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广东省深圳市龙岗区实验学校2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题
1．（2024九上·龙岗开学考）芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．（2024九上·龙岗开学考）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是二元二次方程，故不符合题意；
B、当a=0时，是一元一次方程，故不符合题意；
C、方程整理得：，是三元一次方程，故不符合题意；
D、是一元二次方程，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的次数最高为2次的整式方程叫做一元二次方程”判定即可．
3．（2024九上·龙岗开学考）如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）
A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，设
∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，
∴OP=AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a.
故答案为：B．
【分析】 木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，在此滑动过程中， △AOB始终是直角三角形，且斜边AB的长度保持不变，进而根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案．
4．（2024九上·龙岗开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（　　）
A．4 B．8 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用矩形的性质及，证出是等边三角形，再利用全等三角形的性质可得.
5．（2024九上·龙岗开学考）一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】y2﹣y﹣ =0，
y2﹣y= ，
y2﹣y+ =1，
（y﹣ ）2=1，
故答案为：B.
【分析】由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式”即可求解。
6．（2024九上·龙岗开学考）实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（　　）
A．增加的水量 B．蒸发掉的水量
C．加入的食盐量 D．减少的食盐量
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据分式方程可知：
食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分，
x表示的意义是蒸发掉的水量．
故答案为：B．
【分析】要把食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍，有两种方法：①加入食盐，这样食盐的总量与食盐水的总量都会增加；②蒸发掉一部分水，这样食盐总量不会改变，食盐水总量会减少，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为（150-x）克，故可得出减少了水分，即可得出答案．
7．（2024九上·龙岗开学考）若关于x的方程有实数根，则实数m的取值的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解析：关于x的方程有实数根，
，
解得，
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式，求解即可.
8．（2024九上·龙岗开学考）如图1，在平行四边形中，，点E是的中点．点P从点A出发，沿A→D→C→B以的速度运动到终点 B． 设点P运动的时间为， 的面积为， 图2是y与x之间的函数关系图象，下列判断不正确的是（ ）
A． B．，
C． D． 的面积为
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：A.因为运动速度不变，所以从点到点与从点到点所用时间相同， 即， 解得A不符合题意；
B.因为点运动秒后到达点， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以， 因为点运动秒后到达点， 所以， 则， B不符合题意；
C.因为点运动到点时的面积为，为中点，所以C符合题意；
D.过点作于点， 因为， 所以， 则 所以平行四边形的面积：D不符合题意；
故选：C.
【分析】由函数图象可知，点运动秒后到达点，此时的面积为， 运动秒后到达点， 点、点重合， 此时的面积为，运动秒后到达点，此时的面积为，分别对各选项进行判断.
9．（2024九上·龙岗开学考）已知方程的一个根是，则m的值是　 　．
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入，得，
解得，．
故答案为：．
【分析】能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义，把代入原一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解方程即可．
10．（2024九上·龙岗开学考）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点， 连接，， 分别取，的中点，，连接．若的长为， 则，两地间的距离为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点，分别为，的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
，
故答案为：．
【分析】根据三角形的中位线定理即可求出AB的长.
11．（2024九上·龙岗开学考）门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是　 　°．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∴∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD=180°×4－（∠1+∠2+∠3+∠4）=420°，
∴∠D=180°×(5－2)－420°=120°.
【分析】根据多边形的内角与外角互补，以及题意求出 ∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD 的度数，再结合多边形的内角和公式，即可求出∠D的度数．
12．（2024九上·龙岗开学考）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，
故不等式组的解集为：
∵关于x的不等式组只有3个整数解，
故或0或，
∴，
故答案为：．
【分析】先解不等式得，再根据不等式组只有3个整数解确定不等式组的整数解为或0或，进而可得a的取值范围．
13．（2024九上·龙岗开学考）如图，正方形边长为3，正方形边长为2，连接CD和AF，则的值为　 　．
【答案】26
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，设交于点G，
∵四边形和均为正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵正方形边长为3，正方形边长为2，
∴，
∴，
∴．
故答案为：26.
【分析】连接AD、CF、DF、AC，设AD、CF交于点G，由正方形性质得OD=OF，OA=OC，∠DOF=∠AOC=90°，由角的构成可推出∠COF=∠AOD，从而可由SAS判断出△COF≌△AOD，可得∠OCF=∠OAD，可推出∠CGD=∠DGF=∠AGF=∠CGA=90°，再在Rt△CDG与Rt△AGF中，分别表示出CD2与AF2，再求和后根据勾股定理，即可求解．
14．（2024九上·龙岗开学考）解方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
【答案】（1）解：
解得：，；
（2）解：
则
或
解得：，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“1”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）将（2x+1）看成一个整体，方程的右边先利用提取公因式法分解因式后整体移到方程的左边，然后再将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
15．（2024九上·龙岗开学考）先化简，再求值：，其中，
【答案】解：
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再将x=-1代入求值即可.
16．（2024九上·龙岗开学考）如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．
【答案】解：（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝FA，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF为菱形；
（2）∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，
在Rt△AOB中，AO＝＝4，
∴AE＝2AO＝8
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠BAE＝∠AEB，由等角对等边及已知可推出BE=AF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABEF为平行四边形，继而再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得四边形ABEF为菱形；
（2）由菱形性质可得AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，在Rt△AOB中，由勾股定理求出AO的长即可得答案．
17．（2024九上·龙岗开学考）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则有，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n．求的值．
解：∵方程的两个实数根分别为m，n，则，，
∴．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为．，，则______，______．
（2）类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数m，n满足，，且，求的值．
【答案】（1），；
（2）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴，，
∴
；
（3）解：∵实数、满足，，
∴与看作是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；分式的化简求值-整体代入；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，，
故答案为：，；
【分析】（1）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数， 直接求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得：，，进而再利用提取公因式法将待求式子分解因式后，整体代入计算即可；
（3）根据一元二次方程根的定义，可把与看作是方程的两个实数根，则有，，进而将待求式子通分计算后整体代入计算即可.
（1）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为．，，
∴，，
故答案为：，．
（2）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数、满足，，
∴与看作是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
18．（2024九上·龙岗开学考）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元
【答案】（1）解：∵道路的宽为x米，根据题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米．
（2）解：设月租金上涨y元，由题意得：
根据题意得：，
整理得：，
解得，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意得铺花砖的部分的长为（52－2x）m，宽为（28－2x）m，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
（2）设车位的月租金上涨y元，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可；
19．（2024九上·龙岗开学考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形．生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．如图1，四边形是等腰梯形，其中，． 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定．
任务：
（1）为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下．请按她的思路选择一种方法写出证明过程．
已知：如图2，四边形是等腰梯形，，．
求证：，．
证明：方法1：过点作的平行线，交于点，；
方法2：过点，作的垂线，垂足分别为，，．
（2）①根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题： 的梯形是等腰梯形．
②等腰梯形的判定方法的猜想是真命题，请说明理由．
【答案】（1）证明：方法1：如图1，过点作的平行线，交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
；
方法2：
如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下：
已知：如图2，四边形是梯形，，，．
求证：．
证明：过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：同一底上的两个角相等，
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；真命题与假命题；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）方法1：如图1，过点A作DC的平行线，交BC于点E，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形AECD是平行四边形，由平行四边形的对边相等得到AE=CD，结合已知推出AB=AE，由等边对等角及平行线的性质推出∠B=∠C，再由二直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等即可证明∠A=∠D；方法2：如图2，过点A、D作BC的垂线，垂足分别为M、N，由有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形AMND是矩形，由矩形的对边相等得AM=DN，从而由HL判断出Rt△ABM≌Rt△DCN，由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C，再由二直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等即可证明∠BAD=∠CDA；
（2）过点A、D作BC的垂线，垂足分别为M、N，由有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形AMND是矩形，由矩形的对边相等得AM=DN，从而由AAS判断出△ABM≌△DCN，由全等三角形的对应边相等得AB=DC，即可得出结论．
（1）证明：方法1：如图1，过点作的平行线，交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
；
方法2：
如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下：
已知：如图2，四边形是梯形，，，．
求证：．
证明：过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：同一底上的两个角相等，真．
20．（2024九上·龙岗开学考）【材料背景】
如图1，在中，以边为底边向外作等腰，其中，且，那么点D就被称为边的“外展等直点”．
【建构与探究】
如图2，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点O、A、B、C都在格点上，，点C为的中点．
（1）连接、、，请分别作边、的“外展等直点”P和Q，连接、和，则的形状为 ；
（2）如图3，点E、F在格点上，请在线段上的格点中任取一点D（不与点A重合），连接、，分别作的边和边的“外展等直点”G、H，连接、和，请判断的形状，并说明理由．
【应用与拓展】
（3）如图4，点M、N为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知，请直接写出该三角形第三条边的中点K的坐标．
【答案】解：（1）等腰直角三角形，
（2）选取点如图所示，、即为所求，形状为等腰直角三角形，
理由如下：
如图，，，
∴，
∴，且，
∴为等腰直角三角形．
（3）
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
1 / 1广东省深圳市龙岗区实验学校2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题
1．（2024九上·龙岗开学考）芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·龙岗开学考）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·龙岗开学考）如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）
A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断
4．（2024九上·龙岗开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（　　）
A．4 B．8 C． D．
5．（2024九上·龙岗开学考）一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·龙岗开学考）实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（　　）
A．增加的水量 B．蒸发掉的水量
C．加入的食盐量 D．减少的食盐量
7．（2024九上·龙岗开学考）若关于x的方程有实数根，则实数m的取值的范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九上·龙岗开学考）如图1，在平行四边形中，，点E是的中点．点P从点A出发，沿A→D→C→B以的速度运动到终点 B． 设点P运动的时间为， 的面积为， 图2是y与x之间的函数关系图象，下列判断不正确的是（ ）
A． B．，
C． D． 的面积为
9．（2024九上·龙岗开学考）已知方程的一个根是，则m的值是　 　．
10．（2024九上·龙岗开学考）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点， 连接，， 分别取，的中点，，连接．若的长为， 则，两地间的距离为　 　．
11．（2024九上·龙岗开学考）门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是　 　°．
12．（2024九上·龙岗开学考）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是　 　．
13．（2024九上·龙岗开学考）如图，正方形边长为3，正方形边长为2，连接CD和AF，则的值为　 　．
14．（2024九上·龙岗开学考）解方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
15．（2024九上·龙岗开学考）先化简，再求值：，其中，
16．（2024九上·龙岗开学考）如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．
17．（2024九上·龙岗开学考）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则有，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n．求的值．
解：∵方程的两个实数根分别为m，n，则，，
∴．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为．，，则______，______．
（2）类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数m，n满足，，且，求的值．
18．（2024九上·龙岗开学考）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元
19．（2024九上·龙岗开学考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形．生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．如图1，四边形是等腰梯形，其中，． 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定．
任务：
（1）为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下．请按她的思路选择一种方法写出证明过程．
已知：如图2，四边形是等腰梯形，，．
求证：，．
证明：方法1：过点作的平行线，交于点，；
方法2：过点，作的垂线，垂足分别为，，．
（2）①根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题： 的梯形是等腰梯形．
②等腰梯形的判定方法的猜想是真命题，请说明理由．
20．（2024九上·龙岗开学考）【材料背景】
如图1，在中，以边为底边向外作等腰，其中，且，那么点D就被称为边的“外展等直点”．
【建构与探究】
如图2，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点O、A、B、C都在格点上，，点C为的中点．
（1）连接、、，请分别作边、的“外展等直点”P和Q，连接、和，则的形状为 ；
（2）如图3，点E、F在格点上，请在线段上的格点中任取一点D（不与点A重合），连接、，分别作的边和边的“外展等直点”G、H，连接、和，请判断的形状，并说明理由．
【应用与拓展】
（3）如图4，点M、N为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知，请直接写出该三角形第三条边的中点K的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是二元二次方程，故不符合题意；
B、当a=0时，是一元一次方程，故不符合题意；
C、方程整理得：，是三元一次方程，故不符合题意；
D、是一元二次方程，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的次数最高为2次的整式方程叫做一元二次方程”判定即可．
3．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，设
∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，
∴OP=AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a.
故答案为：B．
【分析】 木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，在此滑动过程中， △AOB始终是直角三角形，且斜边AB的长度保持不变，进而根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案．
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用矩形的性质及，证出是等边三角形，再利用全等三角形的性质可得.
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】y2﹣y﹣ =0，
y2﹣y= ，
y2﹣y+ =1，
（y﹣ ）2=1，
故答案为：B.
【分析】由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式”即可求解。
6．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据分式方程可知：
食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分，
x表示的意义是蒸发掉的水量．
故答案为：B．
【分析】要把食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍，有两种方法：①加入食盐，这样食盐的总量与食盐水的总量都会增加；②蒸发掉一部分水，这样食盐总量不会改变，食盐水总量会减少，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为（150-x）克，故可得出减少了水分，即可得出答案．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解析：关于x的方程有实数根，
，
解得，
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式，求解即可.
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：A.因为运动速度不变，所以从点到点与从点到点所用时间相同， 即， 解得A不符合题意；
B.因为点运动秒后到达点， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以， 因为点运动秒后到达点， 所以， 则， B不符合题意；
C.因为点运动到点时的面积为，为中点，所以C符合题意；
D.过点作于点， 因为， 所以， 则 所以平行四边形的面积：D不符合题意；
故选：C.
【分析】由函数图象可知，点运动秒后到达点，此时的面积为， 运动秒后到达点， 点、点重合， 此时的面积为，运动秒后到达点，此时的面积为，分别对各选项进行判断.
9．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入，得，
解得，．
故答案为：．
【分析】能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义，把代入原一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解方程即可．
10．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点，分别为，的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
，
故答案为：．
【分析】根据三角形的中位线定理即可求出AB的长.
11．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∴∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD=180°×4－（∠1+∠2+∠3+∠4）=420°，
∴∠D=180°×(5－2)－420°=120°.
【分析】根据多边形的内角与外角互补，以及题意求出 ∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD 的度数，再结合多边形的内角和公式，即可求出∠D的度数．
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，
故不等式组的解集为：
∵关于x的不等式组只有3个整数解，
故或0或，
∴，
故答案为：．
【分析】先解不等式得，再根据不等式组只有3个整数解确定不等式组的整数解为或0或，进而可得a的取值范围．
13．【答案】26
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，设交于点G，
∵四边形和均为正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵正方形边长为3，正方形边长为2，
∴，
∴，
∴．
故答案为：26.
【分析】连接AD、CF、DF、AC，设AD、CF交于点G，由正方形性质得OD=OF，OA=OC，∠DOF=∠AOC=90°，由角的构成可推出∠COF=∠AOD，从而可由SAS判断出△COF≌△AOD，可得∠OCF=∠OAD，可推出∠CGD=∠DGF=∠AGF=∠CGA=90°，再在Rt△CDG与Rt△AGF中，分别表示出CD2与AF2，再求和后根据勾股定理，即可求解．
14．【答案】（1）解：
解得：，；
（2）解：
则
或
解得：，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“1”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）将（2x+1）看成一个整体，方程的右边先利用提取公因式法分解因式后整体移到方程的左边，然后再将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
15．【答案】解：
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再将x=-1代入求值即可.
16．【答案】解：（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝FA，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF为菱形；
（2）∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，
在Rt△AOB中，AO＝＝4，
∴AE＝2AO＝8
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠BAE＝∠AEB，由等角对等边及已知可推出BE=AF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABEF为平行四边形，继而再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得四边形ABEF为菱形；
（2）由菱形性质可得AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，在Rt△AOB中，由勾股定理求出AO的长即可得答案．
17．【答案】（1），；
（2）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴，，
∴
；
（3）解：∵实数、满足，，
∴与看作是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；分式的化简求值-整体代入；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，，
故答案为：，；
【分析】（1）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数， 直接求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得：，，进而再利用提取公因式法将待求式子分解因式后，整体代入计算即可；
（3）根据一元二次方程根的定义，可把与看作是方程的两个实数根，则有，，进而将待求式子通分计算后整体代入计算即可.
（1）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为．，，
∴，，
故答案为：，．
（2）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数、满足，，
∴与看作是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
18．【答案】（1）解：∵道路的宽为x米，根据题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米．
（2）解：设月租金上涨y元，由题意得：
根据题意得：，
整理得：，
解得，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意得铺花砖的部分的长为（52－2x）m，宽为（28－2x）m，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
（2）设车位的月租金上涨y元，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可；
19．【答案】（1）证明：方法1：如图1，过点作的平行线，交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
；
方法2：
如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下：
已知：如图2，四边形是梯形，，，．
求证：．
证明：过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：同一底上的两个角相等，
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；真命题与假命题；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）方法1：如图1，过点A作DC的平行线，交BC于点E，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形AECD是平行四边形，由平行四边形的对边相等得到AE=CD，结合已知推出AB=AE，由等边对等角及平行线的性质推出∠B=∠C，再由二直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等即可证明∠A=∠D；方法2：如图2，过点A、D作BC的垂线，垂足分别为M、N，由有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形AMND是矩形，由矩形的对边相等得AM=DN，从而由HL判断出Rt△ABM≌Rt△DCN，由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C，再由二直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等即可证明∠BAD=∠CDA；
（2）过点A、D作BC的垂线，垂足分别为M、N，由有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形AMND是矩形，由矩形的对边相等得AM=DN，从而由AAS判断出△ABM≌△DCN，由全等三角形的对应边相等得AB=DC，即可得出结论．
（1）证明：方法1：如图1，过点作的平行线，交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
；
方法2：
如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下：
已知：如图2，四边形是梯形，，，．
求证：．
证明：过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：同一底上的两个角相等，真．
20．【答案】解：（1）等腰直角三角形，
（2）选取点如图所示，、即为所求，形状为等腰直角三角形，
理由如下：
如图，，，
∴，
∴，且，
∴为等腰直角三角形．
（3）
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
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