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13.3.1三角形的内角
第十三章 三角形
人教版（2024）
素养目标
1.理解并掌握三角形的内角和定理；
2.能应用三角形内角和定理进行角度的计算；
重点
重难点
3.了解直角三角形两个锐角的关系；
4.掌握直角三角形的判定方法.
重点
新知导入
1.一个三角形的三个内角有怎样的数量关系呢？
在小学我们就已经知道，三角形的内角和等于180°.
2.我们是怎样得到三角形内角和是180°的？
（1）度量法 （2）剪拼法
这样的方法获得的结论可靠吗？
探究新知
由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°.
探究新知
将三角形的任意两个内角剪下，试着拼拼看.
你有什么发现？
探究新知
如图所示，∠B 和∠C 分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点 A 的直线 l，直线 l 与边BC有什么位置关系？
B
B
C
C
A
l
直线 l 与边 BC 平行
你能由这个图发现证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？
探究新知
启发：过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论.
B
B
C
C
A
l
探究新知
已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法：过点A作l∥BC，
∵ l ∥BC ，
∴∠2 = ∠4，∠3 = ∠5
（两直线平行，内错角相等） ．
∵∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义），
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°（等量代换）．
A
B
C
2
4
1
5
3
　 l
即∠A+∠B+∠C=180°.
归纳总结
三角形内角和定理：　
三角形的内角和等于180° .
符号表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
A
B
C
例题练习
如图，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数
C
B
D
A
解：∵∠BAC = 40°，AD是△ABC的角平分线，
在△ABD中，
∠ADB=180°- ∠B - ∠BAD
=180°-75°-20°= 85°
∴∠BAD = ∠BAC =20°
例题练习
如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
北
北
C
A
B
D
E
分析：∠ACB是△ABC的一个内角，
求∠ACB需先求 ∠CAB 、∠ABC.
例题练习
解： ∠CAB= ∠BAD - ∠CAD = 80°- 50°= 30°
由 AD//BE，得∠BAD + ∠ABE = 180°
所以∠ABE = 180°-∠BAD =180°- 80°=100°
∠ABC =∠ABE -∠CBE = 100°- 40°= 60°
在△ABC中，∠ACB = 180°-∠ABC -∠CAB = 180°- 60°- 30° = 90°
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
北
北
C
A
B
D
E
探究新知
【思考】如图，在直角△ABC 中，∠C = 90°，两锐角的和等于多少？
三角形内角和定理
∠A +∠B +∠C = 180°
∠A + ∠B = 90°
∠C = 90°
∠A +∠B +90° = 180°
A
B
C
归纳总结
直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角_____.
互余
几何语言：
在 Rt△ABC 中，
∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°．
“Rt△”
A
B
C
例题练习
如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点E．比较∠CAE与∠DBE的大小．
解：在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90°- ∠AEC.
在 Rt△BDE中，∠DBE = 90°- ∠BED.
∵∠AEC =∠BED，
∴∠CAE=∠DBE.
探究新知
【思考】如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余，反之，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在 △ABC 中，∠A +∠B = 90°， 那么△ABC 是直角三角形吗？
三角形内角和定理
∠A +∠B +∠C = 180°
∠C + 90°=180°
∠A +∠B=90°
∴△ABC 是直角三角形
∠C = 90°
A
B
C
归纳总结
直角三角形的判定：
有两个角_____的三角形是直角三角形.
互余
几何语言：
在△ABC 中，
∵∠A +∠B=90°，
∴△ABC 是直角三角形．
A
B
C
C
B
B
A
B
C
25
C
D
小结
三角形的内角和等于180°
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
三角形的内角
谢谢同学们的聆听

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