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2025年中考数学复习：图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 茌平区校级月考）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
2．（2024 广西）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
3．（2024 龙岗区校级自主招生）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于E，已知AD＝AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF；④S△ABF＝3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2024 牡丹江）若x：y＝1：3，2y＝3z，则的值是（　　）
A．﹣5 B． C． D．5
5．（2024 梧州）如图，AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE与EC的比值是（　　）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
6．（2024 泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（　　）
A．18 B． C． D．
7．（2024 海南）如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
8．（2024春 平舆县校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
9．（2024 南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（　　）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
10．（2024秋 唐河县期中）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2024 成都）已知，且a+b﹣2c＝6，则a的值为 　 　．
12．（2024 自贡）将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于　 　．
13．（2024 锦州）如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB＝15，则EF＝　 　．
14．（2024 龙岗区模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　 　．
15．（2024 曲靖）若△ADE∽△ACB，且，DE＝10，则BC＝　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
17．（2024 聊城）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
18．（2024 威海）（1）如图1，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°，求AD的长．
（2）如图2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长．
19．（2024 东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO，BO：CO＝1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB＝　 　°，AB＝　 　．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．
20．（2024 崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
2025年中考数学复习：图形的相似
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A D B D A B D
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 茌平区校级月考）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
【考点】相似三角形的判定．
【专题】网格型．
【答案】C
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可完成题目．
【解答】解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴，
，
即，
∴两三角形的三边对应成比例，
∴①③相似．
故选：C．
【点评】此题主要考查三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．
2．（2024 广西）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】B
【分析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，易证四边形EHDN是矩形，则DN＝x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
3．（2024 龙岗区校级自主招生）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于E，已知AD＝AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF；④S△ABF＝3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的判定与性质．
【专题】压轴题；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】要解答本题，首先由中垂线的性质可以求得BE＝CE，利用外角与内角的关系可以得出∠CAD＝∠ABE，通过作辅助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出EF＝FHHB，根据等高的两三角形的面积关系求出AF＝DF，S△ABF＝3S△DEF，利用角的关系代替证明∠5≠∠4，从而得出△DEF与△DAE不相似．根据以上的分析可以得出正确的选项答案．
【解答】解：∵D是BC的中点，且DE⊥BC，
∴DE是BC的垂直平分线，CD＝BD，
∴CE＝BE，故本答案正确；
∴∠C＝∠7，
∵AD＝AB，
∴∠8＝∠ABC＝∠6+∠7，
∵∠8＝∠C+∠4，
∴∠C+∠4＝∠6+∠7，
∴∠4＝∠6，即∠CAD＝∠ABE，故本答案正确；
作AG⊥BD于点G，交BE于点H，
∵AD＝AB，DE⊥BC，
∴∠2＝∠3，DG＝BGBD，DE∥AG，
∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，EH＝BH，∠EDA＝∠3，∠5＝∠1，
∴CD：CG＝DE：AG，HGDE，
设DG＝x，DE＝2y，则GB＝x，CD＝2x，CG＝3x，
∴2x：3x＝2y：AG，
解得：AG＝3y，HG＝y，
∴AH＝2y，
∴DE＝AH，且∠EDA＝∠3，∠5＝∠1
∴△DEF≌△AHF
∴AF＝DF，故本答案正确；
EF＝HFEH，且EH＝BH，
∴EF：BF＝1：3，
∴S△ABF＝3S△AEF，
∵S△DEF＝S△AEF，
∴S△ABF＝3S△DEF，故本答案正确；
∵∠1＝∠2+∠6，且∠4＝∠6，∠2＝∠3，
∴∠5＝∠3+∠4，
∴∠5≠∠4，
∴△DEF∽△DAE，不成立，故本答案错误．
综上所述：正确的答案有4个．
故选：B．
【点评】本题考查了中垂线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的中位线及相似三角形的判定及性质和等积变换等知识．
4．（2024 牡丹江）若x：y＝1：3，2y＝3z，则的值是（　　）
A．﹣5 B． C． D．5
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】根据比例设x＝k，y＝3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵x：y＝1：3，
∴设x＝k，y＝3k，
∵2y＝3z，
∴z＝2k，
∴5．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．
5．（2024 梧州）如图，AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE与EC的比值是（　　）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE得到，则CEDF，由DF∥AE得到，则AE＝4DF，然后计算的值．
【解答】解：过点D作DF∥CA交BE于F，如图，
∵DF∥CE，
∴，
而BD：DC＝2：3，
∴，则CEDF，
∵DF∥AE，
∴，
∵AG：GD＝4：1，
∴，则AE＝4DF，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
6．（2024 泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（　　）
A．18 B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【答案】B
【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，BM＝5，
∴MC＝12﹣5＝7．
∵ME⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∴∠AMB+∠CMG＝90°．
∵∠AMB+∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝∠CMG，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴，即，解得CG，
∴DG＝12．
∵AE∥BC，
∴∠E＝CMG，∠EDG＝∠C，
∴△MCG∽△EDG，
∴，即，解得DE．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
7．（2024 海南）如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，
∴△EDC∽△CBP，
故有3对相似三角形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
8．（2024春 平舆县校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平行四边形的性质．
【专题】探究型．
【答案】A
【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF＝4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出的值，由AB＝CD即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF＝4：25，
∴，
∵AB＝CD，
∴DE：EC＝2：3．
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
9．（2024 南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（　　）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出，可解得DE的长，由AE＝AD﹣DE求解即可得出答案．
【解答】解：如图1，连接BD、CD，
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD＝BD，
∴∠CBD＝∠DAB，
在△ABD和△BED中，
∴△ABD∽△BED，
∴，即，
解得DE，
∴AE＝AD﹣DE＝52.8．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED．
10．（2024秋 唐河县期中）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【答案】D
【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
C、添加，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
D、添加，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角∠BAC＝∠DAE是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法．
二．填空题（共5小题）
11．（2024 成都）已知，且a+b﹣2c＝6，则a的值为 　12　．
【考点】比例的性质．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c＝6，得出答案．
【解答】解：∵，
∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，
∵a+b﹣2c＝6，
∴6x+5x﹣8x＝6，
解得：x＝2，
故a＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
12．（2024 自贡）将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于　1：3　．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于1：，相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠DCB＝90°
∴AB∥CD，
∴∠OCD＝∠A，∠D＝∠ABO，
∴△AOB∽△COD
又∵AB：CD＝BC：CD＝tan30°＝1：
∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
故答案为：1：3．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
13．（2024 锦州）如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB＝15，则EF＝　　．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】由DE与BC平行，由平行得比例求出AE的长，再由DF与CE平行，由平行得比例求出EF的长即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵，
∴，即，
∵AB＝15，
∴AE＝10，
∵DF∥CE，
∴，即，
解得：AF，
则EF＝AE﹣AF＝10，
故答案为：
【点评】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．
14．（2024 龙岗区模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　2：1　．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】2：1．
【分析】根据已知条件推出AOAG，根据平行线分线段成比例定理求出，，推出AOAG，OH＝OG﹣HGAG，代入求出即可．
【解答】解：∵点O是线段AG的中点，
∴OA＝OGAG，
∵DE∥BC，AD：DB＝3：1，
∴，，
∴OH＝OG﹣HGAGAGAG，
∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1，
故答案为：2：1．
【点评】本题考查学生对平行线分线段成比例定理的灵活运用，关键是检查学生能否熟练地运用平行线分线段定理进行推理．
15．（2024 曲靖）若△ADE∽△ACB，且，DE＝10，则BC＝　15　．
【考点】相似三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据△ADE∽△ACB，得到，代入已知数据计算即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴，又，DE＝10，
∴BC＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等并找准对应边是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2＝AB AD；
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CEAB＝AE，继而可证得∠DAC＝∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CEAB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE＝AF：CF，
∵CEAB，
∴CE6＝3，
∵AD＝4，
∴，
∴．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
17．（2024 聊城）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
【考点】相似三角形的判定；一次函数的应用；三角形的面积；矩形的性质．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当t＝1时，根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，可求出S和t的关系．
（2）根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S，求出S和t的关系式．
（3）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解．
【解答】解：（1）如图1，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，
由S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，
（10+2）×810×4
＝24（cm2）；
（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时AE＝2t，EB＝12﹣2t，BF＝4t，FC＝8﹣4t，CG＝2t，
S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
（EB+CG） BCEB BFFC CG
8×（12﹣2t+2t）4t（12﹣2t）2t（8﹣4t）
＝8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．
②如图2，当点F追上点G时，4t＝2t+8，解得t＝4，
当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF＝4t﹣8，CG＝2t，
FG＝CG﹣CF＝2t﹣（4t﹣8）＝8﹣2t，
SFG BC（8﹣2t） 8＝﹣8t+32．
即S＝﹣8t+32（2＜t＜4）．
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，在△EBF和△FCG中，∠B＝∠C＝90°，
①若，即，
解得t．
所以当t时，△EBF∽△FCG，
②若即，解得t．
所以当t时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当t或t时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，一次函数的应用和三角形的面积以及矩形的性质等知识点．
18．（2024 威海）（1）如图1，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°，求AD的长．
（2）如图2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接BE，证明△ACD≌△BCE，得到AD＝BE，在Rt△BAE中，AB＝6，AE＝3，求出BE，得到答案；
（2）连接BE，证明△ACD∽△BCE，得到，求出BE的长，得到AD的长．
【解答】解：（1）如图1，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
又∵AC＝BC，DC＝EC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵AC＝BC＝6，
∴AB＝6，
∵∠BAC＝∠CAE＝45°，
∴∠BAE＝90°，
在Rt△BAE中，AB＝6，AE＝3，
∴BE＝9，
∴AD＝9；
（2）如图2，连接BE，
在Rt△ACB中，∠ABC＝∠CED＝30°，
tan30°，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝90°，又AB＝6，AE＝8，
∴BE＝10，
∴AD．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握性质定理和判定定理是解题的关键，正确作出辅助线是重点．
19．（2024 东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO，BO：CO＝1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB＝　75　°，AB＝　4　．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB＝∠OAC＝75°，结合∠BOD＝∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD＝75°＝∠ADB，由等角对等边可得出AB＝AD＝4，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE＝4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
【解答】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝75°．
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴．
又∵AO，
∴ODAO，
∴AD＝AO+OD＝4．
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝4．
故答案为：75；4．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴．
∵BO：OD＝1：3，
∴．
∵AO＝3，
∴EO，
∴AE＝4．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4）2+BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝4，
∴AB＝AC＝8，AD＝12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即82+122＝CD2，
解得：CD＝4．
【点评】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
20．（2024 崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
【考点】相似三角形的应用；二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；
（3）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．
【解答】解：（1）∵四边形EGFH为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
解得x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．
（3）设EF＝x，EG＝y，
∵△AEF∽△ABC
∴，
∴
∴y＝80x
∴矩形面积S＝xyx2+80x（x﹣60）2+2400（0＜x＜120）
故当x＝60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．
【点评】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．
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