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湖北省2025届八校三统联考
高三数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a,b∈R,则“a+b>4”是“a,b中至少有一个大于2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法,在如图所示的模型中,已知人眼距离地面高度h=1.5 m,某建筑物高h1=4.5 m,将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置,测量人与镜子间的距离a1=1.2 m,将镜子后移a m,重复前面的操作,测量人与镜子间的距离a2=3.2 m,则a=( )
A.6 B.5
C.4 D.3
3.设复数z满足|z-2i|=1,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是( )
A.1 B.
C. D.3
4.某学校于3月12日组织师生举行植树活动,购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1 200棵,所占比例如图所示。高一、高二、高三年级报名参加植树活动的人数分别为600,400,200,若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配,则高三年级应分得的侧柏的数量为( )
A.34 B.46
C.50 D.70
5.在平面直角坐标系中,某菱形的一组对边所在直线的方程分别为x-2y+1=0和x-2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x+4y+c1=0和3x+4y+c2=0,则|c1-c2|=( )
A.2 B.2
C.2 D.4
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=10,则S30=( )
A.0 B.-10
C.-30 D.-40
7.若不等式xex-a≥ln x+x-1恒成立,则实数a的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
8.某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有( )
A.种 B.种
C.种 D.种
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知等边三角形ABC内接于☉O,D为线段OA的中点,E为BC的中点,则=( )
A. B.
C. D.
10.已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论正确的是( )
A.不论a为何值时,l1与l2都互相垂直
B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(0,1),B(-1,0)
C.不论a为何值时,l1与l2都关于直线x+y=0对称
D.如果l1与l2交于点M,O为坐标原点,则|MO|的最大值是
11.已知a>b>1,e为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是( )
A.aea>beb B.aln b>bln a
C.aln a>bln b D.bea>aeb
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.若函数y=f(x)的图象过点(1,1),则函数y=f(4-x)的图象一定经过点 。
13.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线交椭圆于A,B两点,若F2为线段AB的中点,则△AF1B的面积为 。
14.某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于9环为优秀,其射击一次的优秀率为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6。
(1)解关于a的不等式f(1)>0;（7分）
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值。（8分）
16.（本小题满分15分）
在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos Csin(A-B)=cos Bsin(C-A)。
(1)求tan A的最小值;（7分）
(2)若tan A=2,a=4,求c。（8分）
17.（本小题满分15分）
如图,四棱锥P ABCD的底面为菱形,∠ABC=,AB=AP=2,PA⊥底面ABCD,E是线段PB的中点,G,H分别是线段PC上靠近P,C的三等分点。
(1)求证:平面AEG∥平面BDH;（7分）
(2)求点A到平面BDH的距离。（8分）
18.（本小题满分16分）
在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点。
(1)求点B到直线AC1的距离;（8分）
(2)求直线FC到平面AEC1的距离。（8分）
19.（本小题满分16分）
已知各项均为正数的等比数列{an},其前n项和为Sn,满足2Sn=an+2-6。
(1)求数列{an}的通项公式;（8分）
(2)记bm为数列{Sn}在区间(am,am+2)中最大的项,求数列{bn}的前n项和Tn。（8分）
高三数学试题答案
一、二、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A D C B C B D AC ABD ACD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.(3,1)。 13.。 14.40%。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解　(1)由题意知f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-2。所以所求不等式的解集为{a|3-2}。（7分）
(2)因为f(x)>b的解集为(-1,3),所以方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,所以故a的值为3±,b的值为-3。（8分）
16.（本小题满分15分）
解　(1)由已知得cos C(sin Acos B-cos Asin B)=cos B(sin Ccos A-cos Csin A),又sin(B+C)=sin A,所以整理得2cos Csin Acos B=cos Asin A,因为sin A>0,所以2cos Ccos B=cos A。又cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C,所以sin Bsin C=3cos Ccos B,即tan Btan C=3。tan A=-tan(B+C)=,当且仅当tan B=tan C=时等号成立,故tan A的最小值为。（7分）
(2)因为tan A=2,所以tan B+tan C=4,又tan Btan C=3,所以tan C=1或tan C=3,当tan C=1时,sin C=,由正弦定理,得c=;当tan C=3时,sin C=,由正弦定理,得c=。综上,c=5或3。（8分）
17.（本小题满分15分）
解　(1)证明:如图,连接AC,交BD于点O,连接OH,在△PBH中,E,G分别为PB,PH的中点,所以EG∥BH,又EG 平面BDH,BH 平面BDH,所以EG∥平面BDH,同理可得AG∥OH,AG∥平面BDH,因为AG,EG 平面AEG,AG∩EG=G,所以平面AEG∥平面BDH。（7分）
(2)记点A到平面BDH,点H到平面ABD的距离分别为hA,hH。S△ABD=。因为PA⊥平面ABCD,PA=2,CH=CP,所以hH=。在△PBC中,PB=PC=2,BC=2,所以cos∠PCB=。在△BCH中,BH2=BC2+CH2-2BC·CH·cos∠HCB=,则BH=,同理可得DH=。在△BDH中,BH=DH=,BD=2,所以S△BDH=。连接AH,因为VA BDH=VH ABD,所以hA=。（8分）
18.（本小题满分16分）
解　以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E,F,所以=(0,1,0),=(-1,1,-1),,,,。
(1)取a==(0,1,0),u=(-1,1,-1),则a2=1,a·u=。所以点B到直线AC1的距离为。（8分）
(2)因为,所以FC∥EC1,又EC1 平面AEC1,FC 平面AEC1,所以FC∥平面AEC1。所以点F到平面AEC1的距离为直线FC到平面AEC1的距离。设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则取z=1,则x=1,y=2,所以n=(1,2,1)是平面AEC1的一个法向量。又因为,所以点F到平面AEC1的距离为。即直线FC到平面AEC1的距离为。（8分）
19.（本小题满分16分）
解　(1)设{an}的公比为q,q>0。因为2Sn=an+2-6,所以当n=1时,2S1=a3-6,当n=2时,2S2=a4-6,两式相减可得2a2=a4-a3,所以2=q2-q,所以q=2或q=-1(舍去),所以2S1=a3-6=4a1-6,则a1=3,所以等比数列{an}的通项公式为an=3×2n-1。（8分）
(2)由an=3×2n-1,2Sn=an+2-6,得Sn=(an+2-6)=(3×2n+1-6)=3×2n-3,所以Sn=an+1-30,所以Sn≥an,当且仅当n=1时等号成立,所以am≤Sm

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