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2024-2025学年北京市七年级数学下册
期末真题专项练习 04 解答题
一、解答题
1．（2024七下·北京市期末）若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组的“友好方程”．
（1）请你写出一个方程，使它为不等式组的“友好方程”；
（2）若关于x的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，直接写出m的取值范围．
2．（2024七下·石景山期末）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”．
（1）在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是________（填序号）．
（2）已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：_________．
（3）若关于x的不等式组的“中点关联方程”大于方程的解且小于方程的解，求m的取值范围．
3．（2024七下·西城期末）在平面直角坐标系中，给定n个不同的点，若，，…，，，…，中共有t个不同的数，则称t为这n个不同的点的特征值．图形F上任意n个不同的点中，特征值最小的一组点的特征值称为图形F的n阶特征值．
（1）点，，的特征值是 ；
（2）已知正方形的四个顶点分别为，，，，
①直接写出正方形的4阶特征值的最小值：
②若正方形的5阶特征值的最小值是3，直接写出a的取值范围．
4．（2024七下·怀柔期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
（1）填空：将写成矩阵形式为： ；
（2）若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．
5．（2024七下·怀柔期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移，得到线段（点的对应点为点，点的对应点为点），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，．
（）若点与点恰好重合，则　 　，　 　；
（）若，且平移后三角形的面积最大，则此时　 　，　 　．
6．（2024七下·房山期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．
（1）若，在中，的“3系数补角”是________；
（2）在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点．
①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小．
②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程．
7．（2024七下·房山期末）已知：如图，直线，被，所截，平分，，，，求的大小．
补充完成下列推理过程：
（已知），
，
（_______），
_______（_______）．
（已知），
（等量代换）．
平分（已知），
（角平分线定义）．
（已证），
（_______）．
8．（2024七下·延庆期末）我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”．
（1）已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ；
（2）若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”；
（3）若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围．
9．（2024七下·门头沟期末）在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义，当时，我们称点P为“纵高点”．例如点， ， 都是“纵高点”．
（1）在点，， ， 中，其中 “纵高点”有_________________；
（2）将点先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点．
①当点M在y轴上时，如果点是纵高点，那么n的取值范围是_______________；
②当时，连接，若线段上任意一点都是“纵高点”，直接写出m的取值范围．
10．（2024七下·延庆期末）完成下面的证明．
已知：如图，是的角平分线，点D在射线上，点E在射线上， 且．
求证：．
证明：∵是的角平分线，
∴ ① （ ② ）．
∵，
∴ ③ ．
∴（ ④ ）．
11．（2024七下·北京市期末）完成下面的证明，在括号中填写推理依据．
如图，已知，，垂足分别为，．
求证：．
解：，（已知）
（ ）
（同位角相等，两直线平行）
（ ）
（已知）
（ ）
（ ）
（ ）
12．（2024七下·北京市期末）在平面直角坐标系中，点和点，给出如下定义：对于任意实数，称点为点和点的“倍差点”．已知点．
（1）在点，，中，点和点的“1倍差点”是 ；
（2）已知横、纵坐标都为整数的点叫做整点．点和点的“倍差点”为点，点在第一、三象限的角平分线上．
①如果点是整点，且，写出三角形内部（不包括边界）整点的坐标；
②如果点和点关于轴对称，点为点和点的“倍差点”．四边形内部（不包含边界）至少有3个整点，至多有7个整点，那么的取值范围是 ．
13．（2024七下·石景山期末）完成下面的证明．
已知：如图，，．
求证：．
证明：（已知），
（________）．
（________）．
（已知），
（________）．
（________）．
14．（2024七下·北京市期末）在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的较大值为点，的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定．
（1）已知，，
① ；
②点是坐标系内一动点，当时，直接写出满足条件的绝对距离最小时的点坐标；
（2）已知点，点，当时，的最小值是 ，的最大值是 ；
（3）已知点，点，点在线段上，点的坐标是，点向右平移1个单位长度得到点，对于线段上任意一点，存在点满足，直接写出的取值范围．
15．（2024七下·北京市期末）已知直线，点，分别为，上的点，为平面内一点，，平分交于点．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，直接写出与的数量关系．
16．（2024七下·北京市期末）如图，三角形中，，，分别为，，上的点，，．求证：．
证明：（已知），
（ ）（填推理的依据）．
（已知），
（ ）（填推理的依据）．
（ ）（填推理的依据）．
17．（2024七下·昌平期末）已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”．
（1）当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________．
A． B． C．
（2）不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________．
（3）不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________．
18．（2024七下·昌平期末）某校开展数学节活动，活动成果是学生形成对于数学探索的海报，活动以“集市”形式展览个人的作品，并面向同学和老师讲解自己的作品，“小创客”创意市集作品的评价涉及四个维度：创意的真实性、创意的新颖性、创意的科学性和表达的严谨性，并以四个维度总分记为最后得分，满分100分，小明经过抽样调查部分得分数据，具体得分分布在以下四组内：，并把得分情况绘制成如下统计图：C组得分：87，86，88，86，86，89
“小创客”创意市集作品得分条形统计图“小创客”创意市集作品得分扇形统计图
（1）本次调查了______名学生，B组扇形统计图的圆心角度数为_______°
（2）C组得分的平均数是_______，众数是_________，中位数是__________．
（3）若某校有500人参加此次“小创客”创意市集作品展示，请你估计得分超过86分的有多少人？
19．（2024七下·西城期末）将非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，当n为非负整数时，①若则：②若，则如，，．
（1） ；
（2）若，则满足条件的实数t的值是 ．
20．（2024七下·西城期末）在平面直角坐标系中，已知点 (点不与原点重合)，将点称为点关于点的“倍平移点”．
（1）已知点的坐标是，
①若点，则点关于点的“倍平移点”Q的坐标是 ；
②点，，点在线段上，过点作直线轴，若直线l上存在点关于点的“2倍平移点”，求r的取值范围．
（2）点，，，，以为边在直线的上方作正方形，点在正方形的边上，且，，对于正方形的边上任意一点，若线段上都不存在点关于点的“倍平移点”，直接写出k的取值范围．
21．（2024七下·朝阳期末）在平面直角坐标系中，已知点，若点Q的坐标为，则称Q是点P的非常变换点．例如：点的非常变换点为．
（1）已知点的非常变换点为Q，当时，点Q的坐标为_________，当时，点Q的坐标为___________；
（2）在正方形中，点，已知点．
①若点M的非常变换点为C，求a的值；
②若线段上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形的边上或内部，直接写出a的最小值及此时x的值．
22．（2024七下·北京市期末）在平面直角坐标系中，对于点，，令，，将称为点A与点B的特征值．对于图形M和图形N，若点A为图形M上的任意一点，点B为图形N上的任意一点，且点A与点B的特征值存在最大值，则将该最大值称为图形M与图形N的特征值．
（1）已知点，．
①点A与点B的特征值为______；
②已知点C在y轴上，若点A与点C的特征值为5，则点C的坐标为______；
（2）已知点，，将线段以每秒1个单位的速度向左平移，经过秒后得到线段．
①已知点，，求点F与线段的特征值h的取值范围；
②已知面积为2的正方形的对角线交点为，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行，记该正方形与线段的特征值为k，则k的最小值为________；当时，t的取值范围为________．
23．（2024七下·北京市期末）已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组．
（1）二元一次方程组是______系方程组．
（2）关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围．
（3）关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围．
24．（2024七下·海淀期末）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P的横纵坐标的绝对值之和等于点Q的横纵坐标的绝对值之和，则称P，Q两点为“等和点”．下图中的P，Q两点即为“等和点”．
（1）已知点A的坐标为．
①在点中，与点A为“等和点”的是 （只填字母）；
②若点B在第一象限的角平分线上，且A，B两点为“等和点”，则点B的坐标为 ．
（2）已知点C的坐标为，点D的坐标为，连接，点M为线段CD上一点，过点作x轴的垂线l，若垂线l上存在点M的“等和点”，求n的取值范围．
25．（2024七下·怀柔期末）完成下面的证明：
如图， ，，求证：．
证明：，（已知）
① ，（等式性质1）
即② ．
∵，（已知）
③ ．（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
④ ，（等量代换）
∴⑤ ．（同位角相等，两直线平行）
26．（2024七下·海淀期末）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如．
（1）求不等式的解集．
（2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值．
（3）若关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解，求的取值范围．
27．（2024七下·怀柔期末）已知不等式与同时成立，求x的整数值．
28．（2024七下·房山期末）已知a+b=2，求代数式a2-b2+4b的值
29．（2024七下·延庆期末）在国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”活动．通过数学素养竞赛、数学创意展示等活动，展现数学魅力、传播数学文化．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，现从七年级随机抽取了20名学生成绩(单位：分)，并对数据进行整理、描述和分析．过程如下：
a.20名学生的数学素养竞赛分数：
66 70 71 78 71 78 75 78 58 80
63 90 80 85 80 89 85 86 80 87
b．整理、描述数据：
分数
人数 1 2 m 9 1
c.20名学生的数学素养竞赛分数扇形统计图：
d.20名学生的数学素养竞赛分数的平均数、中位数和众数：
平均数 中位数 众数
77.5 n t
请根据所给信息，解答下列问题：
（1） ， ， ；
（2）在扇形统计图中，“”所在的扇形的圆心角等于 度；
（3）若该校七年级共有200名学生参加了数学素养竞赛，且成绩不低于80分的学生可获得“数学之星”的称号，请你估计该校七年级获得“数学之星”称号的学生有多少人？
30．（2024七下·门头沟期末）按要求完成下列的证明：
已知：如图，，．求证：．
证明：∵（已知），
∴_______（________________________）．
∴_______（______________________）．
∵（已知），
∴______（等量代换）．
∴（_______________________）．
31．（2024七下·门头沟期末）如图，，直线l与，分别交于点E，F，平分交于M， 已知，求的度数．
32．（2024七下·石景山期末）已知：，，，设．求M的取值范围．
答案解析部分
1．（1）（答案不唯一）
（2）
（3）
2．（1）①
（2）（答案不唯一）
（3）
3．（1）4
（2）①2；②
4．（1）
（2）a，b的值分别是和1
5．；；；
6．（1）
（2）①；②或或或
7．同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等
8．（1）
（2）
（3）
9．（1）A，C，D
（2）①或；②
10．；角平分线定义；；内错角相等，两直线平行
11．垂直定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
12．（1）
（2）①或；②或
13．同旁内角互补，两直线平行；BED，两直线平行，内错角相等；C，两直线平行，同位角相等；等量代换
14．（1）①；②；
（2）的最大值为，最小值为；
（3）
15．（1）
（2）或．
16．B；两直线平行，同旁内角互补； ； 同角的补角相等； 同位角相等，两直线平行
17．（1）B
（2）
（3）3，5，7
18．（1）30，
（2）87分，86分，分
（3）估计得分超过86分的有100人
19．（1）3
（2）2
20．（1）①；②
（2）或
21．（1）；
（2）①②；1
22．（1）①7；②或
（2）①；②；
23．（1）1
（2）或
（3）或
24．（1）①、W；②
（2）
25．①，②，③4，④，⑤
26．（1）
（2）
（3）
27．整数x的值是0，1，2
28．4
29．（1）7，79，80
（2）36
（3）100人
30．，同位角相等，两直线平行，，两直线平行，内错角相等，，同旁内角互补，两直线平行
31．
32．

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