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中考押题预测卷 圆中的计算问题
一．选择题（共5小题）
1．（2025 柳州一模）已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　）
A．9π B．6π C．3π D．2π
2．（2024秋 扬州期末）已知扇形的半径为12，圆心角为60°，则这个扇形的弧长为（　　）
A．9π B．6π C．3π D．4π
3．（2024秋 莱芜区期末）圆锥的底面圆的半径为10，圆锥母线长为20，则圆锥侧面展开图的面积为（　　）
A．100π B．200π C．300π D．400π
4．（2024秋 东莞市期末）一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆．则该圆锥的底面圆半径是（　　）
A． B． C． D．1
5．（2024秋 南川区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，D，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 金东区期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，连接DC，则线段DC＝ 　 　cm，阴影部分的面积为 　 　cm2．
7．（2024秋 东台市期末）已知圆锥的母线长13，侧面积是65π，则此圆锥的底面半径长是 　 　．
8．（2024秋 宿城区期末）若一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的底面圆面积为　 　．
9．（2024秋 增城区期末）如图，圆锥的底面半径OC＝4，母线长AC＝8，则圆锥的侧面积为 　 　．
10．（2024秋 包河区校级期末）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 盐城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC，AC分别相交于点D，E．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若⊙O半径为5，∠CDE＝50°，求扇形ODB的面积．
12．（2024秋 扬州期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为　 　；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为　 　，∠ADC的度数为　 　；
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为　 　．（结果保留根号）
13．（2024秋 拱墅区期末）如图，已知⊙O的半径为2，弦CD⊥直径AB，垂足为点E，点F在上（不与点A，点C重合），连接AF，AC，AD，FC．
（1）求证：AC＝AD．
（2）若．
①求∠ACD的度数．
②当FC∥AD时，求的长．
14．（2024秋 滨海新区期末）如图，OA，OB为⊙O的半径，过点A作OA⊥AP，过点B作OB⊥BP，AP与BP相交于点P，连接OP交⊙O于点C，连接BC，若OA∥BC，OA＝1．
（Ⅰ）求证：△OBC为等边三角形；
（Ⅱ）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
15．（2024秋 商洛期末）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB，若，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
中考押题预测卷 圆中的计算问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 柳州一模）已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　）
A．9π B．6π C．3π D．2π
【考点】扇形面积的计算．
【答案】C
【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：S扇形3π．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：S．
2．（2024秋 扬州期末）已知扇形的半径为12，圆心角为60°，则这个扇形的弧长为（　　）
A．9π B．6π C．3π D．4π
【考点】弧长的计算．
【答案】D
【分析】把扇形的圆心角为和半径为代入弧长公式计算即可．
【解答】解：依题意，n＝60，r＝12，
∴扇形的弧长4π．
故选：D．
【点评】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长．
3．（2024秋 莱芜区期末）圆锥的底面圆的半径为10，圆锥母线长为20，则圆锥侧面展开图的面积为（　　）
A．100π B．200π C．300π D．400π
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：∵圆锥的底面圆的半径为10，
∴圆锥的底面圆的周长为20π，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20π，
∴圆锥侧面展开图的面积为：20π×20＝200π，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．
4．（2024秋 东莞市期末）一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆．则该圆锥的底面圆半径是（　　）
A． B． C． D．1
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长．
【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，
∴圆锥的底面周长是2π，
设圆锥的底面半径是r，
则2πr＝2π，
解得：r＝1，
∴该圆锥的底面圆半径是1．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
5．（2024秋 南川区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，D，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】C
【分析】连接CE，作EF⊥BC于点F，根据题意得出，CB＝CE，得到∠B＝60°，可得△BCE是等边三角形，计算S阴＝S扇BCE﹣S△BCE即可得到答案．
【解答】解：如图，连接CE，作EF⊥BC于点F，
由条件可知，
∴∠B＝60°，
∵CB＝CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝BC＝2，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了扇形面积公式及计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 金东区期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，连接DC，则线段DC＝ 　（22）　cm，阴影部分的面积为 　（π﹣22）　cm2．
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（22），（π﹣22）．
【分析】连接AD，延长DC交AB于H点，如图，根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC＝2cm，AB＝4cm，∠ABC＝45°，再根据旋转的性质得到BD＝BA，∠ABD＝60°，则可判断△ABD为等边三角形，所以DA＝DB，从而可判断DH垂直平分AB，所以∠DHB＝90°，AH＝BH＝CH＝2cm，接着在Rt△BDC中计算出DH＝2cm，则DC＝DH﹣CH＝（22）cm，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S扇形ABD﹣S△BDH﹣S△ACH进行计算即可．
【解答】解：连接AD，延长DC交AB于H点，如图，
∵△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2cm，ABAC＝4cm，∠ABC＝45°，
∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，
∴BD＝BA，∠ABD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴DA＝DB，
而CA＝CB，
∴DH垂直平分AB，
∴∠DHB＝90°，AH＝BHAB＝2cm，
∴CH＝BH＝2cm，
在Rt△BDC中，∵∠DBH＝60°，
∴DHBH＝2cm，
∴DC＝DH﹣CH＝（22）cm，
阴影部分的面积＝S扇形ABD﹣S△BDH﹣S△ACH2×22×2＝（π﹣22）cm2．
故答案为：（22），（π﹣22）．
【点评】本题考查了扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
7．（2024秋 东台市期末）已知圆锥的母线长13，侧面积是65π，则此圆锥的底面半径长是 　5　．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径长为r，
则2πr×13＝65π，
解得：r＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．
8．（2024秋 宿城区期末）若一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的底面圆面积为　π　．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】π．
【分析】根据弧长公式求出侧面展开图的弧长，进而求出圆锥的底面圆的半径，根据圆的面积公式求出面积．
【解答】解：∵圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为90°，
∴它的侧面展开图的弧长为：2π，
则圆锥的底面圆的半径为：1，
∴圆锥的底面圆面积为：π×12＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
9．（2024秋 增城区期末）如图，圆锥的底面半径OC＝4，母线长AC＝8，则圆锥的侧面积为 　32π　．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】32π．
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形面积公式可计算出圆锥的侧面积．
【解答】解：根据题意得，
∵圆锥的底面半径OC＝4，
∴圆锥的底面圆的周长＝2π×4＝8π，
∴圆锥的侧面积8π×8＝32π．
故答案为：32π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形面积公式．
10．（2024秋 包河区校级期末）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为　　．
【考点】扇形面积的计算；圆周角定理．
【专题】运算能力．
【答案】．
【分析】连接OC，AC，由∠ABC的度数得出∠AOC的度数，再将阴影部分的面积转化为扇形OAC的面积，最后根据扇形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：连接OA，OC，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2×30°＝60°．
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝60°．
∵∠AOB＝120°，
∴∠COB＝120°﹣60°＝60°，
∴∠ACO＝∠COB，
∴AC∥OB，
∴S△AOC＝S△ABC，
∴S阴影＝S扇形OAC．
∵OA＝2，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算及圆周角定理，熟知圆周角定理及扇形的面积公式是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 盐城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC，AC分别相交于点D，E．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若⊙O半径为5，∠CDE＝50°，求扇形ODB的面积．
【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理的推论得到∠BDA＝90°，再根据等腰三角形的性质即可得到BD＝CD；
（2）根据已知求出∠BOD＝50°，根据扇形面积公式即可得到答案．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC．
∴BD＝CD；
（2）解：∵∠CDE＝50°，
∴∠BAC＝50°，
∵AD⊥BC．AB＝AC．
∴∠BAD＝∠CAD＝25°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝50°，
∵⊙O半径为5，
∴S扇形ODB．
【点评】本题考查了扇形面积和等腰三角形的性质以及圆周角定理．掌握扇形的面积公式、等腰三角形的性质以及圆周角定理是解题的关键．
12．（2024秋 扬州期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为　（﹣2，0）　；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为　　，∠ADC的度数为　90　；
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为　　．（结果保留根号）
【考点】圆锥的计算；坐标与图形性质；垂径定理；圆周角定理．
【专题】运算能力．
【答案】（1）（﹣2，0）；
（2）2，90°；
（3）．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出D点位置，结合图形得到点D的坐标；
（2）利用点的坐标结合勾股定理得出⊙D的半径长，根据勾股定理的逆定理∠ADC的度数；
（3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．
【解答】解：（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）；
（2）圆D的半径长，
，
AD2+CD240，
AC2＝40，
则AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
故答案为：；90；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为r，
则，
解得．
【点评】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面积公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
13．（2024秋 拱墅区期末）如图，已知⊙O的半径为2，弦CD⊥直径AB，垂足为点E，点F在上（不与点A，点C重合），连接AF，AC，AD，FC．
（1）求证：AC＝AD．
（2）若．
①求∠ACD的度数．
②当FC∥AD时，求的长．
【考点】弧长的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（1）见解答；
（2）①
②π．
【分析】（1）根据垂径定理及圆心角定理证明；
（2）①根据圆内接四边形的性质求解；
②根据“平行弦所夹的弧相等”，及弧长公式求解．
【解答】（1）证明：∵弦CD⊥直径AB，
∴A平分，即，
∴AC＝AD；
（2）①∵四边形AFCD内接于⊙O，
∴∠AFC+∠ADC＝180°①，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ADC②，
由①②得：∠ADC＝67.5°，∠AFC＝112.5°，
∴∠ACD＝67.5°；
②连接OC，OD，
∵∠ADC＝∠ACD＝67.5°，
∴∠CAD＝180°﹣2×67.5°＝45°，
∴∠COD＝90°，
∵FC∥AD，
∴，
∵的长为：π，
∴的长为π．
【点评】本题考查了弧长公式及垂径定理，掌握弧长公式和垂径定理是解题的关键．
14．（2024秋 滨海新区期末）如图，OA，OB为⊙O的半径，过点A作OA⊥AP，过点B作OB⊥BP，AP与BP相交于点P，连接OP交⊙O于点C，连接BC，若OA∥BC，OA＝1．
（Ⅰ）求证：△OBC为等边三角形；
（Ⅱ）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【考点】扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（Ⅰ）证明见解答；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）根据全等三角形的判定与性质、平行线的性质和等边三角形的判定定理证明即可；
（Ⅱ）利用特殊角的三角形函数和三角形面积公式求出S四边形OAPB，利用扇形面积公式求出S扇形AOB，再由S阴影＝S四边形OAPB﹣S扇形AOB计算阴影部分的面积即可．
【解答】（Ⅰ）证明：在Rt△OAP和Rt△OBP中，
，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
∵OA∥BC，
∴∠BCO＝∠AOP，
∴∠BOP＝∠BCO，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠BCO，
∴∠OBC＝∠BCO＝∠BOP，
∴△OBC为等边三角形．
（Ⅱ）∵△OBC为等边三角形，
∴∠BOP＝60°，
∴BP＝OB tan∠BOP＝1，
∴SRt△OBP＝SRt△OAPOB BP1，
∴S四边形OAPB＝SRt△OBP+SRt△OAP，
∵∠AOB＝2∠BOP＝120°，
∴S扇形AOBπ×12，
∴S阴影＝S四边形OAPB﹣S扇形AOB．
【点评】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质，掌握扇形面积的计算公式、等边三角形的判定与性质、等三角形的判定与性质、平行线的性质、特殊角的三角形函数和三角形面积公式是解题的关键．
15．（2024秋 商洛期末）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB，若，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】π．
【分析】先根据垂径定理得出AC＝BC，再结合AB＝2OC得出∠AOC＝∠OAC＝45°，进一步求出∠AOB的度数，最后根据扇形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AB＝2AC．
又∵AB＝2OC，
∴AC＝OC，
∴∠AOC＝∠OAC＝45°，
∴∠AOB＝2∠AOC＝90°．
又∵AB＝2OC，
∴OA，
∴S阴影．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算、勾股定理及垂径定理，熟知垂径定理及扇形的面积公式是解题的关键．
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