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13.3.2三角形的外角
第十三章 三角形
人教版（2024）
素养目标
1.理解并掌握三角形的外角的概念；
2.理解并掌握三角形的外角的性质；
重难点
3.能够利用三角形的外角性质解决问题；
4.了解三角形的外角和.
重点
知识回顾
1. 三角形内角和定理是什么？
三角形的内角和等于180°
2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C = .
3.在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，则∠C = .
60°
48°
新知导入
如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD.
外角
B
A
C
D
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
探究新知
外角
B
A
C
D
E
外角
1.延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？
是
2.∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
不是
三角形的外角应具备的条件:
① 角的顶点是三角形的顶点
② 角的一边是三角形的一边
③ 另一边是三角形中一边的延长线
练一练
F
A
B
C
D
E
如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？说一说图中还有外角吗？
∠BEC 是△AEC 的外角；
∠AEC 是△BEC 的外角；
∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角.
探究新知
A
B
C
三角形共有几个外角？
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点相对应的外角都有 2个， 且这2个角为对顶角.
探究新知
如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°， ∠ACD是 △ABC的一个外角，能由∠A，∠B求出∠ACD的度数吗？如果能， ∠ACD 与∠A，∠B 有什么关系呢？
60°
70°
B
A
C
D
∠ACD = 180° -∠ACB
= 180° - (180°-∠A -∠B)
= ∠A +∠B
= 130° .
∠ACD =∠A +∠B
探究新知
【思考】任意一个三角形的外角与其不相邻的两个内角是否都具有这种关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
证明：
∵∠A +∠B+∠ACB=180°，∠BCD +∠ACB=180°
∴∠A+∠B=∠BCD.
归纳总结
一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
符号语言
∵∠ACD 是△ABC 的外角，
∴∠ACD = ∠A +∠B.
D
C
B
A
推论是由定理直接推出的结论．和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.
探究新知
由推论可知 ∠ACD =∠A+∠B
D
C
B
A
∵∠A＞0，∠B＞0，
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
例题练习
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
D
C
B
A
1
3
2
E
F
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE =∠2 +∠3，
∠CBF =∠1 +∠3，
∠ACD =∠1 +∠2，
∴∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2(∠1 +∠2 +∠3).
由∠1 +∠2 +∠3 = 180°，得，∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2× 180°=360°.
你还有其他解法吗？
例题练习
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得，
∠BAE + ∠CBF + ∠ACD +(∠1+ ∠2+ ∠3) = 540 °，
所以，∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540 °- 180°= 360°.
D
C
B
A
1
3
2
E
F
归纳总结
三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角(按同一个方向取三个角)，把它们的和叫做三角形的外角和.
三角形的外角和等于 360°.
D
C
B
A
1
3
2
E
F
D
120°
C
B
D
B
50
小结
定义：三角形的一边与另外一边的延长线所组成的角
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形外角和：三角形的外角和等于360°
三角形的外角

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