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中考押题预测卷 解直角三角形及其应用
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 济南期末）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 东莞市期末）如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则cosA的值是（　　）
A．2 B．0.5 C． D．
3．（2024秋 西山区校级期末）如图，云南省博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　）
A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
4．（2024秋 靖江市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，AB＝10，则BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（2024秋 泉港区期末）如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，则∠BAC的正弦值为（　　）
A．2 B． C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 崇川区期末）一段拦水坝横断面如图所示，斜面坡度i＝1：3是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比，若BC＝3m，则坡面AB的长度为　 　m．
7．（2024秋 长春校级期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为3m，则AB的长度为 　 　m．
8．（2024秋 泉港区期末）如图，某座建筑物的横截面，其高BC为3m，斜坡AB的坡度为，则AB的长度为　 　．
9．（2024秋 靖江市期末）某同学沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了26m，那么他的高度上升了　 　m．
10．（2024秋 梁溪区期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB、CD相交于点E，则∠AEC的正切值为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 金东区期末）某班的同学想测量教学楼AB的高度，如图，点A、B、C、D在同一平面内，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为8米，它的坡度（坡度＝垂直高度h：水平宽度l），在离C点30米的D处，测得教学楼顶端A的仰角为37°．
（1）求点C到AB的水平距离．
（2）教学楼AB的高度约为多少米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
12．（2024秋 靖江市期末）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝400m，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝200m．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．求步道AE的长．（精确到1m，参考数据：
13．（2024秋 泉港区期末）小明利用“无人机”测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港打卡景点：玉笏朝天）的高度．无人机的探测器显示，观测“玉笏朝天”最高点A的仰角是30°，观测“玉笏朝天”底部B的俯角为60°．若AB与水平面垂直，无人机的观测点P与AB的水平距离PE为米．请求出“玉笏朝天”的高度AB．
14．（2025 崇明区一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面AB的中点C处竖直上升20米到达D处，测得实验楼顶部E的俯角为55°，综合楼顶部F的俯角为37°，已知实验楼BE高度为8米，且图中点A、B、C、D、E、F在同一平面内，求综合楼AF的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，cot55°≈0.70，精确到0.1米．）
15．（2024秋 莱芜区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝10，求AB的长（结果保留根号）
中考押题预测卷 解直角三角形及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 济南期末）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案．
【解答】解：如图，设小正方形边长为1，AE⊥CE，
∴AE＝4，CE＝3，
∵△ACE是直角三角形，
∴AC2＝AE2+CE2，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的关键．
2．（2024秋 东莞市期末）如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则cosA的值是（　　）
A．2 B．0.5 C． D．
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
在Rt△ACD中，CD＝2，AD＝4，
∴AC2，
∴cosA，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2024秋 西山区校级期末）如图，云南省博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　）
A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】直接根据可得结论．
【解答】解：AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，
∴在Rt△ABC中，，
∴BC＝12sinα（米）．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解答本题的关键．
4．（2024秋 靖江市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，AB＝10，则BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AC的长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：由题可知：AC＝AB cosA＝6，
则BC．
故选：D．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确得出AC的长是解题关键．
5．（2024秋 泉港区期末）如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，则∠BAC的正弦值为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】连接BC，利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ABC＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：连接BC，
由题意得：BC2＝12+22＝5，
AB2＝42+22＝20，
AC2＝32+42＝25，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，BC，AC5，
∴sin∠BAC，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 崇川区期末）一段拦水坝横断面如图所示，斜面坡度i＝1：3是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比，若BC＝3m，则坡面AB的长度为　3　m．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】3．
【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵坡AB的斜坡坡度i＝1：3，
∴，即，
解得AC＝9，
由勾股定理得，AB3（米），
故答案为：3．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．（2024秋 长春校级期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为3m，则AB的长度为 　6　m．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】6．
【分析】根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴BC：AC＝1：，
∵BC＝3m，
∴AC＝3m，
由勾股定理得：AB6（m），
gu答案为：6．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
8．（2024秋 泉港区期末）如图，某座建筑物的横截面，其高BC为3m，斜坡AB的坡度为，则AB的长度为　6m　．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】6m．
【分析】根据坡度与坡角的关系求出∠A，再根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵斜坡AB的坡度为1：，
∴tanA，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2×＝6（m），
故答案为：6m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度i与坡角α之间的关系为i＝tanα是解题的关键．
9．（2024秋 靖江市期末）某同学沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了26m，那么他的高度上升了　10　m．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】10．
【分析】设高度上升了h米，则水平前进了2.4h米，然后根据勾股定理解答即可．
【解答】解：设高度上升了h米，则水平前进了2.4h米，
由勾股定理得26，
解得h＝10（负值舍去）．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了坡度比与勾股定理的应用，根据坡度比和勾股定理列出关于h的方程成为解答本题的关键．
10．（2024秋 梁溪区期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB、CD相交于点E，则∠AEC的正切值为 　　．
【考点】解直角三角形．
【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】．
【分析】连接CH，依题意得∠HCA＝∠HAC＝45°，AH＝CE，AC∥BD，AB，由此得△ACE和△BDE相似，则，进而得AE，则HE，然后在Rt△CHE中，根据正切函数的定义可得出tan∠AEC的值．
【解答】解：连接CH，如图所示：
根据正方形网格的特点得：∠HCA＝∠HAC＝45°，AH＝CE，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，AB，
∴△ACE∽△BDE，△AHC是等腰直角三角形，
∴，
∴设AE＝2a，BE＝3a，
∴AE+BE＝5a，
∴a，
∴AE＝2a，
∴HE＝AE﹣AH，
在Rt△CHE中，tan∠AEC．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握正方形网格的特点，锐角三角形函数的定义是解决问题的关键，根据正方形网格的特点构造直角三角形和相似三角形的是解决问题的难点．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 金东区期末）某班的同学想测量教学楼AB的高度，如图，点A、B、C、D在同一平面内，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为8米，它的坡度（坡度＝垂直高度h：水平宽度l），在离C点30米的D处，测得教学楼顶端A的仰角为37°．
（1）求点C到AB的水平距离．
（2）教学楼AB的高度约为多少米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）点C到AB的水平距离为4米；
（2）教学楼AB的高度约为23.7米．
【分析】（1）延长AB交DC于点E，根据题意可得：AE⊥DE，再根据已知易得：在Rt△BCE中，tan∠BCE，从而可得∠BCE＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）根据已知易得：DE＝（30+4）米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）延长AB交DC于点E，
由题意得：AE⊥DE，
∵BC的坡度，
∴，
在Rt△BCE中，tan∠BCE，
∴∠BCE＝30°，
∵BC＝8米，
∴BEBC＝4（米），CEBE＝4（米），
∴点C到AB的水平距离为4米；
（2）∵CD＝30米，CE＝4米，
∴DE＝CD+CE＝（30+4）米，
在Rt△ADE中，∠ADE＝37°，
∴AE＝DE tan37°≈（30+4）×0.75＝（22.5+3）米，
∴AB＝AE﹣BE＝22.5+34＝18.5+323.7（米），
∴教学楼AB的高度约为23.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（2024秋 靖江市期末）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝400m，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝200m．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．求步道AE的长．（精确到1m，参考数据：
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】步道AE的长约为492m．
【分析】过E作EH⊥CD于H，根据矩形的性质得到EH＝AC＝400m，CH＝AE，根据等腰直角三角形的性质得到DH＝EH＝400m，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过E作EH⊥CD于H，
则四边形ACHE是矩形，
∴EH＝AC＝400m，CH＝AE，
∵∠D＝45°，∠EHD＝90°，
∴DH＝EH＝400m，
∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴BC（m），
∴AE＝CH＝400（400﹣200）≈492（m），
答：步道AE的长约为492m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
13．（2024秋 泉港区期末）小明利用“无人机”测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港打卡景点：玉笏朝天）的高度．无人机的探测器显示，观测“玉笏朝天”最高点A的仰角是30°，观测“玉笏朝天”底部B的俯角为60°．若AB与水平面垂直，无人机的观测点P与AB的水平距离PE为米．请求出“玉笏朝天”的高度AB．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】玉笏朝天”的高度AB为10米．
【分析】根据题意可得：∠APE＝30°，∠BPE＝60°，米，∠AEP＝∠BEP＝90°，然后分别在Rt△APE和Rt△BPE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：∠APE＝30°，∠BPE＝60°，米，∠AEP＝∠BEP＝90°，
在Rt△APE中，∠APE＝30°，米，
∴（米），
在Rt△BPE中，∠BPE＝60°，米，
∴（米），
∴（米），
答：玉笏朝天”的高度AB为10米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（2025 崇明区一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面AB的中点C处竖直上升20米到达D处，测得实验楼顶部E的俯角为55°，综合楼顶部F的俯角为37°，已知实验楼BE高度为8米，且图中点A、B、C、D、E、F在同一平面内，求综合楼AF的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，cot55°≈0.70，精确到0.1米．）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】综合楼AF的高度约为13.7米．
【分析】延长BE交DG于点N，延长AF交DG于点M，根据题意可得：AM⊥DG，BN⊥DG，AC＝DM，DN＝BC，AM＝CD＝BN＝20米，从而可得EN＝12米，然后在Rt△DEN中，利用锐角三角函数的定义求出DN的长，再根据线段中点的定义可得AC＝BC，从而可得DM＝DN＝8.4米，最后在Rt△DFM中，利用锐角三角函数的定义求出FM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：延长BE交DG于点N，延长AF交DG于点M，
由题意得：AM⊥DG，BN⊥DG，AC＝DM，DN＝BC，AM＝CD＝BN＝20米，
∵BE＝8米，
∴EN＝BN﹣BE＝20﹣8＝12（米），
在Rt△DEN中，∠EDN＝55°，
∴DN＝EN cot55°≈12×0.7＝8.4（米），
∵点C是AB的中点，
∴AC＝BC，
∴DM＝DN＝8.4米，
在Rt△DFM中，∠MDF＝37°，
∴MF＝DM tan37°≈8.4×0.75＝6.3（米），
∴AF＝AM﹣FM＝20﹣6.3＝13.7（米），
∴综合楼AF的高度约为13.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（2024秋 莱芜区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝10，求AB的长（结果保留根号）
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【专题】三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质得出CDAC＝5，AD＝cos30° AC10＝5．BD＝CD＝5，即可求得AB的长．
【解答】解：作CD⊥AB于D，
∵∠A＝30°，
∴CDAC＝5cm，AD＝cos30° AC10＝5．
∵∠B＝45°，
∴BD＝CD＝5，
∴AB＝AD+BD＝（55）．
【点评】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握特殊直角三角形的性质，学会作出辅助线构建直角三角形解决问题；
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