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中考押题预测卷 正多边形和圆
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 汕尾期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的边长是2，则⊙O的半径的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．
2．（2024秋 建邺区期末）如图，在正n边形A1A2A3 An中，∠A1A4A5的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 江阴市期末）下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．各边都相等的多边形是正多边形
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
4．（2024秋 桥西区期末）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，点G为DE边上一点，连接AG，FG，CG，则△AFG与△CDG的面积和为（　　）
A．4 B．
C． D．随点G位置而变化
5．（2024秋 凉州区期末）如图，正三角形和正方形分别内接于等圆⊙O1和⊙O2，若正三角形的周长为m，正方形的周长为n，则m与n的关系为（　　）
A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．不能确定
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 玄武区期末）如图，在正五边形ABCDE中，连接CE，以E为圆心，EA长为半径画弧，与CE交于点F，连接AF，则∠AFE的度数是 　 　°．
7．（2024秋 西湖区期末）如图，已知正方形ABCD与正五边形EFGCH都内接于⊙O，则∠DCH的度数为　 　．
8．（2024秋 厦门期末）正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是　 　．
9．（2024秋 婺城区期末）如图，⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A、E，若⊙O的半径为8，则的长为　 　（结果保留π）．
10．（2024秋 碑林区校级期末）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出∠P＝36°，则可得出正多边形的边数n＝ 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 丽水期末）已知：如图，连结正五边形ABCDE各条对角线，就得到一个五角星图案．（1）求五角星顶角∠ADB的度数；
（2）当正五边形ABCDE的边长DE＝2时，求五角星图案内部正五边形MNLHK的边HL的长．
12．（2024秋 昌平区期末）如图，⊙O是边长为4的正方形ABCD的外接圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的扇形面积．
13．（2024秋 温州期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P与点D不重合），求∠CPD的度数．
14．（2024秋 兴县月考）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为5m的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．
15．（2024秋 鼓楼区校级月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；
（2）若⊙O的半径为r，则阴影部分面积是　 　；
（3）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝　 　．
中考押题预测卷 正多边形和圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 汕尾期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的边长是2，则⊙O的半径的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再求出∠AOB＝60°即可求出⊙O的半径．
【解答】解：正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的边长是2，如图，连结OA，OB，
∴，
∴△AOB是等边三角形，
∵正六边形的边长是2，
∴AO＝BO＝AB＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形和圆，根据题意画出图形，作出辅助线求出∠AOB＝60°是解答此题的关键．
2．（2024秋 建邺区期末）如图，在正n边形A1A2A3 An中，∠A1A4A5的度数是（　　）
A． B． C． D．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和定理得到正n边形A1A2A3 An的内角为，根据四边形的内角和定理求得∠A1A4A3＝∠A4A1A2＝180，于是得到结论．
【解答】解：∵正n边形A1A2A3 An的内角为，
∴∠A2＝∠A3＝∠A3A4A5，
在四边形A1A2A3A4中，∠A1A4A3＝∠A4A1A2[360°﹣2]＝180，
∴∠A1A4A5[180] 180，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．
3．（2024秋 江阴市期末）下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．各边都相等的多边形是正多边形
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
【考点】正多边形和圆；角平分线的性质；圆周角定理；确定圆的条件；三角形的内切圆与内心．
【专题】圆的有关概念及性质；正多边形与圆；推理能力．
【答案】D
【分析】分别利用确定圆的条件、三角形的内心的性质、圆周角定理、正多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故不符合题意；
C、各边都相等且各角也都相等的多边形是正多边形，故不符合题意；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形与圆，确定圆的条件、三角形的内切圆与内心，熟练掌握各知识点是解题的关键．
4．（2024秋 桥西区期末）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，点G为DE边上一点，连接AG，FG，CG，则△AFG与△CDG的面积和为（　　）
A．4 B．
C． D．随点G位置而变化
【考点】正多边形和圆；三角形的面积．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】C
【分析】根据正六边形的性质求出PQ的长，再根据S△AFG+S△CDGAF GMCD GN2 GM2 GN＝GM+GN＝MN＝PQ即可．
【解答】解：如图，过点G作AF的垂线，分别交AF、CD的延长线于点M、N，
设正六边形的中心为O，过点O作AF的垂线，分别交AFCD于点P、Q，则MN＝PQ，连接OC，
在Rt△COQ中，OC＝2，CQ＝1，
∴OQ，
∴MN＝PQ＝2，
∴S△AFG+S△CDG
AF GMCD GN
2 GM2 GN
＝GM+GN
＝MN
＝2．
故选：C．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的关键．
5．（2024秋 凉州区期末）如图，正三角形和正方形分别内接于等圆⊙O1和⊙O2，若正三角形的周长为m，正方形的周长为n，则m与n的关系为（　　）
A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．不能确定
【考点】正多边形和圆；函数关系式；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】正多边形与圆；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】设两个圆的半径为R，根据正多边形和圆的性质以及直角三角形的边角关系用含有R的代数式表示m，n，再比较m、n的大小即可．
【解答】解：设两个圆的半径为R，
如图1，连接O1B，过点O1作O1D⊥BC，垂足为D，
∵△ABC是⊙O1的内接正三角形，
∴∠BO1D＝60°，
∴BDO1BR，
∴BC＝2BDR，
∴m＝3BC＝3R，
如图2，连接O2B，过点O2作O2E⊥BC，垂足为E，
∵正方形ABCD是⊙O2的内接正方形，
∴∠BO2E＝45°，
∴BEO2BR，
∴BC＝2BER，
∴n＝4bc＝4R，
由于3，4，而，
∴m＜n．
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆，直角三角形的边角关系以及函数关系式，掌握正多边形与圆的性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 玄武区期末）如图，在正五边形ABCDE中，连接CE，以E为圆心，EA长为半径画弧，与CE交于点F，连接AF，则∠AFE的度数是 　54　°．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】54．
【分析】根据正五边形的内角和得到∠AED＝∠CDE108°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在正五边形ABCDE中，∵∠AED＝∠CDE108°，
∵DE＝CD，
∴∠DCE＝∠CED（180°﹣108°）＝36°，
∴∠AEF＝108°﹣36°＝72°，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE（180°﹣72°）＝54°，
故答案为：54．
【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．
7．（2024秋 西湖区期末）如图，已知正方形ABCD与正五边形EFGCH都内接于⊙O，则∠DCH的度数为　9°　．
【考点】正多边形和圆；圆周角定理．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【答案】9°．
【分析】根据正方形ABCD与正五边形EFGCH都内接于⊙O，得到，，求得，得到∠DCE＝∠BCG，于是得到结论．
【解答】解：∵正方形ABCD与正五边形EFGCH都内接于⊙O，
∴CH＝CH，CD＝CB，
∴，，
∴，
∴∠DCE＝∠BCG，
∵∠HCG108°，∠DCB＝90°，
∴∠DCE＝∠BCG9°，
故答案为：9°．
【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正五边形和正方形的性质是解题的关键．
8．（2024秋 厦门期末）正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是　6　．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【答案】6．
【分析】根据正六边形的边长等于半径进行解答即可．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝1，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝1，
∴该正六边形的周长是6×1＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．
9．（2024秋 婺城区期末）如图，⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A、E，若⊙O的半径为8，则的长为　6π　（结果保留π）．
【考点】正多边形和圆；弧长的计算；切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；正多边形与圆；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】6π．
【分析】连接OA、OE、OD，根据切线的性质得出∠OAH＝∠OEF＝90°，分别计算出六边形与八边形的内角和，即可推出结果．
【解答】解：如图，连接OA、OE，
∵⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E，
∴∠OAH＝∠OEF＝90°，
∵六边形AHGFEO的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，∠H＝∠G＝∠F＝（8﹣2）×180÷8＝135°，
∴∠AOE＝720°﹣90°×2﹣135°×3＝135°，
∴的长为6π．
故答案为：6π．
【点评】本题考查了正多边形与圆，切线的性质，弧长的计算，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
10．（2024秋 碑林区校级期末）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出∠P＝36°，则可得出正多边形的边数n＝ 　5　．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据∠P＝36°，求出∠PAB+∠PBA，结合正多边形的每个外角都相等求出外角，结合外角和求解即可得到答案．
【解答】解：∵正多边形的两边延长交于点P，且∠P＝36°，∠P+∠PAB+∠PBA＝180°，
∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣36°＝144°，
∵图形是正多边形花坛，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是掌握多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 丽水期末）已知：如图，连结正五边形ABCDE各条对角线，就得到一个五角星图案．（1）求五角星顶角∠ADB的度数；
（2）当正五边形ABCDE的边长DE＝2时，求五角星图案内部正五边形MNLHK的边HL的长．
【考点】正多边形和圆；相似三角形的判定与性质；多边形的对角线．
【专题】正多边形与圆；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）36°；
（2）五角星图案内部正五边形MNLHK的边HL的长为1．
【分析】（1）先求得正五边形的内角和，从而得出每一个内角的度数；
（2）先求得正五边形的每个内角都等于108°，再根据等腰三角形的性质求得∠EDA＝∠DEC＝36°，∠DHL＝∠DLH＝72°，则DH＝DL＝EH，EL＝ED＝2，设DH＝DL＝EH＝x，则HL＝2﹣x，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝（5﹣2）×180°108°，
∴∠ADB＝108°（180°﹣108°）×2＝36°；
（2）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AE＝DE＝DC＝BC，∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝180°108°，
∴∠EDA＝∠EAD＝∠DEC＝∠DCE＝∠CDB＝∠CBD＝36°，
∴∠HDL＝36°，∠DHL＝∠DEC+∠EDA＝72°，∠DLH＝∠DCE+∠CDB＝72°，
∴∠DHL＝∠DLH，∠EDL＝∠ELD＝72°，
∴DH＝DL＝EH，EL＝ED＝2，
设DH＝DL＝EH＝x，则HL＝2﹣x，
∵∠HDL＝∠DEL，∠HLD＝∠DLE，
∴△HDL∽△DEL，
∴，
∴EL HL＝DL2＝x2＝2×（2﹣x），
解得x11，x21（不符合题意，舍去），
∴五角星图案内部正五边形MNLHK的边HL的长为1．
【点评】此题重点考查正多边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，证明△HDL∽△DEL是解题的关键．
12．（2024秋 昌平区期末）如图，⊙O是边长为4的正方形ABCD的外接圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的扇形面积．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算；正方形的性质．
【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）⊙O的半径是2；
（2）2π．
【分析】（1）由正方形ABCD的边长为4，O为外心，得到CD＝4，△OCD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到OC＝ODCD＝2；
（2）根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，O为外心，
∴CD＝4，△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝ODCD＝2，
∴⊙O的半径是2；
（2）∵⊙O是边长为4的正方形ABCD的外接圆，
∴∠COD90°，
∴图中阴影部分的扇形面积2π．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆的性质，扇形面积的计算，熟练掌握正多边形和圆的性质是解题的关键．
13．（2024秋 温州期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P与点D不重合），求∠CPD的度数．
【考点】正多边形和圆；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；正多边形与圆；推理能力．
【答案】36°．
【分析】由正多边形的中心角相等求出∠COD，由圆周角定理即可求出∠CPD的度数．
【解答】解：连接OC，OD，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠COD72°，
∴∠CPD∠COD＝36°．
【点评】本题考查圆周角定理，正多边形和圆，关键是掌握圆周角定理，正多边形的性质．
14．（2024秋 兴县月考）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为5m的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．
【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】30m．
【分析】根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝5m，
∴正六边形ABCDEF的周长＝6×5＝30（m），
答：这个正六边形地基的周长为30m．
【点评】本题考查的是圆的内接正六边形的性质及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
15．（2024秋 鼓楼区校级月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；
（2）若⊙O的半径为r，则阴影部分面积是　（π﹣2）r2　；
（3）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝　8　．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算；正方形的性质；圆周角定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；正多边形与圆；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）45°；
（2）（π﹣2）r2；
（3）8．
【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；
（2）根据阴影部分面积＝扇形COD的面积﹣三角形COD的面积，代入值计算即可；
（3）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图，连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°．
∴；
（2）∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°，
∵⊙O的半径为r，
∴阴影部分面积＝扇形COD的面积﹣三角形COD的面积π×r2r2（π﹣2）r2；
故答案为：（π﹣2）r2；
（3）如图，连接PO，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为BC的中点，
∴，
∴，
∴n＝360÷45＝8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键．
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