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中考押题预测卷 二次函数的应用
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 西山区校级期末）如图，直线y1＝kx+h与抛物线交于点A（m，n），B（p，q），则不等式ax2+bx+c＜kx+h的解集为（　　）
A．x＜m或x＞P B．m＜x＜p C．m≤x≤p D．x≤m或x≥p
2．（2024秋 清江浦区期末）对于函数的性质，下列说法不正确的是（　　）
A．函数值y随x的增大而减小
B．函数图象与坐标轴不相交
C．函数图象关于y轴对称
D．函数图象全部位于x轴上方
3．（2024秋 玄武区期末）已知二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过原点
B．图象的顶点坐标为（﹣1，3）
C．图象与x轴无公共点
D．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）
4．（2024秋 包河区校级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为（　　）
A．7 B． C． D．
5．（2024秋 南昌期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣2）2+k与x轴交于（m，0），（n，0）两点，其中m＜n．将此抛物线向下平移，与x轴交于（p，0），（q，0）两点，其中p＜q，下面结论正确的是（　　）
A．当a＞0时，m+n＝p+q，n﹣m＞q﹣p
B．当a＞0时，m+n＞p+q，n﹣m＝q﹣p
C．当a＜0时，m+n＝p+q，n﹣m＞q﹣p
D．当a＜0时，m+n＞p+q，n﹣m＝q﹣p
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 盐城期末）抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）经过（﹣1，3），（7，3）两点，则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≥3的解集为 　 　．
7．（2024秋 靖江市期末） 2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点B离地面O点的距离是1m，点O与球网的水平距离为4m，球网的高度为1.55m．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与O点的水平距离是 　 　m．
8．（2024秋 仪征市期末）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若﹣4＜b＜1，则m的取值范围是 　 　．
9．（2025 潍坊模拟）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD为某一抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，如图2若盛有部分水的水杯倾斜45°（即∠ABP＝45°），水面正好经过点B，则此时点P到杯口AB的距离为 　 　．
10．（2025 登封市一模）在平面直角坐标系中，若将二次函数y＝（x+1）（x﹣2023）﹣4的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 临潼区期末）第十五届中国国际航空航天博览会在珠海举行，作为一名航迷的王兴同学关注到参展的某型号飞机在飞行表演过程中，先冲向高空，到达预定高度后，便开始向下俯冲，最终落回地面，整个飞行的轨迹可近似的看作一条如图所示的抛物线，设起飞的一瞬间为坐标原点，飞行高度y（米）与水平距离x（米）满足二次函数关系．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）飞机着陆时，距离起飞一瞬间的水平距离是多少？
12．（2024秋 临潼区期末）某建筑商计划依靠一面长18米的墙建造一个如图所示的矩形仓库ABCD，仓库的另外三面用36米长的建筑材料围成．
（1）请写出仓库面积S（m2）与AB边的长x（m）之间的函数关系式；
（2）当AB边的长是多少米时，仓库的面积最大？
13．（2024秋 泉港区期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）．
（1）若m＝0，请求出二次函数的表达式．
（2）二次函数的图象和直线都经过点（2，t），试求出t的值．
（3）已知点P（a+4，n），Q（a+4m，n）都在该二次函数图象上，求证：n≤6．
14．（2024秋 清江浦区期末）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：
x 0 m 2 3 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）m＝ 　 　，n＝ 　 　；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标．
15．（2024秋 江油市期末）我们知道画函数图象的步骤为列表、描点、连线．
（1）请在给定的坐标系中画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象．
（2）观察图象，当x＜﹣1时，y的范围是 　 　，当y＜0时x的范围是 　 　．
（3）设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形OPM是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
中考押题预测卷 二次函数的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 西山区校级期末）如图，直线y1＝kx+h与抛物线交于点A（m，n），B（p，q），则不等式ax2+bx+c＜kx+h的解集为（　　）
A．x＜m或x＞P B．m＜x＜p C．m≤x≤p D．x≤m或x≥p
【考点】二次函数与不等式（组）．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
【分析】结合图象可直接得出答案．
【解答】解：由图象可得，不等式ax2+bx+c＜kx+h的解集为m＜x＜p．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2024秋 清江浦区期末）对于函数的性质，下列说法不正确的是（　　）
A．函数值y随x的增大而减小
B．函数图象与坐标轴不相交
C．函数图象关于y轴对称
D．函数图象全部位于x轴上方
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】利用x＜0和x＞0函数的变化情况可对A选项进行判断；根据x≠0且y≠0可对B选项进行判断；利用点（x，y）和（﹣x，y）都在函数y上可对C选项进行判断；利用y＞0可对D选项进行判断．
【解答】解：当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，所以A选项符合题意；
因为x≠0，y≠0，函数图象与坐标轴没有交点，所以B选项不符合题意；
因为点（x，y）和（﹣x，y）都在函数y上，则函数图象关于y轴对称，所以C选项不符合题意；
因为y＞0，则函数图象全部位于x轴上方，所以D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3．（2024秋 玄武区期末）已知二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过原点
B．图象的顶点坐标为（﹣1，3）
C．图象与x轴无公共点
D．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数的解析式，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，
∴该函数图象过（0，﹣5），故选项A错误，不符合题意；
该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故选项B错误，不符合题意；
当y＝0时，0＝﹣2（x+1）2﹣3，该方程无解，即该函数图象与x轴无公共点，故选项C正确，符合题意；
当x＝0时，y＝﹣5，即该函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（2024秋 包河区校级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为（　　）
A．7 B． C． D．
【考点】二次函数的应用．
【专题】动点型；待定系数法；二次函数的应用；应用意识；创新意识．
【答案】D
【分析】当点P在BC上时，易得S＝PD2，整理可得S与t的函数关系式，求得当S＝6时，t的值，即可求得当点P在点B时S＝6时，t＝2，进而根据图2中的顶点坐标为（4，2），用顶点式表示出图2中S与t的关系式，把（2，6）代入可得a的值，进而取S＝18，求得t的值，得到点B在点A时面积为18时，t的值，则可以求得AB的长，根据勾股定理可得AC的长．
【解答】解：在Rt△PCD中，CD，PC＝t，
∴S＝PD2＝t2+（）2＝t2+2，
当S＝6时，6＝t2+2，
解得：t＝2（取正值），
∴BC＝2，
∴图2中的抛物线经过点（2，6），
由图象知，图2中的抛物线顶点为（4，2），
∴设抛物线解析式为：S＝a（t﹣4）2+2，
将（2，6）代入，得：6＝a（2﹣4）2+2，
解得：a＝1，
∴S＝（t﹣4）2+2，
当S＝18时，18＝（t﹣4）2+2，
解得t＝8或t＝0（舍去），
∴AB＝t﹣2＝8﹣2＝6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC4．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用．结合图形得到动点P在各个拐点时S与t的值是解决本题的关键．
5．（2024秋 南昌期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣2）2+k与x轴交于（m，0），（n，0）两点，其中m＜n．将此抛物线向下平移，与x轴交于（p，0），（q，0）两点，其中p＜q，下面结论正确的是（　　）
A．当a＞0时，m+n＝p+q，n﹣m＞q﹣p
B．当a＞0时，m+n＞p+q，n﹣m＝q﹣p
C．当a＜0时，m+n＝p+q，n﹣m＞q﹣p
D．当a＜0时，m+n＞p+q，n﹣m＝q﹣p
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】C
【分析】分a＞0和a＜0两种情况，根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质结合函数图象解答即可．
【解答】解：当a＞0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴m+n＝p+q＝4，且n﹣m＜p﹣q；
当a＜0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴m+n＝p+q＝4，且n﹣m＞p﹣q．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，平移的性质以及函数的图象，解题关键是利用数形结合的思想进行解答．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 盐城期末）抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）经过（﹣1，3），（7，3）两点，则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≥3的解集为 　0≤x≤8　．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】0≤x≤8．
【分析】直接利用二次函数大致图象结合不等式与函数关系得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）经过（﹣1，3），（7，3）两点，
∴把抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）沿x轴向右平移1个单位后的图象经过（0，3），（8，3），
即抛物线y＝a（x﹣h﹣1）2+k的图象经过（0，3），（8，3），
∴关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≥3的解集为：0≤x≤8．
故答案为：0≤x≤8．
【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，二次函数的平移．掌握二次函数与不等式关系是关键．
7．（2024秋 靖江市期末） 2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点B离地面O点的距离是1m，点O与球网的水平距离为4m，球网的高度为1.55m．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与O点的水平距离是 　7　m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】7．
【分析】根据题意可得：把y代入中得：x2x+1，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：把y代入中得：x2x+1，
整理得：x2﹣8x+7＝0，
解得：x1＝7，x2＝1（舍去），
∴此时羽毛球飞行到与O点的水平距离是7m，
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．（2024秋 仪征市期末）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若﹣4＜b＜1，则m的取值范围是 　﹣2＜m＜3　．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】﹣2＜m＜3．
【分析】由题意得：y＝（x﹣1）（x﹣m）＝x2﹣（m+1）x+m，即b＝﹣（m+1），即可求解．
【解答】解：由题意得：y＝（x﹣1）（x﹣m）＝x2﹣（m+1）x+m，
即b＝﹣（m+1），
则﹣4＜﹣（m+1）＜1，
解得：﹣2＜m＜3，
故答案为：﹣2＜m＜3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，利用二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），求函数的表达式是解题的关键．
9．（2025 潍坊模拟）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD为某一抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，如图2若盛有部分水的水杯倾斜45°（即∠ABP＝45°），水面正好经过点B，则此时点P到杯口AB的距离为 　7　．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】7．
【分析】建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式，求P点坐标，就可求出点P到杯口AB的距离．
【解答】解：建立如图所示坐标系，作PE⊥x轴于点E，
各点坐标为：A（﹣4，0），B（4，0），C（﹣2，﹣12），D（2，﹣12）．
设y＝a（x+4）（x﹣4），
把点C坐标代入解析式得：﹣12＝a（﹣2+4）（﹣2﹣4），
解得a＝1，
∴y＝（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，
∵∠ABP＝45°，∠PEB＝90°，
∴∠BPE＝45°，
∴∠EPB＝∠EBP，
∴EP＝EB，
设P（x，y），
∴BE＝4﹣x，EP＝﹣y，
∴﹣y＝4﹣x，
即﹣（x2﹣16）＝4﹣x，
解得x1＝4（舍去），x2＝﹣3，
∴y＝9﹣16＝﹣7，
∴PE＝﹣y＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式．
10．（2025 登封市一模）在平面直角坐标系中，若将二次函数y＝（x+1）（x﹣2023）﹣4的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是 　2024　．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】2024．
【分析】由题意得，所得新函数的解析式为y＝（x+1）（x﹣2023），令（x+1）（x﹣2023）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2023，则可得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是2023﹣（﹣1）＝2024．
【解答】解：将二次函数y＝（x+1）（x﹣2023）﹣4的图象向上平移4个单位长度，所得新函数的解析式为y＝（x+1）（x﹣2023），
令（x+1）（x﹣2023）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2023，
∴所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是2023﹣（﹣1）＝2024．
故答案为：2024．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 临潼区期末）第十五届中国国际航空航天博览会在珠海举行，作为一名航迷的王兴同学关注到参展的某型号飞机在飞行表演过程中，先冲向高空，到达预定高度后，便开始向下俯冲，最终落回地面，整个飞行的轨迹可近似的看作一条如图所示的抛物线，设起飞的一瞬间为坐标原点，飞行高度y（米）与水平距离x（米）满足二次函数关系．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）飞机着陆时，距离起飞一瞬间的水平距离是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣2.5x2+100x；
（2）飞机着陆时，距离起飞一瞬间的水平距离是40米．
【分析】（1）先设出函数解析式，然后根据点（0，0），（5，437.5）和（10，750）在该函数图象上，即可求得该函数的解析式；
（2）将y＝0代入（1）中的函数解析式，求出相应的x的值，然后即可求得飞机着陆时，距离起飞一瞬间的水平距离．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵点（0，0），（5，437.5）和（10，750）在该函数图象上，
∴
解得，
∴该函数关系式为y＝﹣2.5x2+100x；
（2）当y＝0时，﹣2.5x2+100x＝0，
解得x1＝0，x2＝40，
∴飞机着陆时，距离起飞一瞬间的水平距离是40﹣0＝40（米），
答：飞机着陆时，距离起飞一瞬间的水平距离是40米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
12．（2024秋 临潼区期末）某建筑商计划依靠一面长18米的墙建造一个如图所示的矩形仓库ABCD，仓库的另外三面用36米长的建筑材料围成．
（1）请写出仓库面积S（m2）与AB边的长x（m）之间的函数关系式；
（2）当AB边的长是多少米时，仓库的面积最大？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）S＝﹣2x2+36x；
（2）当AB边的长为9米时，仓库的面积最大．
【分析】（1）根据题意可得：AB＝CD＝x米，则BC＝（36﹣2x） 米，然后利用长方形的面积公式进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论进行计算，可得：S＝﹣2（x﹣9）2+162，然后根据二次函数的最值，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：AB＝CD＝x米，则BC＝（36﹣2x） 米，
∴S＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x；
（2）S＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝9时，S可取最大值，
当x＝9时，BC＝36﹣9×2＝36﹣18＝18（米），
∵仓库依靠的墙长度为18米，
∴符合实际情况，
即当AB边的长为9米时，仓库的面积最大．
【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（2024秋 泉港区期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）．
（1）若m＝0，请求出二次函数的表达式．
（2）二次函数的图象和直线都经过点（2，t），试求出t的值．
（3）已知点P（a+4，n），Q（a+4m，n）都在该二次函数图象上，求证：n≤6．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数综合题；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）yx2+3．
（2）t的值为或．
（3）证明见解答．
【分析】（1）把m＝0代入即可求得答案；
（2）由题意得，解方程组即可求得答案；
（3）根据抛物线解析式可得抛物线的对称轴为直线x＝﹣2m，再由抛物线上两点P、Q的纵坐标相等可求得a＝﹣2，则n＝2﹣4m+3﹣4m2＝﹣4（m）2+6，再运用二次函数的性质即可证得结论．
【解答】（1）解：当m＝0时，yx2+3，
∴二次函数的表达式为yx2+3．
（2）解：∵二次函数的图象和直线都经过点（2，t），
∴，
解得：，，
∴t的值为或．
（3）证明：∵x2m，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2m，
∵点P（a+4，n），Q（a+4m，n）都在该抛物线上，
∴2m，
∴a+2＝0，
解得：a＝﹣2，
∴P（2，n），
∴n＝2﹣4m+3﹣4m2＝﹣4（m）2+6，
∵﹣4＜0，
∴当m时，n取得最大值6，
∴n≤6．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
14．（2024秋 清江浦区期末）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：
x 0 m 2 3 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）m＝ 　1　，n＝ 　6　；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）1；6；
（2）A（，）．
【分析】（1）根据题意可得：抛物线的顶点坐标为（4，8），从而可得，然后进行计算可得，从而可得yx2+4x，最后把（m，），（6，n）代入表达式进行计算，即可解答；
（2）把两个函数解析式联立成方程组，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为（4，8），
∴，
解得：，
∴yx2+4x，
当x＝6时，y62+4×6＝﹣18+24＝6，
∴n＝6，
当y时，x2+4x，
解得：x＝1或x＝7（舍去），
∴m＝1，
故答案为：1；6；
（2），
解得：，，
∵O（0，0），
∴A（，）．
【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（2024秋 江油市期末）我们知道画函数图象的步骤为列表、描点、连线．
（1）请在给定的坐标系中画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象．
（2）观察图象，当x＜﹣1时，y的范围是 　y＞0　，当y＜0时x的范围是 　﹣1＜x＜3　．
（3）设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形OPM是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；分类讨论；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）y＞0，﹣1＜x＜3；
（3）存在，P（，0）或（2，0）或（，0）或（，0）．
【分析】（1）取点描点连线即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）当PM＝PO时，列出等式即可求解；当PM＝OM或OM＝OP时，同理可解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其顶点为：（1，﹣4），
抛物线和x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
当x＝0时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝﹣3，
根据上述5个点描点连线绘制图形如下：
（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，
∴当x＜﹣1时，y＞0，
当y＜0时，﹣1＜x＜3，
故答案为：y＞0，﹣1＜x＜3；
（3）存在，理由：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
由点P、O、M的坐标得，PM2＝（x﹣1）2+16，PO2＝x2，OM2＝17，
当PM＝PO时，
则（x﹣1）2+16＝x2，则x，则点P（，0）；
当PM＝OM或OM＝OP时，
同理可得：（x﹣1）2+16＝17或x2＝17，
则x＝2或±，
即点P（2，0）或（，0）或（，0），
综上，P（，0）或（2，0）或（，0）或（，0）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，函数作图，解不等式等，分类求解是解题的关键．
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