横坐标设为m，且．连接，交于点D，．
①求点P的坐标；
②如图2，将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M．点N为抛物线上任意一点，连接．若，求线段的长．
26．如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，
①若，，求的长度；
②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点，
求证：．
《2025年湖南省郴州市初中学业水平考试第二次监测数学试卷》参考答案
1．B
解：∵，
∴，
∴最小的数为：；
故选：B．
2．D
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D．即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3．B
解：将数据126000000用科学记数法表示为，
故选：B．
4．B
解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形，
的左视图是，
故选B．
5．A
解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
6．C
解：该组数据从小到大排序为：176， 188，190，191，191，共5个数，第3个数是190，
即中位数是190，
故选C．
7．A
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长是，
故选：A ．
8．D
解：∵，，
∴点所在的象限是第四象限，
故选：D ．
9．C
解：根据题意，半斤8两，
根据两种分配方案的人数相等可列如下方程：
．
故选：C．
10．C
解：平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，则点的关系为，即，
A、函数，
∴，
解得，，则，
∴“和谐点”为，在第二象限，正确，不符合题意；
B、函数，
∴，整理得，，
解得，，则对应的，
∴“和谐点”为，
∴函数图象上有两个“和谐点”，正确，不符合题意；
C、函数，
∴，整理得，，无解，
∴函数图象上没有一个“和谐点”，故原选项错误，符合题意；
D、函数，
∴，整理得，，
解得，，则，
∴“和谐点”为，
∴函数图象上的“和谐点”的横坐标为，正确，不符合题意；
故选：C ．
11．
解：；
故答案：．
12．1
将代入方程中，得
，
，
∴．
故答案为：1
13．
【分析】本题考查了概率．根据概率公式直接计算即可．
【详解】解：摸出小球上的汉字为“美”的概率是，
故答案为：．
14．5
解：当时，（分钟），
故答案为：5．
15．
解：，，
，
，
，
故答案为：．
16．/
解：米，，
，
故答案为：．
17．3
解：由垂线段最短知，当时，线段的长取得最小值，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，
即的最小值为3．
故答案为：3．
18． 17
解：由题意得，小明在乙窗口排队取到餐所需时间为：，
不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间为：，
由题意得，
解得，
所以排队人数m的最小值为17，
故答案为：；17．
19．
解：
．
20．．
解：，
①②得：，
解得：，
将代入①得
，
解得：，
原方程组的解为．
21．(1)50，40，72
(2)见解析
(3)720人
（1）解：该班参加竞赛的学生有（人），
扇形统计图中，，
圆心角，
故答案为：50，40，72；
（2）解：B等级人数为：（人），
补全图形如下：
（3）解：（人）
答：估计全校学生成绩为“B等级”的人数为720人．
22．(1)A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元；
(2)当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元．
（1）解：设A款吉祥物的单价是a元，则B款吉祥物的单价是元，
根据题意得：，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元；
（2）解：设购买A款吉祥物x个，则购买B款吉祥物个，利润为w元，
，
∵B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，
∴，
解得，，
∵，w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
120-x=40，
答：当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元．
23．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：选择①平分；
证明：平分，
，
∵是线段垂直平分线，
∴，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
为菱形．
选择②点G为中点，
证明：∵是线段垂直平分线，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∵是线段垂直平分线，
∴，，
∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形．
24．任务一：合理，理由见详解
任务二：篮球架的伸臂距离地面的高度约为米
解：任务一：篮球架安装合格，理由如下，
∵，
∴，合格，
如图所示，过点作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，合格，
综上所述，篮球架安装合格；
任务二：如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴，
设米，则，
∴米，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，即，
解得，，
∴米，
∴篮球架的伸臂距离地面的高度约为米．
25．(1)
(2)①；②或
（1）解：把代入中得，解得；
（2）解：①如图所示，过点P作轴于H，交于G，
由（1）得抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
在中，当时，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
②∵将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为；
∵点F为点P平移后的对应点，
∴点F的坐标为，即；
由①同理可求得直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如2图所示，当点N在y轴右侧时，
∵，
∴，
∴；
如2图所示，过点N作轴于K，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
把代入中得：，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3所示，当点N在y轴左侧时，过点M作轴，过点N作于K，
同理可得，
∴，
设，
∴，
把代入中得：，
解得（舍去）或，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
26．(1)证明过程见详解
(2)①；②证明过程见详解
（1）证明：∵是直径，
∴，
∵过点作，即，
∴，
∴；
（2）解：①∵是直径，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，则，
如图所示，连接，
∵所对圆周角是，所对圆心角，
∴，
∵,
∴是等边三角形，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由（1）可知，，且，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
如图所示，在上取，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
在中，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．

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