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2024-2025学年天津市七年级数学下册
期末真题专项练习 04 解答题
一、综合题
1．（2024七下·南开期末）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率，是新农村建设的一项重要举措．庐江县某村在小城镇建设中集约了1000亩土地，计划对其进行平整，经投标，由甲，乙两个工程队来完成平整任务，甲工程队每天可平整土地30亩，乙工程队每天可平整土地25亩，已知甲乙两工程队每天的工程费合计为4200元，而且甲工程队11天所需工程费与乙工程队10天所需工程费刚好相同．
（1）甲乙两工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两工人队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过万元．写出费用最少时，甲工程队工作 天，乙工程队工作 天，最低费用为 ．
2．（2024七下·和平期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，其边长为4．有一动点P，从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动．当三角形PBC的面积为4，求此时点P的坐标．
3．（2024七下·和平期末）已知，，E在线段延长线上，平分．连接，若．
（1）若，求的度数；
（2）若，探究与的位置关系，并说明理由．
4．（2024七下·南开期末）已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分，求的平方根．
5．（2024七下·滨海期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点．
（1）求出点，的坐标；
（2）如图2，点是轴正半轴上的一点，若，，、分别平分、，求（用含的代数式表示）；
（3）如图3，坐标轴上是否存在一点（点除外），使得三角形的面积和三角形的面积相等？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023七下·东丽期末）已知，求的平方根．
7．（2023七下·天津市期末）如图，已知点E，F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
（1）求证：；
（2）若，，求和的大小．
8．（2023七下·红桥期末）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元、40元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．（利润＝销售价格-进货价格）
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（列方程或方程组解决）
（2）商场推出两种优惠套餐供顾客选择：
套餐一：A、B两种型号计算器均打八折出售；
套餐二：A型号计算器打九折出售，B型号计算器打七折出售．
现学校需要购买A、B两种型号计算器共420台，学校选择哪个优惠套餐购买更划算？
9．（2023七下·东丽期末）在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，且，满足关于，的二元一次方程．
（1）求，的坐标．
（2）点为轴负半轴上的一个动点，如图，，当时，与的平分线交于点，求的度数．
10．（2023七下·东丽期末）已知如图，，被所截，平分，平分，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
11．（2022七下·滨海期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：
① 以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；② 作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③ 以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④ 过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1：
李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2．
（1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？　 　（填“能”或“不能”）.
（2）如果能，请在图2中作出直线a， 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由： ▲ ．
12．（2022七下·西青期末）已知直线，直线分别交，于点，，．
（1）如图①，直线，与线段交于点，平分，交于点，求的度数；
（2）如图②，点在直线上（不与点，点，点重合），过点作直线，交于点．补全正确的图形，并求的度数．
13．（2024七下·河东期末）在平面直角坐标系中，线段AB上有一点C，已知，，满足．
（1）如图1，若点在线段上，且三角形的面积为，求点的坐标；
（2）如图2，将（1）中线段水平向左平移一个单位，得到线段，点随也向左移动了一个单位，对应点为，点在轴上运动，请用含的代数式表示三角形的面积，并求出当三角形面积等于时，的值；
（3）如图3，在（1）的条件下，过点的直线交轴于，过点作的平行线，点是直线上的动点，且三角形的面积等于面积的，直接写出点的纵坐标的所有可能的取值．
答案解析部分
1．（1）甲工程队每天需工程费2000元，乙工程队每天需工程费2200元
（2）甲工程队需工作30天，乙工程队需工作4天费用最少，最少费用为68800元
2．点P坐标为或
3．（1）解：∵，
∴设，，
即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴．

（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（1）设，，即，再根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
4．
5．（1），
（2）
（3）存在，点坐标为，或
6．解：∵，
∴， ，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
根据偶次幂和算术平方根的非负性求出x、y的值，再代入计算即可求解。
7．（1）证明：∵，
．
，
．
∴．
（2）解：∵，
．
，
．
∵，
．
，
．
．
（1）根据平行线的性质和判定即可得出结论；
（2）根据平行线的性质和对顶角的性质即可求解。
8．（1）解：设型号的计算器的销售价格分别是元和元，
依题意得 ，
解得 ，
答：两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元；
（2）解：设学校购买A型号计算器台，
若学校选套餐一购买计算器，则需支付元；
若学校选套餐二购买计算器，则需支付元；
①若选择套餐一购买更划算，则
，
解得， ，
即学校购买A型号计算器多于240台时，选择套餐一购买更划算；
②若选择套餐二购买更划算，则
解得，，
即学校购买A型号计算器少于240台时，选择套餐二购买更划算；
③若两种套餐一样划算，则
解得，，
即学校购买A型号计算器等于240台时，选择套餐一和选择套餐二购买一样划算．
（1）设A、B型号的计算器的销售价格分别是a元和b元，根据题意列出方程组，解方程组即可；
（2）设学校购买A型号计算器x台，则购买B种型号计算器（420-x）台，根据题意表示出两种套餐的总价，分①选择套餐一购买更划算 ，②选择套餐二购买更划算 ，③两种套餐一样划算三种情况分别列出不等式和方程即可求解。
9．（1）解：为二元一次方程，
，
，，，
，，
，；
（2）解：，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
过点作，
，
，
，，
，
．
（1）根据二元一次方程的定义列出方程即可求解；
（2）过点P作MN∥AD，根据平行线的性质和角平分线的性质计算即可。
10．（1）证明：∵，
∴，
∵平分，平分（已知），
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
（1）由平行线的性质得出∠MAF=∠GFA，再有角平分线的性质得出∠BAF=2∠MAF，∠AFC=2∠GFA，进而得出∠BAF=∠AFC，由此可得出结论；
（2）由平角的性质得出∠AFC的度数，由平行线的性质得出∠BAF=∠AFC，再根据平分线的性质即可得出结论。
11．（1）能
（2）如图所示，
证明这两条直线平行的理由：同位角相等，两直线平行
解：（1）根据题目中的方法，作出角与已知角相等，再由平行线的判定从而得到平行线，即可用上述方法作出直线l的平行线a；
（1）作出角与已知角相等，再由平行线的判定即的结论；
（2）根据同位角相等，两直线平行即可判定.
12．（1）解： ，
平分，
（2）解：如图，当在的右边时，
如图，当在的左边时，
．
（1）利用平行线的性质及判定和角的运算求解即可；
（2）分两种情况，分别画出图形并求解即可。
13．（1）
（2）当位于下方时：，
当位于上方时，；
或
（3）或

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