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中考押题预测卷 二次函数的图象与性质
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 通河县期末）抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的对称轴是（　　）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝5 D．直线x＝﹣5
2．（2024秋 金东区期末）将抛物线y＝3x2先向左平移4个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线函数表达式为（　　）
A．y＝3（x﹣3）2+4 B．y＝3（x+4）2﹣3
C．y＝3（x+4）2+3 D．y＝3（x﹣4）2﹣3
3．（2024秋 丹阳市期末）若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的为（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
4．（2024秋 金水区校级期末）关于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法错误的是（　　）
A．开口方向向下
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．经过点（0，1）
5．（2024秋 包河区校级期末）若将二次函数y＝x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2+3
C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣3）2+2
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 通河县期末）抛物线的顶点横坐标为 　 　．
7．（2024秋 金东区期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a＞0）的图象上有点A（2，m），点B（6，n），设图象的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝n，则t的值为　 　；
（2）若m＜n＜c，则t的取值范围为　 　．
8．（2024秋 玄武区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 0 m 4 …
y … ﹣1 2 ﹣1 …
若1＜m＜3，则a的取值范围为 　 　．
9．（2024秋 靖江市期末）已知点（﹣4，m），（﹣3，n）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上．若m＞n，则a　 　0．（用“＞”或“＜”连接）
10．（2024秋 汕尾期末）将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的解析式为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 金东区期末）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）．
（1）当a＝1时，
①求函数图象的顶点坐标；
②当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（2）当0＜x＜3时，y≤2．
①若a＜0，求a的最小值；
②若a＞0，求a的最大值．
12．（2024秋 泉港区期末）已知二次函数的图象经过点（3，10），顶点坐标为（1，﹣2）．
（1）试求该二次函数的表达式；
（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围．
13．（2024秋 玄武区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 …
y … 0 3 4 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当﹣1＜x＜4时，y的取值范围为 　 　；
（3）将该函数图象沿x轴翻折，所得新图象的函数表达式为 　 　．
14．（2024秋 合川区期末）如图，已知抛物线和直线相交于点和B（1，n）．
（1）求m和n的值；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）结合图象直接写出满足y1≥y2的x的取值范围．
15．（2024秋 邗江区校级期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）求该函数的表达式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（3）当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为 　 　．
中考押题预测卷 二次函数的图象与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 通河县期末）抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的对称轴是（　　）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝5 D．直线x＝﹣5
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．
【答案】A
【分析】根据抛物线的顶点式可以判断得解．
【解答】解：∵抛物线为y＝（x﹣3）2﹣5，
∴其对称轴是直线x＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式是关键．
2．（2024秋 金东区期末）将抛物线y＝3x2先向左平移4个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线函数表达式为（　　）
A．y＝3（x﹣3）2+4 B．y＝3（x+4）2﹣3
C．y＝3（x+4）2+3 D．y＝3（x﹣4）2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
【分析】根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移4个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线函数表达式为y＝3（x+4）2﹣3，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是正解掌握平移规律．
3．（2024秋 丹阳市期末）若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的为（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为2、﹣2和﹣5所对应的函数值，然后比较函数的大小即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝﹣x2+6x+c＝﹣1﹣6+c＝﹣7+c；
当x＝2时，y2＝﹣x2+6x+c＝﹣4+12+c＝8+c；
当x＝5时，y3＝﹣x2+6x+c＝﹣25+30+c＝5+c，
所以y2＞y3＞y1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
4．（2024秋 金水区校级期末）关于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法错误的是（　　）
A．开口方向向下
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．经过点（0，1）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断即可．
【解答】解：A．∵﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，故A选项正确，不符合题意；
C．由解析式可知，对称轴为直线x＝﹣1，故C选项正确，不符合题意；
B．∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故B选项错误，符合题意；
D．令x＝0，得y＝﹣2×1+3＝1，
∴抛物线经过点（0，1），故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，熟记性质是解题的关键．
5．（2024秋 包河区校级期末）若将二次函数y＝x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2+3
C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣3）2+2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据函数图象的平移法则解答即可．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为y＝（x﹣2）2+3，
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知左加右减，上加下减的法则是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 通河县期末）抛物线的顶点横坐标为 　0　．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．
【答案】0．
【分析】由题意知，顶点坐标为（0，﹣4），然后作答即可．
【解答】解：由题意知，抛物线的顶点坐标为（0，﹣4），
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
7．（2024秋 金东区期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a＞0）的图象上有点A（2，m），点B（6，n），设图象的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝n，则t的值为　4　；
（2）若m＜n＜c，则t的取值范围为　3＜t＜4　．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）4；
（2）3＜t＜4．
【分析】（1）若m＝n，则点A（2，m），点B（6，n）关于直线x＝t对称，即可求得t的值；
（2）根据a＞0，可知图象开口向上，与y轴的交点坐标为（0，c），图象上有点A（2，m），点B（6，n），根据函数的性质即可判断出答案．
【解答】解：（1）∵若m＝n，则点A（2，m），点B（6，n）关于直线x＝t对称，
∴t4；
（2）a＞0，图象开口向上，与y轴的交点坐标为（0，c），图象上有点A（2，m），点B（6，n），∵当m＜n＜c，x取值距离对称轴越远y 值越大，
∴|t|＞|t﹣6|＞|t﹣2|，
当t＞6时，t＞t﹣6＞t﹣2，
∴t值不存在，
当2＜t＜6时，t＞6﹣t＞t﹣2，
∴3＜t＜4，
当0＜t＜2时，t＞6﹣t＞2﹣t，
∴t值不存在，
当t＜0时，﹣t＞6﹣t＞2﹣t
∴t值不存在，
∴综上所述：3＜t＜4．
故答案为：（1）4；（2）3＜t＜4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，关键是借助函数的图象和性质来解题．
8．（2024秋 玄武区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 0 m 4 …
y … ﹣1 2 ﹣1 …
若1＜m＜3，则a的取值范围为 　﹣1＜a　．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】﹣1＜a．
【分析】根据表格数据得出b＝﹣4a，c＝﹣1，即y＝ax2﹣4ax﹣1，求得当x＝1，y＝2时的a的值，当x＝3，y＝2时的a的值，当x＝2，y＝2时a的值，即可得出﹣1＜a．
【解答】解：由题意可知2，c＝﹣1，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣1，
当x＝1，y＝2时，2＝a﹣4a﹣1，解得a＝﹣1，
当x＝3，y＝2时，2＝9a﹣12a﹣1，解得a＝﹣1，
当x＝2，y＝2时，2＝4a﹣8a﹣1，解得a，
∴若1＜m＜3，则a的取值范围为﹣1＜a．
故答案为：﹣1＜a．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
9．（2024秋 靖江市期末）已知点（﹣4，m），（﹣3，n）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上．若m＞n，则a　＞　0．（用“＞”或“＜”连接）
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】＞．
【分析】根据所给函数解析式，得出抛物线的对称轴为直线x＝1，据此得出点（﹣4，m）和（﹣3，n）都在对称轴的左侧，最后根据m＞n即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax+c，
所以抛物线的对称轴为直线x．
因为﹣4＜﹣3＜1，且m＞n，
则在对称轴左侧y随x的增大而减小，
所以a＞0．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
10．（2024秋 汕尾期末）将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的解析式为 　y＝（x+2）2﹣3　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】y＝（x+2）2﹣3．
【分析】根据“左加右减，上加下减”解答即可求解．
【解答】解：由题意得，所得新抛物线的解析为y＝（x+2）2﹣3，
故答案为：y＝（x+2）2﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 金东区期末）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）．
（1）当a＝1时，
①求函数图象的顶点坐标；
②当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（2）当0＜x＜3时，y≤2．
①若a＜0，求a的最小值；
②若a＞0，求a的最大值．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①（）；②；（2）①若a＜0，a的最小值为﹣2；②若a＞0，a的最大值为1．
【分析】（1）①依据题意，将a＝1代入二次函数解析式，即可判断得解；
②依据题意，结合①中的解析式，然后再结合二次函数的图象与性质进行求解即可；
（2）①根据a＜0，以及开口方向向下进而可以判断得解；
②根据a＞0得出抛物线的开口方向向上，再结合抛物线的性质进行计算即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，
∴y＝（x﹣1）（x﹣2）．
①∵y＝（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2，
∴函数图象的顶点坐标为（）．
②由①得抛物线的对称轴为直线x，且开口向上，
又∵0＜x＜3，
∴当x＝0时，y＝2，当x时，y时，
∴此时y的取值范围是：．
（2）由y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）得，
抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（a+1，0）．
∴对称轴是直线xa+1．
∴当xa+1时，y＝a a （a）a3；
当x＝0时，y＝a+a2；当x＝3时，y＝﹣2a2+4a．
①当a＜0时，抛物线开口向下．
又当03时，则﹣2＜a＜0，
∴此时二次函数在顶点处取得最大值为a3≤2．
∴a≥﹣2，则﹣2≤a＜0．
当0时，则a≤﹣2，
∴a+a2≤2，
∴﹣2≤a≤1．
∴若a＜0，a的最小值为﹣2．
②当a＞0时，抛物线开口向上，
∴1．
∵当0＜x＜3时，y≤2，
∴．
∴0＜a≤1．
∴若a＞0，a的最大值为1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
12．（2024秋 泉港区期末）已知二次函数的图象经过点（3，10），顶点坐标为（1，﹣2）．
（1）试求该二次函数的表达式；
（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝3（x﹣1）2﹣2；
（2）﹣2≤y＜10．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣2，然后把（3，10）代入求出a即可；
（2）先分别计算出x＝0和x＝3对应的函数值，再根据二次函数的性质得到x＝1时，y有最小值﹣2，然后写出当0＜x＜3时，y的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数图象顶点坐标为（1，﹣2）
∴二次函数的表达式可设为y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵二次函数的图象经过点（3，10），
∴a（3﹣1）2﹣2＝10，
解得a＝3，
∴二次函数的表达式为y＝3（x﹣1）2﹣2；
（2）∵x＝0时，y＝3（x﹣1）2﹣2＝1；
x＝3时，y＝3（x﹣1）2﹣2＝10
而x＝1时，y有最小值﹣2，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣2≤y＜10．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
13．（2024秋 玄武区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 …
y … 0 3 4 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当﹣1＜x＜4时，y的取值范围为 　﹣5＜y≤4　；
（3）将该函数图象沿x轴翻折，所得新图象的函数表达式为 　y＝x2﹣2x+5　．
【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣21＜y≤4；（3）y＝x2﹣2x﹣3．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）利用抛物线解析式求出开口方向和对称轴，再根据函数的增减性解答即可；
（3）将该函数图象沿x轴翻折，只是改变了开口方向，抛物线的形状和开口大小没有改变，即可得到翻折后的解析式．
【解答】解：（1）将表格中三组数据代入解析式得，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
（2）由二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，x＝1时，y最大＝4，
当x＝﹣1时，y＝0；当x＝4时，y＝﹣5，
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围为﹣5＜y≤4．
故答案为：﹣5＜y≤4．
（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4，
将该函数图象沿x轴翻折，所得新图象的函数表达式为 y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3．
故答案为：y＝x2﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数性质是关键．
14．（2024秋 合川区期末）如图，已知抛物线和直线相交于点和B（1，n）．
（1）求m和n的值；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）结合图象直接写出满足y1≥y2的x的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1），n＝1；
（2）；
（3）．
【分析】（1）将点和B（1，n）代入一次函数解析式，即可求解；
（2）将点A、B的坐标代入二次函数的解析式，由，即可求解；
（3）根据图象求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可得：
∴，
解得：，
∴，n＝1；
（2）∵点和B（1，1）在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵
∴抛物线的对称轴为：直线；
（3）由图象得：
当时，y1≥y2．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数图象交点，求抛物线的对称轴，图象解不等式等，掌握抛物线的对称轴公式，能根据图形解不等式是解题的关键．
15．（2024秋 邗江区校级期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）求该函数的表达式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（3）当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为 　﹣4≤y＜0　．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）见解析；
（3）﹣4≤y＜0．
【分析】（1）由表格可设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），然后再选择一个合适的值代入求解即可；
（2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可；
（3）由（2）中的图象可直接进行求解．
【解答】解：（1）设函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），
将x＝0，y＝﹣3代入得a＝1，
则y＝（x+3）（x﹣1），即y＝x2+2x﹣3；
（2）如图，画出这个二次函数的图象如下：
（3）由条件可知抛物线对称轴为直线，
∵当x＝﹣1时的函数值小于x＝﹣2的函数值，
∴函数开口向上，在对称轴处有最小值﹣4，
∴结合函数图象可知，当﹣3＜x＜0时，﹣4≤y＜0，
故答案为：﹣4≤y＜0．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
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