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2025年中考数学二轮复习押题预测 尺规作图
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 盐都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝8，AB＝10，当DE长度最小时，△BDE的面积是（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2024秋 宁波期末）下列尺规作图中，一定能得到AD+BD＝BC的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2024秋 三亚期末）如图，在长方形ABCD中，在线段DC上取一点M，使得AD＝DM，以点M为圆心，AM为半径作弧，交AB于点N，分别以点A、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线MF交AB于点E，连接NC、MN，若∠MCN＝2∠NCB，则∠MNC等于（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
4．（2024秋 新乐市期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若AB＝6，BC＝8，则BG的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024秋 扬州期末）如图，OC是一条射线，将一把直角三角尺（∠OAB＝30°，∠OBA＝60°）的直角顶点放在O处，∠BOC＝40°，将OC绕着点O按每秒15°的速度顺时针旋转360°，设旋转时间为t秒，分别作出∠BOC、∠AOC的角平分线OE、OF．在旋转过程中，当OE或OF中有一条射线与AB平行时，t的值为（　　）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角）
A． B． C．或 D．或
6．（2024秋 连云港期末）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（3a，4b+2），则a与b的数量关系为（　　）
A．3a﹣2b＝2 B．3a+2b＝﹣2 C．3a﹣4b＝2 D．3a+4b＝﹣2
7．（2024秋 南通期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12．按如图所示作图痕迹作图，在BC上得点D，在AC上得点E，则DE的长为（　　）
A．4 B． C． D．
8．（2024秋 红河县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD平分∠BAC；
②∠ADC＝60°；
③点D在AB的垂直平分线上；
④S△ABD＝2S△ACD．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024秋 门头沟区期末）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC内心的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024秋 青羊区期末）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝9，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB、AD于M、N两点；分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点G，连接AG并延长交BC于E，连接EF、BD，BD分别交AE、EF于P、Q两点，下列结论不正确的是（　　）
A．AE平分∠BAD B．四边形ABEF是菱形
C． D．PQ＝QD
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 南安市期末）已知：如图1，直线l及其外一点A．求作：直线l的垂线，使它经过点A．小刚的作法如下：
①在直线l上任取一点B，连结AB．
②以A为圆心，线段AB的长度为半径作弧，交直线l于点D．
③分别以B，D为圆心，线段AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C．
④作直线AC．直线AC即为所求作的垂线（如图2）．
若BD＝12，AC＝16，则四边形ABCD的周长为 　 　．
12．（2024秋 苏州期末）小明通过画直线分割正方形，在正方形内画1条直线，该直线将正方形分成2个区域（图①）；在正方形内画2条直线，最少可以分成3个区域（图②）；最多可以分成4个区域且2条直线在正方形内（不含边界）有1个交点（图③）；在正方形内画3条直线，最多可以分成7个区域且3条直线在正方形内（不含边界）有3个交点（图④）．
小明又进行了多次试验，其中1次他在正方形内画a条直线，将正方形分成b个区域且a条直线在正方形内（不含边界）有c个交点，则a，b，c之间的数量关系为 　 　．
13．（2024秋 天府新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的角平分线，按以下步骤作图：①分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN分别交边AC，BC于点E，F，连接DE，DF．若BF＝2，则线段DF的长为 　 　．
14．（2025 金山区一模）某校初三数学活动小组在利用尺规把线段AB分割成两条线段．
（1）过点B作BC⊥AB，使．
（2）联结AC，在线段CA上被取CD＝CB．
（3）在线段AB上截取AE＝AD．那么 　 　．
15．（2024秋 天津期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C均在格点上．
（1）线段AB的长等于 　 　；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O，并简要说明点O的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 嘉兴期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：作BC边上的高线AD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB＝10，BC＝12，求高线AD的长．
17．（2024秋 包河区期末）如图，已知射线BC和射线外两点A、D，按下列要求作图：
（1）画射线BA；
（2）画线段AD，并延长AD交射线BC于点O；
（3）以OA为一边，用尺规作图作∠AOE＝∠B，保留作图痕迹，写结论，不写作法．
18．（2024秋 丰都县期末）我们知道：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空：
已知：如图，△ABC中，AB＞AC．
求证：∠C＞∠B．
（1）尺规作图：作∠A的角平分线AD，交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE．（保留作图痕迹）
（2）证明：∵AD平分线∠BAC，
∴　 　．
在△EAD和△CAD中，
∴△EAD≌△CAD（SAS）．
∴∠C＝ 　 　．
∵∠AED＞　 　，
∴∠C＞∠B．
通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，　 　．
19．（2024秋 鄞州区期末）如图，是由边长为1的正方形构成的9×5的网格图，△ABC的顶点都在格点上．
（1）判断△ABC是否为等腰三角形　 　．（填是或否），并直接写出△ABC的面积为　 　；
（2）命题“腰长相等的两个等腰三角形是全等三角形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图中再画一个顶点是格点的三角形说明；若是真命题，请进行证明．
20．（2024秋 连江县期末）如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°．
（1）尺规作图：在线段BC上求作一点D，使∠ADC＝2∠B；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，作∠ADC的平分线交AC于点E，若AD＝a，DC＝b，请补全图形并求出CE的长．（用含a，b的代数式表示）
2025年中考数学二轮复习押题预测 尺规作图
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 盐都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝8，AB＝10，当DE长度最小时，△BDE的面积是（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【答案】C
【分析】由垂线段最短可知，当DE⊥AB时，DE长度最小，由作图过程可知AD平分∠BAC，结合角平分线性质得到CD＝DE，证明Rt△ACD≌Rt△AED，利用全等三角形性质得到AE＝AC＝8，根据勾股定理求出BC＝6，设CD＝DE＝x，则BD＝6﹣x，在Rt△BDE中，根据勾股定理列方程求出x，最后利用三角形面积公式求解，即可解题．
【解答】解：由垂线段最短可知，当DE⊥AB时，DE长度最小，
由作图过程可知AD平分∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴，BE＝AB﹣AE＝10﹣8＝2，
设CD＝DE＝x，则BD＝BC﹣CD＝6﹣x，
在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BE2+DE2＝BD2，即22+x2＝（6﹣x）2，
解得：，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键．
2．（2024秋 宁波期末）下列尺规作图中，一定能得到AD+BD＝BC的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
【分析】由AD+BD＝BC，BC＝CD+BD，推出AD＝CD，由此判断即可．
【解答】解：选项C中，由作图可知∠C＝∠DAC，
∴DA＝DC，
∴AD+DB＝DB+DC＝BC．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
3．（2024秋 三亚期末）如图，在长方形ABCD中，在线段DC上取一点M，使得AD＝DM，以点M为圆心，AM为半径作弧，交AB于点N，分别以点A、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线MF交AB于点E，连接NC、MN，若∠MCN＝2∠NCB，则∠MNC等于（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
【专题】运算能力．
【答案】A
【分析】由长方形ABCD和AD＝DM可得∠MAN＝45°，再根据作图可得直线MF是线段AN的垂直平分线，得出∠MNA的度数，再利用∠MCN＝2∠NCB求出∠MCN的度数，最后在△MNC利用三角形内角和定理即可解答．
【解答】解：如图，连接AM，
∵长方形ABCD，
∴∠D＝∠DAM＝∠DCB＝90°，CD∥AB，
∵AD＝DM，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴∠DAM＝45°，
∴∠MAN＝∠DAB﹣∠DAM＝45°，
由作图可得，直线MF是线段AN的垂直平分线，
∴MA＝MN，
∴∠MNA＝∠MAN＝45°，
∵CD∥AB，
∴∠CMN＝∠MNA＝45°，
∵∠MCN＝2∠NCB，
∴∠DCB＝∠MCN+∠NCB＝3∠NCB＝90°，
解得：∠NCB＝30°，
∴∠MCN＝2∠NCB＝60°，
∵∠MNC+∠CMN+∠MCN＝180°，
∴∠MNC＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的作图及其性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．（2024秋 新乐市期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若AB＝6，BC＝8，则BG的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】A
【分析】如图，过点G作GH⊥AC于点H．利用勾股定理求出AC，再利用面积法求出GH即可．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H．
∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∵AG平分∠BAC，GB⊥AB，GH⊥AC，
∴GB＝GH，
∵S△ABC＝S△ABG+s△ACG，
∴6×86×BG10×GH，
∴GH＝3．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
5．（2024秋 扬州期末）如图，OC是一条射线，将一把直角三角尺（∠OAB＝30°，∠OBA＝60°）的直角顶点放在O处，∠BOC＝40°，将OC绕着点O按每秒15°的速度顺时针旋转360°，设旋转时间为t秒，分别作出∠BOC、∠AOC的角平分线OE、OF．在旋转过程中，当OE或OF中有一条射线与AB平行时，t的值为（　　）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角）
A． B． C．或 D．或
【考点】作图—基本作图；一元一次方程的应用；平行线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】分两种情况：①当OF∥AB时，②当OE∥AB时，进行讨论即可．
【解答】解：①如图，当OF∥AB时，
∵∠OAB＝30°，
∴∠AOF＝∠OAB＝30°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOF＝2×30°＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+60°＝150°，
即：15°t+40°＝150°，
解得：t；
②如图，当OE∥AB时，
∵∠OBA＝60°，
∴∠BOE＝∠OBA＝60°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOE＝2×60°＝120°，
∴15°t+40°＝360°﹣120°，
解得：t，
综上所述，在旋转过程中，当OE或OF中有一条射线与AB平行时，t的值为秒或秒．
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的定义，周角的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握角的和差运算，利用分类讨论思想求解是解答的关键．
6．（2024秋 连云港期末）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（3a，4b+2），则a与b的数量关系为（　　）
A．3a﹣2b＝2 B．3a+2b＝﹣2 C．3a﹣4b＝2 D．3a+4b＝﹣2
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】直接利用角平分线的作法与性质进而得出P点在第二象限的角平分线上，进而得出答案．
【解答】解：分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，
∴P点在第二象限的角平分线上，
∵点P的坐标为（3a，4b+2），
∴3a+4b+2＝0，
∴3a+4b＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，坐标与图形性质，正确掌握角平分线的基本作法是解题关键．
7．（2024秋 南通期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12．按如图所示作图痕迹作图，在BC上得点D，在AC上得点E，则DE的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出AC，再利用面积法求出DE．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12．
∴AC13，
∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DE＝DB，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，
∴ AB CB AB DB AC DE，
∴DE．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
8．（2024秋 红河县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD平分∠BAC；
②∠ADC＝60°；
③点D在AB的垂直平分线上；
④S△ABD＝2S△ACD．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；尺规作图；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC＝60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD＝∠CAD＝30°得到∠ADC＝60°，则可对②进行判断；利用∠B＝∠BAD得到DA＝DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CDAD，
∴BC＝CD+BDAD+ADAD，S△DACAC CDAC AD．
∴S△ABCAC BCAC ADAC AD，
∴S△DAC：S△ABCAC AD：AC AD＝1：3，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
9．（2024秋 门头沟区期末）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC内心的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图—复杂作图；三角形的内切圆与内心．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】内心是三角形的角平分线的交点，由此判断即可．
【解答】解：内心是三角形的角平分线的交点，选项D中，点O即为三角形的内心．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的内切圆与内心，解题的关键是读懂图象信息．
10．（2024秋 青羊区期末）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝9，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB、AD于M、N两点；分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点G，连接AG并延长交BC于E，连接EF、BD，BD分别交AE、EF于P、Q两点，下列结论不正确的是（　　）
A．AE平分∠BAD B．四边形ABEF是菱形
C． D．PQ＝QD
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；菱形的判定．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】由作图得到AB＝AF，AE平分∠BAD，故选项A正确；根据平行四边形的性质得到AF∥BE，得到∠FAE＝∠AEB，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠FAE，求得∠BAE＝∠AEB，得到AB＝BE＝AF，根据菱形的判定定理得到四边形ABEF是菱形，故选项B正确；根据菱形的性质得到AF＝BE＝AB＝6，DF＝9﹣6＝3，求得，故选项C正确；根据相似三角形的性质得到，求得QDBQ，FQAB＝2，得到EQ＝6﹣2＝4，AB∥EF，g就相似三角形的性质得到，求得QPBQ，得到PQ≠QD，故选项D错误．
【解答】解：由作图知，AB＝AF，AE平分∠BAD，故选项A正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠FAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是菱形，故选项B正确；
∵四边形ABEF是菱形，AB＝6，AD＝9，
∴AF＝BE＝AB＝6，DF＝9﹣6＝3，
∴，故选项C正确；
∵四边形ABEF是菱形，
∴∠BEA＝∠QEA，AB∥EF，
∴△FGD∽△ABD，
∴，
∴QDBQ，FQAB＝2，
∴EQ＝6﹣2＝4，AB∥EF，
∴△ABP∽△EQP，
∴，
∴QPBQ，
∴PQ≠QD，故选项D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，进行 的判定和性质，平行四边形 的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 南安市期末）已知：如图1，直线l及其外一点A．求作：直线l的垂线，使它经过点A．小刚的作法如下：
①在直线l上任取一点B，连结AB．
②以A为圆心，线段AB的长度为半径作弧，交直线l于点D．
③分别以B，D为圆心，线段AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C．
④作直线AC．直线AC即为所求作的垂线（如图2）．
若BD＝12，AC＝16，则四边形ABCD的周长为 　40　．
【考点】作图—复杂作图；菱形的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】40．
【分析】判断出四边形ABCD是菱形，利用勾股定理求出AB即可．
【解答】解：设AC与BD交于点O．
由作图可知AB＝AD＝BC＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OCAC＝8，OD＝OBBD＝6，
∴AB10，
∴菱形ABCD的周长为40．
故答案为：40．
【点评】本题考查作法﹣复杂作图，菱形的判定和性质，解题的关键是读懂图象信息．
12．（2024秋 苏州期末）小明通过画直线分割正方形，在正方形内画1条直线，该直线将正方形分成2个区域（图①）；在正方形内画2条直线，最少可以分成3个区域（图②）；最多可以分成4个区域且2条直线在正方形内（不含边界）有1个交点（图③）；在正方形内画3条直线，最多可以分成7个区域且3条直线在正方形内（不含边界）有3个交点（图④）．
小明又进行了多次试验，其中1次他在正方形内画a条直线，将正方形分成b个区域且a条直线在正方形内（不含边界）有c个交点，则a，b，c之间的数量关系为 　b＝c+1+a　．
【考点】作图—应用与设计作图；完全平方式．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】b＝c+1+a．
【分析】由图形总结出画1条直线，2条直线，3条直线，……，a条直线时最多的区域数和交点数，据此即可得出结论．
【解答】解：由图可知：当画1条直线时：直线数为1，最多区域数为，交点数为，
当画2条直线时：直线数为2，最多区域数为，交点数为，
当画3条直线时：直线数为3，最多区域数为，交点数为，
……，
当画a条直线时：直线数为a，最多区域数为，交点数为，
∴b＝c+1+a，
故答案为：b＝c+1+a．
【点评】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现并总结出一般规律是解题的关键．
13．（2024秋 天府新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的角平分线，按以下步骤作图：①分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN分别交边AC，BC于点E，F，连接DE，DF．若BF＝2，则线段DF的长为 　　．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】．
【分析】由作图过程可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，可得CF＝DF，则∠CDF＝∠DCF，结合角平分线的定义可得∠CDF＝∠ACD，则AC∥DF，进而可得∠BFD＝∠ACB＝90°，∠BDF＝∠A＝30°，则DF．
【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，
∴CF＝DF，
∴∠CDF＝∠DCF．
∵CD为△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠CDF＝∠ACD，
∴AC∥DF，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠BFD＝∠ACB＝90°，∠BDF＝∠A＝30°，
∴DF．
故答案为：．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（2025 金山区一模）某校初三数学活动小组在利用尺规把线段AB分割成两条线段．
（1）过点B作BC⊥AB，使．
（2）联结AC，在线段CA上被取CD＝CB．
（3）在线段AB上截取AE＝AD．那么 　　．
【考点】作图—基本作图；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线得到线段AB的中点，作直线BC⊥AB于B，然后截取BCAB即可；
（2）根据题意作出图形即可；
（3）根据勾股定理得到ACAB，求得AD＝AE＝AC﹣CDABAB，得到BE＝AB﹣AE＝AB﹣（ABAB）AB，于是得到结论．
【解答】解：（1）如图所示；点C即为所求；
（2）如图所示，点D即为所求；
（3）如图所示，点E即为所求．
∵BC＝CD，ACAB，
∴AD＝AE＝AC﹣CDABAB，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣（ABAB）AB，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．
15．（2024秋 天津期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C均在格点上．
（1）线段AB的长等于 　5　；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O，并简要说明点O的位置是如何找到的（不要求证明） 　找两个1×5网格矩形的中心N，H，再找2×4网格格点F，G，连接NH，FG交于点O　．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理；垂径定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）5；
（2）找两个1×5网格矩形的中心N，H，再找2×4网格格点F，G，连接NH，FG交于点O．
【分析】（1）利用网格勾股定理即可求出线段AB的长；
（2）找到3×4网格格点D，E，再找2×4网格格点F，G，根据直角三角形两个锐角互余可得DE⊥AB，GF⊥AC，DE，FG交于点O，即可解决问题．
【解答】解：（1）线段AB的长5，
故答案为：5；
（2）如图，点O即为所求；
找两个1×5网格矩形的中心N，H，再找2×4网格格点F，G，连接NH，FG交于点O，即为点O的位置．
故答案为：找两个1×5网格矩形的中心N，H，再找2×4网格格点F，G，连接NH，FG交于点O．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，垂径定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 嘉兴期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：作BC边上的高线AD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB＝10，BC＝12，求高线AD的长．
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】几何直观；运算能力．
【答案】（1）见详解；
（2）8．
【分析】（1）作BC垂直平分线上一点，然后连接此点和点A，交BC于点D，AD即为所求；
（2）在△ABD中利用勾股定理，即可求得AD的长．
【解答】解：（1）分别以B、C两点为圆心，大于长度为半径画弧，两弧在BC同侧相交交于一点，连接此点和点A并交BC于点D，线段AD即为所求作△ABC的边BC上的高．
如图：
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝12，
∴，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∵AB＝10，BD＝6，
∴．
【点评】本题主要考查了高线的基本作图，勾股定理求解和等腰三角形的性质等知识，掌握以上知识是解题关键．
17．（2024秋 包河区期末）如图，已知射线BC和射线外两点A、D，按下列要求作图：
（1）画射线BA；
（2）画线段AD，并延长AD交射线BC于点O；
（3）以OA为一边，用尺规作图作∠AOE＝∠B，保留作图痕迹，写结论，不写作法．
【考点】作图—复杂作图；直线、射线、线段．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】（1）根据射线的定义画出图形；
（2）根据线段，以及题目要求画出图形；
（3）分两种情形负半轴OA的上方，下方作∠AOE＝∠B即可．
【解答】解：（1）如图，射线BA即为所求；
（2）如图，线段AD，点O即为所求；
（3）如图，∠AOE或∠AOE′即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
18．（2024秋 丰都县期末）我们知道：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空：
已知：如图，△ABC中，AB＞AC．
求证：∠C＞∠B．
（1）尺规作图：作∠A的角平分线AD，交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE．（保留作图痕迹）
（2）证明：∵AD平分线∠BAC，
∴　∠DAB＝∠DAC　．
在△EAD和△CAD中，
∴△EAD≌△CAD（SAS）．
∴∠C＝ 　∠AED　．
∵∠AED＞　∠B　，
∴∠C＞∠B．
通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，　大边对大角　．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）∠DAB＝∠DAC，AD＝AD，∠AED，∠B，大边对大角．
【分析】（1）作∠A的角平分线AD，交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE即可；
（2）证明△EAD≌△CAD（SAS）．推出∠C＝∠AED，即可解决问题．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵AD平分线∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC．
在△EAD和△CAD中，
，
∴△EAD≌△CAD（SAS）．
∴∠C＝∠AED，
∵∠AED＞∠B，
∴∠C＞∠B．
通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，大边对大角．
故答案为：∠DAB＝∠DAC，AD＝AD，∠AED，∠B，大边对大角．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
19．（2024秋 鄞州区期末）如图，是由边长为1的正方形构成的9×5的网格图，△ABC的顶点都在格点上．
（1）判断△ABC是否为等腰三角形　是　．（填是或否），并直接写出△ABC的面积为　7.5　；
（2）命题“腰长相等的两个等腰三角形是全等三角形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图中再画一个顶点是格点的三角形说明；若是真命题，请进行证明．
【考点】作图—应用与设计作图；命题与定理；全等三角形的判定；等腰三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）是；7.5；
（2）“腰长相等的两个等腰三角形是全等三角形”是假命题，图见解析．
【分析】（1）根据勾股定理可判断△ABC是否为等腰三角形；利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积；
（2）根据等腰三角形的定义、全等三角形的判定方法判定方法解答即可．
【解答】解：（1）边长为1的正方形构成的9×5的网格图，△ABC的顶点都在格点上，
由勾股定理得：，
∴△ABC是等腰三角形，
△ABC的面积，
故答案为：是；7.5；
（2）“腰长相等的两个等腰三角形是全等三角形”是假命题，如图，
.BC＝AC＝CD，
∴△ABC和△BCD是等腰三角形，且腰长相等，但△ABC与△BDC不全等．
【点评】此题考查了作图﹣用与设计作图，全等三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，命题与定理，解题的关键是掌握勾股定理以及全等三角形的判定．
20．（2024秋 连江县期末）如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°．
（1）尺规作图：在线段BC上求作一点D，使∠ADC＝2∠B；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，作∠ADC的平分线交AC于点E，若AD＝a，DC＝b，请补全图形并求出CE的长．（用含a，b的代数式表示）
【考点】作图—复杂作图；平行线分线段成比例；列代数式；角平分线的定义．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）EC．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，点D即为所求；
（2）证明∠DAC＝90°，利用勾股定理求出AC，再证明DE∥AB，利用平行线分线段成比例定理求出EC即可．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；
（2）由作图可知DB＝DA＝a，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，
∵∠C＝60°，
∴∠DAC＝90°，
∴AC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵∠ADC＝∠B+∠DAB，∠B＝∠DAB，
∴∠EDC＝∠B，
∴DE∥AB，
∴，
∴EC．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的定义，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
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