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2024—2025第二学期第12周中考模拟考试
九年级数学
本试卷共8页，25小题，满分120分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的相反数是（ ）
A. B. C. D.2025
2.2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.春节蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵.下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3.圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成.当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间.则表在圭面上形成的投影是（ ）
A.中心投影 B.平行投影
C.既是平行投影又是中心投影 D.不能确定
4.如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（ ）
A. B.0 C.1 D.
5.一元二次方程的根是（ ）
A. B.
C.， D.，
6.如图，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上.若，，则的长为（ ）
A.2 B. C.3 D.
7.数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有10个球，其中有4个白球、3个红球、2个黑球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A.黑色 B.红色 C.黄色 D.白色
8.如图，点、、、在上，，，则等于（ ）
A.15° B.30° C.45° D.60°
9.一个油画架如图所示，已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知二次函数（）的图象过点，对称轴为直线.下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（ ）
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分），请将答案填在答题卡上对应的横线上.
11.二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材，小明将一根带火星的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条火星熄灭是______.（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）
12.一个正数的两个平方根分别为与，则的值为______.
13.某同学用工具测一个圆锥形漏斗的尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥形漏斗的侧面积为______（结果保留）.
14.如图，是的内心，，则______.
15.如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线（）于点，，交轴于点，交轴于点，已知轴于点，轴于点，当四边形的面积为5时，则.的值是______.
三、解答题（一）（本大题共3题，每小题7分，共21分），请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置.
16.计算：.
17.先化简，再求值：，其中是4的算术平方根.
18.如图，在中，，，，点为边上一点且，将沿着折叠得，连接，.
（1）用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，连接，求的度数.
四、解答题（二）（本大题共3题，每小题9分，共27分），请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置.
19.为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别.第1组：；第2组：；第3组：；第4组：；第5组：，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：
a.男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160.
b.男生测试成绩频数分布直方图如图1.
c.女生测试成绩扇形统计图如图2.
d.抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表：
性别 平均数 中位数 众数
男生 162.6 166
女生 162.6 159 164
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______，并补全频数分布直方图；
（2）根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级.若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数.
20.如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，连接，.点为的中点，连接交于点.
（1）连接，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）求的值.
21.综合与实践.：根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品.现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，.（纸板的厚度忽略不计）.
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是.
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是.
问题解决
任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高.
任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高.
任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个.在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？
五、解答题（三）（本大题共2题，第22题13分，第24题14分，共27分），请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置.
22.已知二次函数（）.
（1）若，；且该二次函数的图象过点，求的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴交于点，，且，点在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，，.
①求证：.
②当点在线段上，且.的半径长为线段的长度的2倍，若，求的值.
23.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知等腰直角三角形纸片和中，，，.
【初步感知】
（1）如图1，纸片绕点逆时针旋转60°，连接，，证明平分；
【深入探究】
（2）在（1）条件下，如图2，延长交于，求的长；
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由.
2024—2025第二学期第12周中考模拟考试
九年级数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1. D 【解析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案.
的相反数为2025，故选D.
2. D 【解析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断.
A.图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B.图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
C.图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D.
3. B 【解析】太阳光下表的影子为平行投影，故选B.
4. A 【解析】∵反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，
∴，故选A.
5. C 【解析】，
解：，∴，
故选C.
6. C 【解析】由旋转的性质得
∵，∴为等边三角形
∴
故选C.
7. A 【解析】由折线图可得某一颜色的球出现的频率趋向于0.2，
即某一颜色的球出现的概率为不透明袋子中共有10个球，
其中有4个白球、3个红球、2个黑球和1个黄球
∴白球出现的概率为，红球出现的概率，
黑球出现的概率为，黄球出现的概率为
8. B 【解析】∵，圆内接四边形对角互补
∴，∴
∵，∴
故选B
9. C 【解析】∵，∴
∵，，
∴
∴，∴
故选C.
10. B 【解析】∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
∴二次函数的图象经过点，即时，，
∴，故①正确；
∵，
∴点、，关于直线对称，
∴，故②正确；
∵二次函数（）的图象过点和，
∴，解得，
∴，
当时，抛物线开口向上，当时，为最小值，
∴若为任意实数，则；
当时，抛物线开口向下，当时，为最大值，
∴若为任意实数，则；
故③错误；
由得，，
又，，得，，
则，
∴关于的方程必有两个不相等的实数根，
故④正确.
故选：B.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11.必然事件 【解析】根据事件发生的可能性大小判断，将一根带火星的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条火星熄灭是必然事件
12. 【解析】∵一个正数的两个平方根分别为与
∴，∴
13. 【解析】由图得圆锥底面圆直径为，圆锥高为
∴得到圆锥底边圆半径为3
由勾股定理得圆锥母线长为5
∴圆锥侧面积为.
14. 115° 【解析】∵
∴
∵是的内心
∴，
∴
∴
15. 5 【解析】延长，交于点，
设，则，，
∴，
∴，易证，又，
∴四边形为平行四边形，同理可证四边形为平行四边形，
易证，∴.
三、解答题：本大题共8小题，共75分，解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.解：原式
.
17.解：
，
∵是4的算术平方根，∴，
当时，原式
18.解：（1）如图所示，即为所求；
（2）由折叠可得，，，
∴是等边三角形，∴，
又∵，，，∴，
∴是直角三角形，且，
∴
19.解：（1）∵第2组所占百分比为：，
∴，
∴；
∵男生成绩由大到小排列第25，26个数据都是162，
∴，故答案为：20，162；
男生第2组频数为：，
补全的频数分布直方图如下：
（2）男生跳绳成绩更好
理由：因为男生、女生跳绳成绩的平均数相同，男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生，
所以男生跳绳成绩更好
（3）（人），
答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人
20.（1）四边形为矩形
证明：∵为直径，∴
∵为等边三角形，∴
∵为中点，∴
由∵，∴
∴，∴四边形为矩形
（2）连接交于
∵，，
∴，∴
∵为中点，∴由垂径定理的推论可得为中点
∴为中位线
∴，
∴
∵，∴
∴
21.（1）解：设盒子的高为，
，解得（舍），
答：盒子的高为.
（2）解：设盒子的高为.
，解得，（舍）
答：盒子高为.
（3）略
22.（1）解：∵，，
∴二次函数解析式为，
∵该二次函数的图象过点，
∴，解得：；
（2）①证明：∵，，
∴，∴，∴，
∵，∴；
②解：该二次函数的图象与轴交于点，，且，
∴，，
∵.∴，
∵的半径长为线段的长度的2倍，∴，
∵，∴，
∴，即①，
∵该二次函数的图象与轴交于点，，
∴，是方程的两个根，∴，
∵，，∴，
即②
①代入②，即，
即，
整理得，∴，
解得：（正值舍去），∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，∴
23.（1）证明：由旋转性质得，
∴为等边三角形
∴，
又∵，
∴，∴
∴平分
（2）延长交于点
∵，∴
在中，
∴，∴
又在中，可求，∴
由题意得，，
∴，
∴，∴
过点作于
在中，
∴，同理
连接，可证
∴
（3）①当时
面积为或
②当时
面积为2
③当时
∵，，∴，
∵，，∴，
∴是的中位线，
∴，，
∵，，
∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，
解得，
∴，，
∴，∴.
综上所述，直角三角形的面积为2或或或.

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