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中考押题预测卷 相似三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 金东区期末）如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3m，踏板DE长为1.6m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6m，现在踏脚着地，则捣头点E离地面的高度为（　　）
A．0.6m B．0.8m C．1m D．1.2m
2．（2024秋 通河县期末）如图，F是 ABCD的边CD上一点，直线BF交AD延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 靖江市期末）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝5，则线段BC的长是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 玄武区期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E，F在AC上，且DE∥BC，DF∥BE，则下列结论中，错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 东台市期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ为（　　）
A．24m B．18m C．12m D．6m
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 清江浦区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E在边AC上，CE＝2AE，延长BC到点D，使∠D＝∠B，若BC＝3，则DC的长是 　 　．
7．（2024秋 西山区校级期末）将一把直尺与△ABC按如图所示的方式摆放，AB与直尺的一边重合，AC，BC分别与直尺的另一边交于点的D，E．若点A，B，D，E分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，6.5对应，直尺的宽为1cm，则点C到边AB的距离为 　 　cm．
8．（2024秋 成都期末）如图，在矩形ABCD中，点M是边CD的中点，连接BM交对角线AC于点O．若AC＝9，则OC的长为 　 　．
9．（2024秋 电白区期末）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝3EF，AD是△ABC的高．BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 　 　．
10．（2024秋 宝应县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2AB，D是BC上一点，且AB＝AD．若BD＝1，则AB的长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 临潼区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D为BC边上一点，且∠EDF＝∠B．求证：BD DC＝BE FC．
12．（2024秋 金东区期末）已知：如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，连接DE，AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若ED＝10，求BC的值．
13．（2024秋 玄武区期末）如图，古城墙进出口的道闸杆AB水平放置时，与地面l平行．支撑点O与端点A之间的距离OA＝1.2m，与另一端点B之间的距离OB＝18m．道闸杆AB绕着支撑点O旋转，当点A旋转到点A′时，测得点A′到AB的距离为0.8m，此时，点B′到AB的距离是多少？
14．（2024秋 玄武区期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，，点E，F分别在CD，BC上，∠BAF＝∠CAE．
（1）求证△ABF∽△ACE；
（2）若AB＝5，AC＝4，BC＝6，，则DE＝ 　 　．
15．（2024秋 靖江市期末）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，测得AB＝2.7m，BP＝4m，PD＝8m，且AB⊥BD，CD⊥BD．求该古城墙的高度．
中考押题预测卷 相似三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 金东区期末）如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3m，踏板DE长为1.6m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6m，现在踏脚着地，则捣头点E离地面的高度为（　　）
A．0.6m B．0.8m C．1m D．1.2m
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：如图：
∵AB∥EC，
∴△DAB∽△DEC，
∴AD：DE＝AB：EC，
∴0.6：1.6＝0.3：EC，
∴EC＝0.8米．
∴捣头点E离地面的高度0.8米．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，解答此题时只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出捣头点E上升的高度．
2．（2024秋 通河县期末）如图，F是 ABCD的边CD上一点，直线BF交AD延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的相似．
【答案】C
【分析】利用相似三角形的判定和性质判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴△EDF∽△EAB，
∴，故选项A不符合题意，
∴△DEF∽△CBF，
∴，故选项B不符合题意，
∴，故选项C符合题意．
∵△BCF∽△EAB，
∴，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
3．（2024秋 靖江市期末）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝5，则线段BC的长是（　　）
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】过当C作CD⊥点A所在的平行横线于D，交点B所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】解：如图，过当C作CD⊥点A所在的平行横线于D，交点B所在的平行横线于E，
∵BE∥AD，
∴，即，
解得：BC，
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．
4．（2024秋 玄武区期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E，F在AC上，且DE∥BC，DF∥BE，则下列结论中，错误的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】由平行线分线段成比例可得，，通过证明△DFE∽△BEC，可得，即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，DF∥BE，
∴，，∠AED＝∠C，∠BEC＝∠DFE，
∴，，△DFE∽△BEC，
∴，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，证明三角形相似是解题的关键．
5．（2024秋 东台市期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ为（　　）
A．24m B．18m C．12m D．6m
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到PQ的长．
【解答】解：由题意可得，
BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，
∴△ABD∽△AQP，
∴，
即，
解得QP＝6，
∴树高PQ＝6m，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 清江浦区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E在边AC上，CE＝2AE，延长BC到点D，使∠D＝∠B，若BC＝3，则DC的长是 　2　．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】由CE＝2AE，得，由∠ECD＝∠ACB＝90°，∠D＝∠B，证明△EDC∽△ABC，则，而BC＝3，则DCBC＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵CE＝2AE，
∴CA＝2AE+AE＝3AE，
∴，
∵∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，
∴∠ECD＝∠ACB＝90°，
∵∠D＝∠B，
∴△EDC∽△ABC，
∴，
∵BC＝3，
∴DCBC3＝2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△EDC∽△ABC是解题的关键．
7．（2024秋 西山区校级期末）将一把直尺与△ABC按如图所示的方式摆放，AB与直尺的一边重合，AC，BC分别与直尺的另一边交于点的D，E．若点A，B，D，E分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，6.5对应，直尺的宽为1cm，则点C到边AB的距离为 　1.6　cm．
【考点】相似三角形的判定与性质；点到直线的距离．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】1.6．
【分析】作CF⊥AB交DE于点L，由DE∥AB，直尺的宽为1cm，得△CDE∽△CAB，FL＝1cm，CL⊥DE，所以，求得AB＝8.5﹣4.5＝4（cm），DE＝6.5﹣5＝1.5（cm），则，求得CF＝1.6cm，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵作CF⊥AB交DE于点L，
∵DE∥AB，直尺的宽为1cm，
∴△CDE∽△CAB，∠DLE＝∠CFB＝90°，FL＝1cm，
∴CL⊥DE，
∴，
∵点A，B，D，E分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，6.5对应，
∴AB＝8.5﹣4.5＝4（cm），DE＝6.5﹣5＝1.5（cm），
∴，
解得CF＝1.6，
∴点C到边AB的距离为1.6cm，
故答案为：1.6．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线并且证明△CDE∽△CAB是解题的关键．
8．（2024秋 成都期末）如图，在矩形ABCD中，点M是边CD的中点，连接BM交对角线AC于点O．若AC＝9，则OC的长为 　3　．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】3．
【分析】根据矩形可得AB∥CD，从而有△MCO∽△BAO，再根据相似三角形性质即可求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△MCO∽△BAO，
∴，
∵M是边CD的中点，AC＝9，
∴，
∴，
∴3，
∴OC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
9．（2024秋 电白区期末）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝3EF，AD是△ABC的高．BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 　　．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】AD交EH于M点，如图，设EF＝x，则EH＝3x，先证明四边形EFDM为矩形得到MD＝EF＝x，则AM＝6﹣x，再证明△AEH∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，即，然后求出x，从而得到EH的长．
【解答】解：AD交EH于M点，如图，设EF＝x，则EH＝3x，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥FG，∠MEF＝∠DFE＝90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠MDF＝90°，
∴四边形EFDM为矩形，
∴MD＝EF＝x，
∴AM＝AD﹣MD＝6﹣x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴，即，
解得x，
∴EH＝3x＝3．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．
10．（2024秋 宝应县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2AB，D是BC上一点，且AB＝AD．若BD＝1，则AB的长为 　2　．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据题意，得出△ABD∽△CBA，再结合相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：由题知，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB．
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
则∠B＝∠B，∠CAB＝∠ADB，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
又∵BC＝2AB，BD＝1，
∴AB＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 临潼区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D为BC边上一点，且∠EDF＝∠B．求证：BD DC＝BE FC．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】由AB＝AC，得∠B＝∠C，由∠EDF＝∠B，得∠CDF+∠BDE＝180°﹣∠EDF＝180°﹣∠B，而∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B，可推导出∠BED＝∠CDF，则△BED∽△CDF，所以，则BD DC＝BE FC．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EDF＝∠B，
∴∠CDF+∠BDE＝180°﹣∠EDF＝180°﹣∠B，
∵∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B，
∴∠BED+∠BDE＝∠CDF+∠BDE，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BED∽△CDF，
∴，
∴BD DC＝BE FC．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠BED＝∠CDF，进而证明△BED∽△CDF是解题的关键．
12．（2024秋 金东区期末）已知：如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，连接DE，AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若ED＝10，求BC的值．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）BC的值为15．
【分析】（1）由AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16，求得AB＝AD+BD＝24，AC＝AE+CE＝18，则，而∠A＝∠A，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ADE∽△ACB；
（2）由相似三角形的性质得，因为ED＝10，所以BCED＝15．
【解答】（1）证明：∵AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16，
∴AB＝AD+BD＝12+12＝24，AC＝AE+CE＝16+2＝18，
∴，，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB．
（2）解：∵△ADE∽△ACB，
∴，
∵ED＝10，
∴BCED10＝15，
∴BC的值为15．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明△ADE∽△ACB是解题的关键．
13．（2024秋 玄武区期末）如图，古城墙进出口的道闸杆AB水平放置时，与地面l平行．支撑点O与端点A之间的距离OA＝1.2m，与另一端点B之间的距离OB＝18m．道闸杆AB绕着支撑点O旋转，当点A旋转到点A′时，测得点A′到AB的距离为0.8m，此时，点B′到AB的距离是多少？
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】12m．
【分析】根据题意得，OA＝OA′＝1.2m，OB＝OB′＝18m，A′M＝0.8m，再根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：如图，A′M⊥AB于点M，B′N⊥AB于点N，
根据题意得，OA＝OA′＝1.2m，OB＝OB′＝18m，A′M＝0.8m，
∵A′M⊥AB，B′N⊥AB，
∴A′M∥B′N，
∴△A′OM∽△B′ON，
∴，
即，
∴B′N＝12（m），
即点B′到AB的距离是12m．
【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2024秋 玄武区期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，，点E，F分别在CD，BC上，∠BAF＝∠CAE．
（1）求证△ABF∽△ACE；
（2）若AB＝5，AC＝4，BC＝6，，则DE＝ 　　．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析过程；
（2）．
【分析】（1）通过证明△ACD∽△ABC，可得∠ACD＝∠ABC，即可得结论；
（2）由相似三角形的性质可求CD，CE，即可求解．
【解答】（1）证明：∵，∠DAC＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠ABC，
又∵∠BAF＝∠CAE．
∴△ABF∽△ACE；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴，
∵AB＝5，AC＝4，BC＝6，
∴CD，
∵，BC＝6，
∴BF＝2，
∵△ABF∽△ACE，
∴，
∴，
∴CE，
∴DE＝CD﹣CE，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
15．（2024秋 靖江市期末）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，测得AB＝2.7m，BP＝4m，PD＝8m，且AB⊥BD，CD⊥BD．求该古城墙的高度．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】该古城墙的高度为5.4m．
【分析】利用入射与反射得到∠APB＝∠CPD，则可判断Rt△ABP∽Rt△CDP，于是根据相似三角形的性质求出CD即可．
【解答】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴，即，
解得CD＝5.4．
答：该古城墙的高度为5.4m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．
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