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2025年中考数学复习：图形的对称
一．选择题（共10小题）
1．（2024 齐齐哈尔）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 兰州）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
3．（2024 武汉）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024 唐山二模）将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 福州）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
6．（2024 抚顺）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．
7．（2024 聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）
8．（2024 洪泽区一模）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（　　）
A．45° B．α﹣45° C．α D．90°α
9．（2024 苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　　）
A． B． C． D．2
10．（2024 深圳）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF．在以上4个结论中，正确的有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 淮滨县校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为 　 　．
12．（2024 旌阳区期末）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 　 　．
13．（2024秋 江宁区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　 　．
14．（2024 三明）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是　 　．
15．（2024 盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE＝ 　 　时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 无为市期末）如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．
17．（2024秋 余姚市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　 　；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 　 　；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．
18．（2024 德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB＝∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
19．（2024 乐山）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．
20．（2024 崇川区期末）如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短．
2025年中考数学复习：图形的对称
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B C B A C D B C
一．选择题（共10小题）
1．（2024 齐齐哈尔）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（2024 兰州）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″的长即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB＝120°，
∴∠AA′M+∠A″＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
3．（2024 武汉）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（　　）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；垂径定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算．
【答案】B
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD＝BDAB＝2，于是根据勾股定理可计算出OD＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC＝DC，利用等腰三角形的性质得AE＝DE＝1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF＝EF＝1，然后计算出CF后得到CE＝BE＝3，于是得到BC＝3．
【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BDAB＝2，
在Rt△OBD中，OD1，
∵将弧沿BC折叠，
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴，
∴AC＝DC，
∴AE＝DE＝1，
∵∠ODE＝∠OFE＝∠DEF＝90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∵DE＝OD＝1，
∴四边形ODEF是正方形，
∴OF＝EF＝1，
在Rt△OCF中，CF2，
∴CE＝CF+EF＝2+1＝3，
而BE＝BD+DE＝2+1＝3，
∴BC＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．
4．（2024 唐山二模）将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（　　）
A． B． C． D．
【考点】生活中的轴对称现象．
【专题】推理能力．
【答案】C
【分析】认真观察图形，首先找出对称轴，根据轴对称图形的定义可知只有C是符合要求的．
【解答】解：观察选项可得：只有C是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴，仔细观察图形是正确解答本题的关键．
5．（2024 福州）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标确定位置．
【答案】B
【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．
【解答】解：当以点B为原点时，
A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），
则点A和点C关于y轴对称，
符合条件，
故选：B．
【点评】本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．
6．（2024 抚顺）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】A
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，BE与AC的交点为P，此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴P′D＝P′B，
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2．
故所求最小值为2．
故选：A．
【点评】此题主要考查轴对称﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．
7．（2024 聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称．
【答案】C
【分析】根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），求得直线EC的解析式为yx+2，解方程组即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵，点D为OB的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为yx+2，
解得，，
∴P（，），
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．
8．（2024 洪泽区一模）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（　　）
A．45° B．α﹣45° C．α D．90°α
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称．
【答案】D
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°．
【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE∠BAD，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°90°＝90°，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
9．（2024 苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　　）
A． B． C． D．2
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．
【解答】解：法一：
作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵DP＝PA，
∴PA+PC＝PD+PC＝CD，
∵B（3，），
∴AB，OA＝3，∠B＝60°，由勾股定理得：OB＝2，
由三角形面积公式得：OA×ABOB×AM，
∴AM，
∴AD＝23，
∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∵∠BAO＝90°，
∴∠OAM＝60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA＝30°，
∴ANAD，由勾股定理得：DN，
∵C（，0），
∴CN＝31，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC，
即PA+PC的最小值是，
法二：
如图，作点C关于OB的对称点D，连接AD，过点D作DM⊥OA于M．
∵AB，OA＝3
∴∠AOB＝30°，
∴∠DOC＝2∠AOB＝60°
∵OC＝OD
∴△OCD是等边三角形
∴DM＝CD sin60°，OM＝CM＝CD cos60°
∴AM＝OA﹣OM＝3
∴AD
即PA+PC的最小值为
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．
10．（2024 深圳）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF．在以上4个结论中，正确的有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB＝GA+GB＝12，EB＝EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG＝4，BG＝8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的．
【解答】解：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，
由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，
即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2，
解得：x＝4
∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，②正确；
BE＝EF＝6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；
S△GBE6×8＝24，S△BEF S△GBE，④正确．
故选：C．
【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 淮滨县校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为 　10°　．
【考点】轴对称的性质；三角形的外角性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据轴对称的性质可知∠CA′D＝∠A＝50°，然后根据外角定理可得出∠A′DB．
【解答】解：由题意得：∠CA′D＝∠A＝50°，∠B＝40°，
由外角定理可得：∠CA′D＝∠B+∠A′DB，
∴可得：∠A′DB＝10°．
故答案为：10°．
【点评】本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意外角定理的运用是解决本题的关键．
12．（2024 旌阳区期末）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 　30°　．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接CF，由条件可以得出∠ABE＝∠CBF，再根据等边三角形的性质就可以证明△BAE≌△BCF，从而可以得出∠BCF＝∠BAD＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，依据当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，可得△BDF的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到∠DBF的度数．
【解答】解：如图，连接CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAD＝30°，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，
∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，
由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG＝DC＝DB，
∴∠DBG＝∠DGB∠CDG＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
13．（2024秋 江宁区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　　．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABCAB CMAC BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴AB，
∵S△ABCAB CMAC BC，
∴CM．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
14．（2024 三明）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是　1　．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先由勾股定理求得AC的长度，由轴对称的性质可知BC＝CB′＝3，当B′A有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC4，
由轴对称的性质可知：BC＝CB′＝3，
当A、B′、C三点在一条直线上时，B′A有最小值，
∴B′Amin＝AC﹣B′C＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键．
15．（2024 盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE＝ 　或　时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质．
【专题】分类讨论；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设BE＝x，则EC＝4﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x．当AE＝EC′时，由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2；当AE＝AC′时，作AH⊥EC′，由∠AEF＝90°，EF平方∠CEC′可证得∠AEB＝∠AEH，则△ABE≌△AHE，所以BE＝HE＝x，由三线合一得EC′＝2EH，即4﹣x＝2x，解方程即可．
【解答】解：设BE＝x，则EC＝4﹣x，
由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x，当AE＝EC′时，AE＝4﹣x，
∵矩形ABCD，
∴∠B＝90°，
由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2，
解得：，
当AE＝AC′时，如图，作AH⊥EC′
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝∠AEC′+∠FEC′＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∵△ECF沿EF翻折得△EC′F，
∴∠FEC′＝∠FEC，
∴∠AEB＝∠AEH，
∵∠B＝∠AHE＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE＝HE＝x，
∵AE＝AC′，
∴EC′＝2EH，
即4﹣x＝2x，
解得，
综上所述：BE或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当AE＝AC′时如何列方程，有一定难度．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 无为市期末）如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．
【考点】轴对称的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出∠E＝∠DAC，根据等边三角形的性质，得出∠BAD+∠DAC＝∠E+∠EDC＝60°，据此可得出∠BAD＝∠EDC；
（2）根据轴对称作图，要证明DA＝AM，只需根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，证△ADM是等边三角形即可．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°．
又∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠EDC+∠DEC＝∠ACB，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EDC+∠DEC．
∵DE＝DA，
∴∠DAC＝∠DEC，
∴∠BAD＝∠EDC．
（2）猜想：DM＝AM．理由如下：
∵点M、E关于直线BC对称，
∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM．
又由（1）知∠BAD＝∠EDC，
∴∠MDC＝∠BAD．
∵∠ADC＝∠BAD+∠B，
即∠ADM+∠MDC＝∠BAD+∠B，
∴∠ADM＝∠B＝60°．
又∵DA＝DE＝DM，
∴△ADM是等边三角形，
∴DM＝AM．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称变换以及三角形外角性质等知识的综合应用．解题时注意运用等边三角形的三个内角都等于60°，三条边都相等．
17．（2024秋 余姚市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　4　；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 　（﹣4，3）　；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；三角形的面积．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】（1）4；
（2）（﹣4，3）；
（3）（4，0）或（0，0）．
【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×44；
故答案为：4；
（2）点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为：（﹣4，3）；
故答案为：（﹣4，3）；
（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为1，
∴BP＝2，
∴点P的横坐标为：2+2＝4或2﹣2＝0，
故P点坐标为：（4，0）或（0，0）．
【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
18．（2024 德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB＝∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【考点】翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC＝∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB＝∠PBC即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH＝AP+PD+DH+HC＝AD+CD＝8；
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2＝BE2，利用二次函数的最值求出即可．
【解答】（1）证明：如图1，∵PE＝BE，
∴∠EBP＝∠EPB．
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC＝∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC．
∴∠APB＝∠BPH．
（2）△PHD的周长不变为定值8．
证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB＝∠BPH，
在△ABP和△QBP中，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP＝QP，AB＝BQ．
又∵AB＝BC，
∴BC＝BQ．
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴CH＝QH．
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH＝AP+PD+DH+HC＝AD+CD＝8．
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM＝BC＝AB．
又∵EF为折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF＝∠ABP+∠BEF＝90°，
∴∠EFM＝∠ABP．
又∵∠A＝∠EMF＝90°，
∴△EFM≌△PBA（ASA）．
∴EM＝AP＝x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2＝BE2．
解得，．
∴．
又∵折叠的性质得出四边形EFGP与四边形BEFC全等，
∴．
即：．
配方得，，
∴当x＝2时，S有最小值6．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．
19．（2024 乐山）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AD∥BC，知∠ADB＝∠DBC，根据折叠的性质∠ADB＝∠BDF，所以∠DBC＝∠BDF，得BE＝DE，即可用AAS证△DCE≌△BFE；
（2）在Rt△BCD中，CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°，知BC＝2，在Rt△BCD中，CD＝2，∠EDC＝30°，知CE，所以BE＝BC﹣EC．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
根据折叠的性质∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠BDF，
∴BE＝DE，
在△DCE和△BFE中，
，
∴△DCE≌△BFE（AAS）；
（2）在Rt△BCD中，
∵CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴BC＝2，
在Rt△ECD中，
∵CD＝2，∠EDC＝30°，
∴DE＝2EC，
∴（2EC）2﹣EC2＝CD2，
∴CE，
∴BE＝BC﹣EC．
【点评】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等角对等边、平行线的性质以及勾股定理的综合运用，熟练的运用折叠的性质是解决本题的关键．
20．（2024 崇川区期末）如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】作点P关于直线OA的对称点P′，作点Q关于直线OB的对称点B′，连接P′B′分别交OA，OB于点M、N，则点MN即为所求．
【解答】解：如图所示．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．
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