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[板块专题题库5-4-1]约数与倍数（一）
1．（2022六上·竞赛）把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？
2．（2022六上·竞赛）一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块（整块），才能正好把房间地面铺满？
3．将一个长和宽分别是是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干修正在方形，则正方形最少是（　　）个。
A．78 B．7 C．5 D．6
4．如图，某公园有两段路，AB＝175米，BC＝125米，在这两段路上安装路灯，要求A、B、C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯　 　个.
5．（2022六上·竞赛）把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？
6．（2022六上·竞赛）有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？
7．（2022六上·竞赛）教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等）？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？
8．2004的约数中，比100大且比200小的约数是　 　。
9．过冬了，小白兔只储存了180只胡萝卜，小灰兔只储存了120棵大白菜，为了冬天里有胡萝卜吃，小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜，这时他们储存的粮食数量相等，则一棵大白菜可以换　 　只胡萝卜。
10．（巴蜀）一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是　 　。
11．（2022六上·竞赛）一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
12．（2022六上·竞赛）如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍。现有一个整数n，除掉它的约数1和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？
13．（2022六上·竞赛）马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是　 　。
14．（2022六上·竞赛）用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是　 　。
15．（2022六上·竞赛）现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？
16．（2022六上·竞赛）10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？
17．100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能值是　 　。
18．三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为　 　．
19．用这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数．
20．少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每2个人合做一个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下来，一共做了100个“猪娃娃”，由此可知手工组共有　 　个小朋友。
21．（2023·巴蜀）一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度将它分成n等份(m>n)。
（1）设x是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x+1是m和n的公约数；
（2）如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根，试确定m和n的值。
答案解析部分
1．【答案】解：1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，
135和105的最大公约数是15，
（135×105）÷（15×15）
=14175÷225
=63（张）
答：能裁成最大的正方形纸块的边长是15厘米，共可裁成63块。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数。由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数。因此把长方形纸的长和宽统一成厘米，然后求出它们的最大公约数就是最大正方形纸的边长。用长方形纸的面积除以小正方形纸的面积即可求出可以裁成的块数。
2．【答案】解：450和330的最大公约数是30。
（450÷30）×（330÷30）
=15×11
=165（块）
答：需要用边长最大为多少厘米的方砖165块（整块），才能正好把房间地面铺满。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数。由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数。因此先求出长和宽的最大公约数，就是方砖的边长，所以用房间的长和宽分别除以方砖的边长，然后把两个商相乘即可求出需要方砖的块数。
3．【答案】B
【知识点】平面图形的切拼
【解析】【解答】解：1833÷423=4…141厘米，所以以长为边可以剪出4个最大的正方形，
423÷141=3，所以以宽为边可以在剩下的图形中的剪出3个最大的正方形，
所以最少分割4+3=7个正方形，如图：
故答案为：B
【分析】先将大长方形分为边长为423的正方形，可分为4个，然后剩下边长分别为141、423的一个小长方形再把小长方形分为边长为141的正方形，正好可分为3个4+3=7（个）
4．【答案】13
【知识点】分解质因数；最大公因数的应用
【解析】【解答】解：根据题意，可得
175=5×5×7
125=5×5×5
175和125的最大公约数为：5×5=25，
(175÷25+1)+(125÷25+1)﹣1
=8+6﹣1
=13(个)
答：在这两段路上至少要安装路灯13个.
故答案为：13
【分析】由于A、B都要安装，所以相邻路灯距离是175的约数，由于B、C都要安装，所以相邻路灯距离也是125的约数，175和125最大公约数为25，AB路段需要安装：175÷25+1=8个，BC路段需要安装：125÷25+1=6个，由于B点计算重复，所以这两段路上至少要安装路灯：8+6﹣1=13个；由此解答即可.
5．【答案】解：20-2=18，25+2=27，18和27的最大公约数是9。
答：一共最多有9个小朋友。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，最多就是18和27的最大公约数。
6．【答案】解：336、252和210的最大公约数是42，
336÷42=8（个）
252÷42=6（个）
210÷42=5（个）
答：这些水果最多可以分成42份同样的礼物，每份中有苹果8个，桔子6个，梨5个。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】因为是求最多可以分的份数，所以最多的份数是336、252、210的最大公因数。因此求出这三个数的最大公约数就是最多可以分的份数。用每种水果的个数除以分的份数即可求出每份中每种水果的个数。
7．【答案】解：320、240和200的最大公约数是40，
320÷40=8（个）
240÷40=6（个）
200÷40=5（个）
答：最多可分成40份同样的礼物，每份中有8个苹果、6个桔子，5个鸭梨。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】分成的份数一定是苹果、桔子和鸭梨个数的公约数，因为是求最多可以分成的份数，所以份数是三种水果个数的最大公约数。求出三个数的最大公约数，然后用每种水果的个数分别除以份数即可求出每份中每种水果的个数。
8．【答案】167
【知识点】枚举法；分解质因数
【解析】【解答】解：2004可以分解为质因数相乘的形式：2004 = 22×3×167
根据质因数分解，约数的组合方式包括：
20×30×1670=1
21×30×1670=2
22×30×1670=4
20×31×1670=3
21×31×1670=6
22×31×1670=12
20×30×1671=167
21×30×1671=334
22×30×1671=668
20×31×1671=501
21×31×1671=1002
22×31×1671=2004
在上述约数中，比100大且比200小的只有167。
故答案为：167
【分析】将2004进行质因数分解，列举出所有可能的约数，然后筛选出满足100到200之间的数值
9．【答案】3
【知识点】列方程解含有多个未知数的应用题
【解析】【解答】设小灰兔用x棵大白菜换了小白兔y只胡萝卜，
120-x+y=（120+180）÷2，
120-x+y=150，
即 y-x=30，
又因为，10＜x＜20，
所以，
为了使为整数，所以，x=15，
y=45，
所以y÷x=3；
答：一棵大白菜可以换3只胡萝卜，
故答案为：3．
【分析】设小灰兔用x棵大白菜换了小白兔y只胡萝卜，因为最后他们存储的食物数量相等，所以他们都存储了（120+180）÷2，由此列出不定方程，解答即可．
10．【答案】74
【知识点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解： 最大的约数+次大的约数=111，因为最大的约数是该自然数本身，而和“111” 是奇数， 而奇数=奇数 + 偶数， 所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶，偶数必然能被2整除，所以次大约数应为这个自然数的 ，设这个自然数 为 ， 则次大约数为 a
a+a=111
a=111
a=74
故答案为：74。
【分析】本题先要根据等式“最大的约数+次大的约数=111”然后逐步分析。最大的约数是该自然数本身，而111是奇数，这时可以根据和为奇数的特点和次大约数的特点分析，确定次大约数和自然数的关系，列式求解即可。
11．【答案】解：最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98。
答：此数是98。
【知识点】因数的特点及求法
【解析】【分析】一个数最小的约数是1，最大的约数是它本身。先确定这个两位数最小的约数1，然后确定另外两个较小的约数之和是9；根据“奇数+偶数=奇数”可以得到这两个约数中一定有一个约数是2，那么另外一个较小的约数就是7。前三个约数的积是14，那么这个两位数一定是14的倍数。然后从14的两位数倍数中找出6个约数的数即可。
12．【答案】解：因为其中一个约数是另一个约数的15倍，15=3×5，那么这个数必然含有约数3和5，那么最小的约数除1以外就不能是5，所以就只有2或3。
那么n就是2×15×2=60，或者是3×15×3=135。
答：满足条件的整数n有60和135。
【知识点】约数个数与约数和定理
【解析】【分析】因为其中一个约数是另一个约数的15倍，15=3×5，那么这个数必然含有约数3和5，那么最小的约数除1以外就不能是5，所以就只有2或3。
13．【答案】517
【知识点】分解质因数
【解析】【解答】解：473=11×43
407=11×37
所以甲数是47，
两个数的积是：11×47=517。
故答案为：517。
【分析】先把两个乘积分解质因数，两个数的质因数都有一个11，说明另一个数是看错的数字。根据两人看错的数的数位确定正确的甲数，然后计算出两个数正确的积即可。
14．【答案】108
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【解答】解：假设A，B代表所求的两个三位数，（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，
设C=（A，B，540），540=2×2×3×3×3×5，
因为2、3、4、5、6、7这六个数码中只有一个5的倍数，
故C的因数中不可能包含5，
C的最大值=2×2×3×3×3=108。
故答案为：108。
【分析】假设A，B代表所求的两个三位数，（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，设C=（A，B，540），540=2×2×3×3×3×5，因为给定的六个数字中只有一个5的倍数，所以C的因数中不可能包含5，此时C的最大值是108，可知A=432，B=756满足条件。
15．【答案】解：1111=11×101
答：最大的可以是101。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。
16．【答案】解：设M为这10个非零不同自然数的最大公约数，那么这10个不同的自然数分别可以表示为： ，其中
那么根据题意有：
因为10个不同非零自然数的和最小为55，所以M最大可以为13。
【知识点】公约数与公倍数问题
【解析】【分析】根据最大公约数的知识解答即可。
17．【答案】17
【知识点】分解质因数；最大公因数的应用
【解析】【解答】解：因为2006=2×17×59，它们的公约数只能是2和17，则最大公约数最大可能值是17．
故答案为：17．
【分析】最大公约数一定是2006的一个因式，然后把2006分解质因数，2006=2×17×59，因为100个非0自然数的和等于2006，因此它们的公约数不能是59，只能是2和17，则最大公约数最大可能值是17．
18．【答案】72
【知识点】分解质因数；最大公因数的应用
【解析】【解答】 解：根据题意，可得
126=2×3×3×7
（1）6×21=（1+2+3）×21，即这三个数是：21、42、63，
21、42的最大公因数是：21，
21、63的最大公因数是：21，
42、63的最大公因数是：42，
它们两两最大公约数之和是：21+21+21=63；
（2）7×18=（1+2+4）×18，即这三个数是：18、36、72
18、36的最大公因数是：18
18、72的最大公因数是：18
36、72的最大公因数是：36
它们两两最大公约数之和是：18+18+36=72
故答案为：72
【分析】根据题意，三个两两不同的正整数，要想它们两两最大公约数之和最大，它们三个的公因数也必须足够大，先将126分解质因数，并且126除以他们公因数的上合起来大于等于6，进而可以找出符合条件的这三个数，然后试算比较即可．
19．【答案】解：（1）组成的所有九位数，每一个数上的数字相加的和都是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
45是9的倍数，能被9整除，根据各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除，所以这九个数字组成的所有九位数都能被9整除；
（2）987654321-987654312=9，所以最大公约数不可能超过9；
综上所述，组成的所有九位数的最大公约数是9．
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】根据能被9整除的数的特征，即各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除，用1～9这九个数码组成的没有重复数字的九位数，它们各个数位上的数字之和能被9整除，进一步得出答案．
20．【答案】48
【知识点】列方程解关于分数问题
【解析】【解答】解：设共有x个小朋友，则可列方程：
x=48；
答：手工组共有48个小朋友．
故答案为：48．
【分析】人数是一定的，所以本题可列方程解决，设共有x个小朋友，所以共做了x个纸“猪娃娃”，个泥“猎娃娃”，个布“猪蛙娃”，个电动“猪蛙娃”；由此可列方程：，解此方程即可．
21．【答案】（1）解：
=
=
=
=；
同样，可以得出；
所以x+1是m和n的公约数；
（2）解：由题设，
所以，
即13+n是13×13的因数，13×13只有3个因数：1，13，132．
所以，13+n=132，n=132-13=156，m=12．
【知识点】最小公倍数的应用
【解析】【分析】（1）首先构造出被分成红色刻度线将它分成m等份：，用黑色刻度将它分成n等份为：，计算出结果得出答案即可；
（2）由（1）得出的算式作差，利用整除的性质得出m和n的整数解．
1 / 1[板块专题题库5-4-1]约数与倍数（一）
1．（2022六上·竞赛）把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？
【答案】解：1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，
135和105的最大公约数是15，
（135×105）÷（15×15）
=14175÷225
=63（张）
答：能裁成最大的正方形纸块的边长是15厘米，共可裁成63块。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数。由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数。因此把长方形纸的长和宽统一成厘米，然后求出它们的最大公约数就是最大正方形纸的边长。用长方形纸的面积除以小正方形纸的面积即可求出可以裁成的块数。
2．（2022六上·竞赛）一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块（整块），才能正好把房间地面铺满？
【答案】解：450和330的最大公约数是30。
（450÷30）×（330÷30）
=15×11
=165（块）
答：需要用边长最大为多少厘米的方砖165块（整块），才能正好把房间地面铺满。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数。由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数。因此先求出长和宽的最大公约数，就是方砖的边长，所以用房间的长和宽分别除以方砖的边长，然后把两个商相乘即可求出需要方砖的块数。
3．将一个长和宽分别是是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干修正在方形，则正方形最少是（　　）个。
A．78 B．7 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】平面图形的切拼
【解析】【解答】解：1833÷423=4…141厘米，所以以长为边可以剪出4个最大的正方形，
423÷141=3，所以以宽为边可以在剩下的图形中的剪出3个最大的正方形，
所以最少分割4+3=7个正方形，如图：
故答案为：B
【分析】先将大长方形分为边长为423的正方形，可分为4个，然后剩下边长分别为141、423的一个小长方形再把小长方形分为边长为141的正方形，正好可分为3个4+3=7（个）
4．如图，某公园有两段路，AB＝175米，BC＝125米，在这两段路上安装路灯，要求A、B、C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯　 　个.
【答案】13
【知识点】分解质因数；最大公因数的应用
【解析】【解答】解：根据题意，可得
175=5×5×7
125=5×5×5
175和125的最大公约数为：5×5=25，
(175÷25+1)+(125÷25+1)﹣1
=8+6﹣1
=13(个)
答：在这两段路上至少要安装路灯13个.
故答案为：13
【分析】由于A、B都要安装，所以相邻路灯距离是175的约数，由于B、C都要安装，所以相邻路灯距离也是125的约数，175和125最大公约数为25，AB路段需要安装：175÷25+1=8个，BC路段需要安装：125÷25+1=6个，由于B点计算重复，所以这两段路上至少要安装路灯：8+6﹣1=13个；由此解答即可.
5．（2022六上·竞赛）把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？
【答案】解：20-2=18，25+2=27，18和27的最大公约数是9。
答：一共最多有9个小朋友。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，最多就是18和27的最大公约数。
6．（2022六上·竞赛）有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？
【答案】解：336、252和210的最大公约数是42，
336÷42=8（个）
252÷42=6（个）
210÷42=5（个）
答：这些水果最多可以分成42份同样的礼物，每份中有苹果8个，桔子6个，梨5个。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】因为是求最多可以分的份数，所以最多的份数是336、252、210的最大公因数。因此求出这三个数的最大公约数就是最多可以分的份数。用每种水果的个数除以分的份数即可求出每份中每种水果的个数。
7．（2022六上·竞赛）教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等）？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？
【答案】解：320、240和200的最大公约数是40，
320÷40=8（个）
240÷40=6（个）
200÷40=5（个）
答：最多可分成40份同样的礼物，每份中有8个苹果、6个桔子，5个鸭梨。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】分成的份数一定是苹果、桔子和鸭梨个数的公约数，因为是求最多可以分成的份数，所以份数是三种水果个数的最大公约数。求出三个数的最大公约数，然后用每种水果的个数分别除以份数即可求出每份中每种水果的个数。
8．2004的约数中，比100大且比200小的约数是　 　。
【答案】167
【知识点】枚举法；分解质因数
【解析】【解答】解：2004可以分解为质因数相乘的形式：2004 = 22×3×167
根据质因数分解，约数的组合方式包括：
20×30×1670=1
21×30×1670=2
22×30×1670=4
20×31×1670=3
21×31×1670=6
22×31×1670=12
20×30×1671=167
21×30×1671=334
22×30×1671=668
20×31×1671=501
21×31×1671=1002
22×31×1671=2004
在上述约数中，比100大且比200小的只有167。
故答案为：167
【分析】将2004进行质因数分解，列举出所有可能的约数，然后筛选出满足100到200之间的数值
9．过冬了，小白兔只储存了180只胡萝卜，小灰兔只储存了120棵大白菜，为了冬天里有胡萝卜吃，小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜，这时他们储存的粮食数量相等，则一棵大白菜可以换　 　只胡萝卜。
【答案】3
【知识点】列方程解含有多个未知数的应用题
【解析】【解答】设小灰兔用x棵大白菜换了小白兔y只胡萝卜，
120-x+y=（120+180）÷2，
120-x+y=150，
即 y-x=30，
又因为，10＜x＜20，
所以，
为了使为整数，所以，x=15，
y=45，
所以y÷x=3；
答：一棵大白菜可以换3只胡萝卜，
故答案为：3．
【分析】设小灰兔用x棵大白菜换了小白兔y只胡萝卜，因为最后他们存储的食物数量相等，所以他们都存储了（120+180）÷2，由此列出不定方程，解答即可．
10．（巴蜀）一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是　 　。
【答案】74
【知识点】公因数与最大公因数
【解析】【解答】解： 最大的约数+次大的约数=111，因为最大的约数是该自然数本身，而和“111” 是奇数， 而奇数=奇数 + 偶数， 所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶，偶数必然能被2整除，所以次大约数应为这个自然数的 ，设这个自然数 为 ， 则次大约数为 a
a+a=111
a=111
a=74
故答案为：74。
【分析】本题先要根据等式“最大的约数+次大的约数=111”然后逐步分析。最大的约数是该自然数本身，而111是奇数，这时可以根据和为奇数的特点和次大约数的特点分析，确定次大约数和自然数的关系，列式求解即可。
11．（2022六上·竞赛）一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
【答案】解：最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98。
答：此数是98。
【知识点】因数的特点及求法
【解析】【分析】一个数最小的约数是1，最大的约数是它本身。先确定这个两位数最小的约数1，然后确定另外两个较小的约数之和是9；根据“奇数+偶数=奇数”可以得到这两个约数中一定有一个约数是2，那么另外一个较小的约数就是7。前三个约数的积是14，那么这个两位数一定是14的倍数。然后从14的两位数倍数中找出6个约数的数即可。
12．（2022六上·竞赛）如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍。现有一个整数n，除掉它的约数1和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？
【答案】解：因为其中一个约数是另一个约数的15倍，15=3×5，那么这个数必然含有约数3和5，那么最小的约数除1以外就不能是5，所以就只有2或3。
那么n就是2×15×2=60，或者是3×15×3=135。
答：满足条件的整数n有60和135。
【知识点】约数个数与约数和定理
【解析】【分析】因为其中一个约数是另一个约数的15倍，15=3×5，那么这个数必然含有约数3和5，那么最小的约数除1以外就不能是5，所以就只有2或3。
13．（2022六上·竞赛）马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是　 　。
【答案】517
【知识点】分解质因数
【解析】【解答】解：473=11×43
407=11×37
所以甲数是47，
两个数的积是：11×47=517。
故答案为：517。
【分析】先把两个乘积分解质因数，两个数的质因数都有一个11，说明另一个数是看错的数字。根据两人看错的数的数位确定正确的甲数，然后计算出两个数正确的积即可。
14．（2022六上·竞赛）用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是　 　。
【答案】108
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【解答】解：假设A，B代表所求的两个三位数，（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，
设C=（A，B，540），540=2×2×3×3×3×5，
因为2、3、4、5、6、7这六个数码中只有一个5的倍数，
故C的因数中不可能包含5，
C的最大值=2×2×3×3×3=108。
故答案为：108。
【分析】假设A，B代表所求的两个三位数，（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，设C=（A，B，540），540=2×2×3×3×3×5，因为给定的六个数字中只有一个5的倍数，所以C的因数中不可能包含5，此时C的最大值是108，可知A=432，B=756满足条件。
15．（2022六上·竞赛）现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？
【答案】解：1111=11×101
答：最大的可以是101。
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。
16．（2022六上·竞赛）10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？
【答案】解：设M为这10个非零不同自然数的最大公约数，那么这10个不同的自然数分别可以表示为： ，其中
那么根据题意有：
因为10个不同非零自然数的和最小为55，所以M最大可以为13。
【知识点】公约数与公倍数问题
【解析】【分析】根据最大公约数的知识解答即可。
17．100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能值是　 　。
【答案】17
【知识点】分解质因数；最大公因数的应用
【解析】【解答】解：因为2006=2×17×59，它们的公约数只能是2和17，则最大公约数最大可能值是17．
故答案为：17．
【分析】最大公约数一定是2006的一个因式，然后把2006分解质因数，2006=2×17×59，因为100个非0自然数的和等于2006，因此它们的公约数不能是59，只能是2和17，则最大公约数最大可能值是17．
18．三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为　 　．
【答案】72
【知识点】分解质因数；最大公因数的应用
【解析】【解答】 解：根据题意，可得
126=2×3×3×7
（1）6×21=（1+2+3）×21，即这三个数是：21、42、63，
21、42的最大公因数是：21，
21、63的最大公因数是：21，
42、63的最大公因数是：42，
它们两两最大公约数之和是：21+21+21=63；
（2）7×18=（1+2+4）×18，即这三个数是：18、36、72
18、36的最大公因数是：18
18、72的最大公因数是：18
36、72的最大公因数是：36
它们两两最大公约数之和是：18+18+36=72
故答案为：72
【分析】根据题意，三个两两不同的正整数，要想它们两两最大公约数之和最大，它们三个的公因数也必须足够大，先将126分解质因数，并且126除以他们公因数的上合起来大于等于6，进而可以找出符合条件的这三个数，然后试算比较即可．
19．用这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数．
【答案】解：（1）组成的所有九位数，每一个数上的数字相加的和都是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
45是9的倍数，能被9整除，根据各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除，所以这九个数字组成的所有九位数都能被9整除；
（2）987654321-987654312=9，所以最大公约数不可能超过9；
综上所述，组成的所有九位数的最大公约数是9．
【知识点】最大公因数的应用
【解析】【分析】根据能被9整除的数的特征，即各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除，用1～9这九个数码组成的没有重复数字的九位数，它们各个数位上的数字之和能被9整除，进一步得出答案．
20．少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每2个人合做一个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下来，一共做了100个“猪娃娃”，由此可知手工组共有　 　个小朋友。
【答案】48
【知识点】列方程解关于分数问题
【解析】【解答】解：设共有x个小朋友，则可列方程：
x=48；
答：手工组共有48个小朋友．
故答案为：48．
【分析】人数是一定的，所以本题可列方程解决，设共有x个小朋友，所以共做了x个纸“猪娃娃”，个泥“猎娃娃”，个布“猪蛙娃”，个电动“猪蛙娃”；由此可列方程：，解此方程即可．
21．（2023·巴蜀）一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度将它分成n等份(m>n)。
（1）设x是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x+1是m和n的公约数；
（2）如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根，试确定m和n的值。
【答案】（1）解：
=
=
=
=；
同样，可以得出；
所以x+1是m和n的公约数；
（2）解：由题设，
所以，
即13+n是13×13的因数，13×13只有3个因数：1，13，132．
所以，13+n=132，n=132-13=156，m=12．
【知识点】最小公倍数的应用
【解析】【分析】（1）首先构造出被分成红色刻度线将它分成m等份：，用黑色刻度将它分成n等份为：，计算出结果得出答案即可；
（2）由（1）得出的算式作差，利用整除的性质得出m和n的整数解．
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