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2025年中考数学二轮复习押题预测 二次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 无锡期末）二次函数y＝x2﹣6x+8图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（3，8） C．（﹣3，1） D．（3，﹣1）
2．（2024秋 雁塔区校级期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝﹣2x+1 B． C．y＝x2+4x D．y＝x3
3．（2024秋 雁塔区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表：
x … ﹣4 ﹣2 0 1 …
y … n 3 2 n …
对于下列结论：①abc＞0；②3a+b＝0；③当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；④ax2+bx+c﹣2＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣3．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024秋 黔江区期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024秋 梁平区期末）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：（1）当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是；（2）当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；（3）当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；其中正确的结论有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024秋 庄河市期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣2，2） D．（﹣1，﹣3）
7．（2024秋 庄河市期末）如图，以（2，5）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　）
A．2＜x＜3 B．1＜x＜2 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
8．（2024秋 博罗县期末）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　）
A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m
9．（2024秋 海曙区期末）若函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（﹣1，1）和（1，﹣7），则当﹣3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣3 D．0
10．（2024秋 黔江区期末）函数的图象，如何平移变换，可以得到函数的图象（　　）
A．向右平移2个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移2个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移2个单位，再向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 秦淮区期末）如图，点A，B和点C，D分别在和的图象上．若点A，C的横坐标均为﹣2，点B，D的横坐标均为4，则线段AC，BD与两条抛物线围成的阴影部分的面积是　 　．
12．（2024秋 无锡期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在该图象上．有下列结论：①ab≥0；②m＝3a﹣2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间；④对于任意实数t，t（at+b）≥a+b恒成立；⑤点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在该图象上，当实数时，y1＜y2.其中，正确的是　 　.（填写正确的序号）
13．（2024秋 洪雅县期末）某圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y6，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 　 　m．
14．（2024秋 城阳区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1．其中正确的是 　 　.（只填写序号）
15．（2024秋 东莞市期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点A（0，6）、B（3，3）、C（4，6）．当y＞6时，x的取值范围为　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 黄浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+4x+c（c＞0）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，顶点为P，直线PC与x轴交于点D．
（1）用含c的代数式表示点P及点D的坐标；
（2）将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点P'落在线段PC的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且P'E⊥PP'．
①求该抛物线两次平移的方向和距离；
②点A在新抛物线上的对应点A'，如果DA'被y轴平分，求原抛物线的表达式．
17．（2024秋 庄河市期末）我们定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y＝x2﹣2x+3的“特征数”是[1，﹣2，3]，函数y＝2x﹣1的“特征数”是[0，2，﹣1]，函数y＝﹣2x的“特征数”是[0，﹣2，0]．
（1）若一个函数的特征数是[1，﹣6，2]，将此函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 　 　．
（2）将“特征数”是[0，，﹣1]的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 　 　．
（3）当“特征数”是[1，﹣2m，m2+1]的函数在直线x＝﹣2和直线x＝1之间的部分（包括边界点）的最低点的纵坐标为4时，求m的值．
（4）当特征数[1，b，c]满足1﹣b+c＝0时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．已知点B的坐标为（3，0），若在x轴上有一点P，使∠CPA＝2∠CBD，请直接写出点P的坐标．
18．（2024秋 江北区期末）某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x 6，且x是接0.5元的整数倍上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天的销售利润为240元，求当天的销售单价；
（3）若每件文具的利润不超过4元，要想当天获得的利润最大，这种文具的销售单价应为多少？并求出最大利润．
19．（2024秋 庄河市期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c（b、c是常数）的顶点坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）请在如图网格中画出抛物线的图象；
（3）若一次函数y1＝﹣x﹣3，当y1＞y时，直接写出x的取值范围．
20．（2024秋 江汉区期末）同学们在操场上进行铅球训练，小明尝试利用数学模型研究铅球的运动情况，其运动路径可看作抛物线的一部分，以地面水平方向为x轴，出手点与地面的垂线为y轴，单位长度为1m，建立了如图所示的平面直角坐标系．小明在投掷铅球时，铅球出手时铅球离地面的高度为1.6m，铅球落地时，离出手点的水平距离是8m，铅球运行的水平距离为3m时达到最大高度．
（1）求该铅球运行路径所在抛物线的表达式；
（2）当铅球距出手点的水平距离为4m时，求铅球距离地面的高度；
（3）小红在投掷铅球时，铅球出手时和落地时的位置与小明的相同，但小红投掷的铅球在距出手点水平距离为3.5m时达到最大高度．假设铅球运行的水平距离相同时，小红投掷铅球时铅球的所在位置与小明投掷铅球时铅球所在位置的高度差为△h，求△h的最大值及此时铅球运行的水平距离．
2025年中考数学二轮复习押题预测 二次函数
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C C B D B B D
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 无锡期末）二次函数y＝x2﹣6x+8图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（3，8） C．（﹣3，1） D．（3，﹣1）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】利用配方法化为顶点式即可得解．
【解答】解：将抛物线解析式配方得：y＝（x﹣3）2﹣1，
∴顶点为（3，﹣1），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数顶点坐标的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（2024秋 雁塔区校级期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝﹣2x+1 B． C．y＝x2+4x D．y＝x3
【考点】二次函数的定义．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义，对选项逐一分析判断即可．
【解答】解：A、y＝﹣2x+1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、是反比例函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝x2+4x是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝x3自变量x最高次数是3，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
3．（2024秋 雁塔区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表：
x … ﹣4 ﹣2 0 1 …
y … n 3 2 n …
对于下列结论：①abc＞0；②3a+b＝0；③当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；④ax2+bx+c﹣2＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣3．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
【分析】由表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，2），可得b＝3a，c＝2，则abc＝6a2＞0，3a﹣b＝0；利用待定系数法求出二次函数的解析式，可得当x时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；解方程2＝0，得x1＝0，x2＝﹣3，即可得出答案．
【解答】解：由表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x，
∴，
∴b＝3a．
由表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，2），
将（0，2）代入y＝ax2+bx+c，
得c＝2，
∴abc＝6a2＞0，
故①正确；
∵b＝3a，
∴3a﹣b＝0，
故②不正确；
设二次函数的解析式为y＝ax2+3ax+2，
将（﹣2，3）代入，得4a﹣6a+2＝3，
解得a，
∴二次函数的解析式为y．
∴当x时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
故③不正确；
解方程2＝0，得x1＝0，x2＝﹣3，
故④正确．
综上所述，正确结论的个数是2．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、根与系数的关系、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（2024秋 黔江区期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据所给函数图象，得出a，b的正负，再结合抛物线的对称性及增减性对所给说法依次进行判断即可．
【解答】解：由所给图形可知，
a＞0，b＜0，
所以ab＜0．
故①正确．
因为抛物线与x轴的两个交点的横坐标为﹣1和3，
所以方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3．
故②正确．
由函数图象可知，
当x＝1时，函数值小于零，
所以a+b+c＜0．
故③错误．
因为抛物线与x轴的两个交点的横坐标为﹣1和3，
所以抛物线的对称轴为直线x．
又因为抛物线开口向上，
所以当x＜1时，y随x的增大而减小．
故④错误．
由函数图象可知，
当x＜﹣1或x＞3时，二次函数的图象在y轴的上方，即y＞0，
所以当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．
故⑤正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系及抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
5．（2024秋 梁平区期末）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：（1）当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是；（2）当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；（3）当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；其中正确的结论有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】C
【分析】①把m＝﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可．
【解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，
①当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x）2，
∴函数图象的顶点坐标是（，），故①正确；
②当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，
解得：x1＝1，x2，
∴|x2﹣x1|，
∴当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确；
③当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）是一个开口向下的抛物线，
∴对称轴是直线x，
∴在对称轴的右边y随x的增大而减小，
∵当m＜0时，，
∴对称轴在直线x的右侧，
∴函数在直线x的右侧先递增到对称轴位置，再递减，故③错误．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征，求二次函数所经过的点，有一定综合性，难度一般．
6．（2024秋 庄河市期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣2，2） D．（﹣1，﹣3）
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，进一步求得顶点坐标．
【解答】解：∵x＝﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，
∴该函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．
7．（2024秋 庄河市期末）如图，以（2，5）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　）
A．2＜x＜3 B．1＜x＜2 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【考点】图象法求一元二次方程的近似根；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝2，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（2，5），
∴对称轴为x＝2，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣2＜x＜﹣1，
∴右侧交点横坐标的取值范围是5＜x＜6，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是5＜x＜6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．
8．（2024秋 博罗县期末）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　）
A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点D的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解，建立平面直角坐标系，正确求出抛物线解析式是解此题的关键．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图，
∵抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，
∴点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣1，0），
∴点E的坐标为（0，0.6），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣1），将点E的坐标代入得：
a（0+1）×（0﹣1）＝0.6，
解得：a＝﹣0.6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.6（x+1）（x﹣1）．
∵点D的横坐标为2，
∴点D的纵坐标为﹣0.6×（2+1）×（2﹣1）＝﹣1.8，
∴点C到AD的距离为1.8m．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式．
9．（2024秋 海曙区期末）若函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（﹣1，1）和（1，﹣7），则当﹣3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣3 D．0
【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】依据题意，由函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（﹣1，1）和（1，﹣7），从而，可得，从而函数为y＝﹣2x2﹣4x﹣1＝﹣2（x+1）2+1，再由二次函数的性质，结合﹣3≤x≤0，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（﹣1，1）和（1，﹣7），
∴．
∴．
∴函数为y＝﹣2x2﹣4x﹣1＝﹣2（x+1）2+1．
∴当﹣3≤x≤0时，当x＝﹣1时，y最大值为1；当x＝﹣3时，y取最小值为﹣7．
∴函数的最大值与最小值之和是：1+（﹣7）＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
10．（2024秋 黔江区期末）函数的图象，如何平移变换，可以得到函数的图象（　　）
A．向右平移2个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移2个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移2个单位，再向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
将所给函数图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位后，
所得图象的函数表达式为y．
故A选项不符合题意．
将所给函数图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，
所得图象的函数表达式为y．
故B选项不符合题意．
将所给函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后，
所得图象的函数表达式为y．
故C选项不符合题意．
将所给函数图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，
所得图象的函数表达式为y．
故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 秦淮区期末）如图，点A，B和点C，D分别在和的图象上．若点A，C的横坐标均为﹣2，点B，D的横坐标均为4，则线段AC，BD与两条抛物线围成的阴影部分的面积是　24　．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的判定与性质．
【专题】二次函数图象及其性质；多边形与平行四边形；几何直观；运算能力．
【答案】24．
【分析】依据题意，分别连接AB、CD，从而若点A，C的横坐标均为﹣2，点B，D的横坐标均为4，进而可得AC∥y轴∥BD，又上面的抛物线为yx2向下平移可得4个单位可得下面的抛物线yx2﹣4，从而AC＝BD＝4，可得四边形ACDB为平行四边形，结合平移的性质，从而阴影部分的面积为平行四边形ACDB的面积＝AC |xB﹣xA|＝4×（4+2）＝24，进而得解．
【解答】解：如图，分别连接AB、CD．
∵若点A，C的横坐标均为﹣2，点B，D的横坐标均为4，
∴AC∥y轴∥BD．
又∵上面的抛物线为yx2向下平移可得4个单位可得下面的抛物线yx2﹣4，
∴AC＝BD＝4．
∴四边形ACDB为平行四边形．
又由平移可得，
∴阴影部分的面积为平行四边形ACDB的面积＝AC |xB﹣xA|＝4×（4+2）＝24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用平移的思想解题是关键．
12．（2024秋 无锡期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在该图象上．有下列结论：①ab≥0；②m＝3a﹣2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间；④对于任意实数t，t（at+b）≥a+b恒成立；⑤点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在该图象上，当实数时，y1＜y2.其中，正确的是　②③④　.（填写正确的序号）
【考点】图象法求一元二次方程的近似根；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】②③④．
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，即可判断①；把B（0，﹣2），A（﹣1，m）和b＝﹣2a代入抛物解析式可对②选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对③进行判断；根据x＝1时，ymin＝a+b+c，则at2+bt+c≥a+b+c，来判断④；利用二次函数的增减性对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，故①错误；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴m＝3a﹣2，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，故③正确；
∵抛物线开口向上，
∴x＝1时，ymin＝a+b+c，
∴at2+bt+c≥a+b+c，
∴at2+bt≥a+b，
∴t（at+b）≥a+b，故④正确；
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当点P1，P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，
此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即，
∴当或t≥1时，y1＜y2，故⑤错误，
∴正确的有②③④，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
13．（2024秋 洪雅县期末）某圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y6，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 　10　m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】10．
【分析】根据已知易得：N点的坐标为（5，6）和M点的坐标为（﹣5，6），然后进行计算即可解答．
【解答】解：由二次函数y（x﹣5）2+6的图象可知，
当x＝5时，y＝6，
故N点的坐标为（5，6）；
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴M点的坐标为（﹣5，6），
∴MN之间的距离＝5﹣（﹣5）＝5+5＝10（m）．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（2024秋 城阳区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1．其中正确的是 　①③④　.（只填写序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】①③④．
【分析】根据抛物线图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点逐一判断各选项，即可得到结果．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴0，
∴b＜0，
∵y＝ax2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故结论①正确，符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴直线x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故结论②错误，不符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴直线x＝1，图象开口向上，
∴当x＝1时，y有最小值为a+b+c，
∵m为任意实数，
∴当x＝m时，y值为am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a+b+c，
∴am2+bm≥a+b，
∴m（am+b）≥a+b，
故结论③正确，符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴直线x＝1，图象与x轴的一个交点在2和3之间，
∴图象与x轴的一个交点在﹣1和0之间，
∴当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
故结论④正确，符合题意；
∵若bx1bx2，且x1≠x2，
∴，
∴x1+x2＝2，
故结论⑤错误，不符合题意，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
15．（2024秋 东莞市期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点A（0，6）、B（3，3）、C（4，6）．当y＞6时，x的取值范围为　x＜0或x＞4　．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】x＜0或x＞4．
【分析】根据图象即可直接得出答案．
【解答】解：由图象可知：当y＞6时，x＜0或x＞4，
故答案为：x＜0或x＞4．
【点评】本题考查了图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 黄浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+4x+c（c＞0）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，顶点为P，直线PC与x轴交于点D．
（1）用含c的代数式表示点P及点D的坐标；
（2）将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点P'落在线段PC的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且P'E⊥PP'．
①求该抛物线两次平移的方向和距离；
②点A在新抛物线上的对应点A'，如果DA'被y轴平分，求原抛物线的表达式．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】（1）顶点P的坐标为（2，4+c），点D的坐标为（﹣5，0）；（2）①该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位；②原抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3．
【分析】（1）化成顶点式，可求得顶点P的坐标为 （2，4+c），利用待定系数法求得直线PC的解析式，据此求解即可；
（2）①该抛物线向右平移m个单位，向上平移n个单位，则顶点p的坐标为（2+m，4+c+n），得到新抛物线的解析式为y'＝﹣（x﹣2﹣m）2+4+c+n，利用待定系数法求得直线P'P的解析式，推出直线P'P与直线PC重合，得到H＝2，由题意得到∠CP'E＝90°，利用勾股定理列式计算求得据此即可求解；
②根据题意求得点A'的坐标为，根据DA'被y轴平分，得到据此求解即可．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+4+c，
∴顶点P的坐标为（2，4+c），
当x＝0时，y＝c，
∴点C的坐标为（0，c），
设直线PC的解析式为y＝kx+c，
∴2k+c＝4+c，解得k＝2，
∴直线PC的解析式为y＝2x+c，
当y＝0时，0＝2x+c，
解得，
∴点D的坐标为（﹣5，0）；
（2）①该抛物线向右平移m个单位，向上平移n个单位，则顶点p的坐标为（2+m，4+c+n），
∴y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+4+c，
∴新抛物线的解析式为y'＝﹣（x﹣2﹣m）2+4+c+n，
当x＝0时，y'＝﹣m2﹣4m+c+n，
∴点E的坐标为（0，﹣m2﹣4m+c+n），
设直线P'P的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴直线P'P的解析式为，
顶点P'落在线段PC的延长线上，
∴直线P'P与直线PC重合，
∴，
∵P'E⊥P'P，
∴△CP'E是直角三角形，且∠CP'E＝90°，
∴CP2+EP2＝CE2，
∴CP2＝（2+m）2+（4+c+n﹣c）2＝（2+m）2+（4+2m）2，
EP2＝（2+m）2+（4+c+n+m2+4m﹣c﹣n）2＝（2+m）2+（m2+4m+4）2，
CE2＝（c+m2+4m﹣c﹣n）2＝（m2+4m﹣2m）2＝（m2+2m）2，
即（2+m）2+（4+2m）2+（2+m）2+（m2+4m+4）2＝（m2+2m）2，
解得，
∴n＝﹣5，
∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位；
②当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+4+c，
解得，
∵点A在点B的右侧，
∴点A的坐标为，
∴点A的坐标为，
又∵，且DA'被y轴平分，
∴，
∴，
解得c＝5或﹣3，
∵c＜0，
∴c＝﹣3，
∴原抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3．
【点评】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数平移后解析式的变化情况以及勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
17．（2024秋 庄河市期末）我们定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y＝x2﹣2x+3的“特征数”是[1，﹣2，3]，函数y＝2x﹣1的“特征数”是[0，2，﹣1]，函数y＝﹣2x的“特征数”是[0，﹣2，0]．
（1）若一个函数的特征数是[1，﹣6，2]，将此函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 　[1，﹣4，﹣1]　．
（2）将“特征数”是[0，，﹣1]的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 　y　．
（3）当“特征数”是[1，﹣2m，m2+1]的函数在直线x＝﹣2和直线x＝1之间的部分（包括边界点）的最低点的纵坐标为4时，求m的值．
（4）当特征数[1，b，c]满足1﹣b+c＝0时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．已知点B的坐标为（3，0），若在x轴上有一点P，使∠CPA＝2∠CBD，请直接写出点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】新定义；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）[1，﹣4，﹣1]；
（2）y；
（3）m＝﹣2或；
（4）P（5，0）或（﹣5，0）．
【分析】（1）根据定义写出二次函数的解析式并配方，再根据图象平移的特征得出结果；
（2）根据定义写出一次函数的解析式，再根据图象平移的特征得出结果；
（2）根据特征数写出抛物线的解析式并配方，分两种情形讨论：当m＜﹣2时，﹣2≤x≤1时，y随x的增大而增大，进而得出结果；当m＞1，﹣2≤x≤1时，y随x的增大而减小，同样得出结果；
（4）先证得∠ACO＝∠CBD，从而∠CPA＝2∠CBD＝2∠ACO，取F（1，0），从而得出∠ACF＝2∠ACO，进而得出△CAF∽△PCF，从而，进而得出PF的长，从而得出点P坐标，根据对称性得出另外一个结果．
【解答】解：（1）由题意得，
y＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，
则平移后的解析式为：y＝（x﹣3+1）2﹣7+2＝（x﹣2）2﹣5＝x2﹣4x﹣1，
∴其特征数是：[1，﹣4，﹣1]，
故答案为：[1，﹣4，﹣1]；
（2）∵“特征数”是[0，，﹣1]的函数是y1，
∴平移后的解析式为：y2，
故答案为：y；
（3）“特征数”是[1，﹣2m，m2+1]的函数为：y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，
当m＜﹣2时，﹣2≤x≤1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣2时，y最小＝4，
∴（﹣2﹣m）2+1＝4，
∴m＝﹣2或m＝﹣2（舍去），
当m＞1，﹣2≤x≤1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y最小＝4，
∴（1﹣m）2+1＝4，
∴m或m（舍去），
综上所述：m＝﹣2或；
（4）如图，
由题意得，
函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0）和（3，0），a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∴DE＝1，OE＝4，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
∴OC＝OB＝3，DE＝CE＝1，
∵∠BOC＝∠DEC＝90°，
∴∠BCO＝∠DCE＝45°，CD，
∴tan∠CBD，
∵tan∠ACO，
∴∠ACO＝∠CBD，
∴∠CPA＝2∠CBD＝2∠ACO，
取F（1，0），
∴OA＝OF，
∵OC⊥AF，
∴∠ACF＝2∠ACO，
∴∠CPA＝∠ACF，
∵∠AFC＝∠PFC，
∴△CAF∽△PCF，
∴，
∵AF＝2，CF，
∴，
∴PF＝5，
∴P（﹣5，0），
由对称性可知：P′（5，0）
∴P（5，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题在新定义的基础上，考查了二次函数及其图象的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
18．（2024秋 江北区期末）某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x 6，且x是接0.5元的整数倍上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天的销售利润为240元，求当天的销售单价；
（3）若每件文具的利润不超过4元，要想当天获得的利润最大，这种文具的销售单价应为多少？并求出最大利润．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣10x2+210x﹣800；
（2）当天的销售单价为8元或13元；
（3）这种文具的销售单价为9元时，有最大利润，最大利润为280元．
【分析】（1）销售利润＝每件文具的利润×（100﹣提升价格后减少的销售量），把相关数值代入整理即可；
（2）取y＝240，求得相应的x的值即可；
（3）易得抛物线的开口方向和对称轴，进而判断出x的取值范围，结合x的取值范围可得销售单价及最大利润．
【解答】解：（1）y＝（x﹣5）[100（x﹣6）]
＝（x﹣5）（160﹣10x）
＝﹣10x2+210x﹣800；
（2）﹣10x2+210x﹣800＝240，
整理得：x2﹣21x+104＝0，
（x﹣8）（x﹣13）＝0，
解得：x1＝8，x2＝13，
答：当天的销售单价为8元或13元；
（3）∵y＝﹣10x2+210x﹣800，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝10.5，
由题意得：，
解得：6≤x≤9，
∴当x＝9时，y最大，y最大＝（9﹣5）×（160﹣10×9）＝280（元）．
答：这种文具的销售单价为9元时，有最大利润，最大利润为280元．
【点评】本题考查二次函数的应用．得到销售量的关系式是解决本题的关键；易错点是根据抛物线的开口方向，对称轴结合自变量的取值范围得到二次函数的最值．
19．（2024秋 庄河市期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c（b、c是常数）的顶点坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）请在如图网格中画出抛物线的图象；
（3）若一次函数y1＝﹣x﹣3，当y1＞y时，直接写出x的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；一次函数的性质；二次函数的图象；二次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）函数图象见解析过程；
（3）0＜x＜1．
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）即可解决问题．
（2）根据题意画出抛物线的函数图象即可．
（3）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
因为抛物线y＝x2﹣bx+c（b、c是常数）的顶点坐标为（1，﹣4），
所以，
解得b＝2，
将（1，﹣4）代入y＝x2﹣2x+c得，
1﹣2+c＝﹣4，
解得c＝﹣3，
所以抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）函数图象如图所示，
（3）在同一个平面直角坐标系中画出函数y1＝﹣x﹣3的图象，
由x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣3得，
x1＝0，x2＝1．
由函数图象可知，
当0＜x＜1时，一次函数的图象在二次函数图象的上方，即y1＞y，
所以当y1＞y时，x的取值范围是：0＜x＜1．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象、一次函数的性质、二次函数的图象及二次函数的性质，熟知待定系数法及一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键．
20．（2024秋 江汉区期末）同学们在操场上进行铅球训练，小明尝试利用数学模型研究铅球的运动情况，其运动路径可看作抛物线的一部分，以地面水平方向为x轴，出手点与地面的垂线为y轴，单位长度为1m，建立了如图所示的平面直角坐标系．小明在投掷铅球时，铅球出手时铅球离地面的高度为1.6m，铅球落地时，离出手点的水平距离是8m，铅球运行的水平距离为3m时达到最大高度．
（1）求该铅球运行路径所在抛物线的表达式；
（2）当铅球距出手点的水平距离为4m时，求铅球距离地面的高度；
（3）小红在投掷铅球时，铅球出手时和落地时的位置与小明的相同，但小红投掷的铅球在距出手点水平距离为3.5m时达到最大高度．假设铅球运行的水平距离相同时，小红投掷铅球时铅球的所在位置与小明投掷铅球时铅球所在位置的高度差为△h，求△h的最大值及此时铅球运行的水平距离．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣0.1x2+0.6x+1.6；
（2）抛物线的表达式为y＝﹣0.1x2+0.6x+1.6；
（3）Δh的最大值为1.6m，此时铅球运行的水平距离为4m．
【分析】（1）根据题意可设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+1.6．由3可得，b＝﹣6a，将（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+1.6即可求解；
（2）将x＝4代入y＝﹣0.1x2+0.6x+1.6，即可求解；
（3）可设小红投掷铅球时，铅球运动轨迹所在抛物线的表达式为y'＝mx2+nx+1.6，根据题意求出y'＝﹣0.2x2+1.4x+1.6，再根据高度差为△h代入数据求解即可．
【解答】解：（1）铅球出手时铅球离地面的高度为1.6m，
可设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+1.6．由铅球运行的水平距离为3m时，铅球达到最大高度，3，
∴b＝﹣6a，
∴y＝ax2﹣6ax+1.6．将（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+1.6，
得64a﹣48a+1.6＝0，
解得 a＝﹣0.1，b＝0.6．
故抛物线的表达式为y＝﹣0.1x2+0.6x+1.6；
（2）将x＝4代入y＝﹣0.1x2+0.6x+1.6，
得y＝2.4．
即铅球距出手点的水平距离为4m时，铅球距离地面的高度为2.4m；
（3）根据题意可设小红投掷铅球时，铅球运动轨迹所在抛物线的表达式为y'＝mx2+nx+1.6，
由题意知，该抛物线的对称轴为直线x＝3.5，且该抛物线经过点（8，0），则3.5，n＝﹣7m，
y'＝mx2﹣7mx+1.6．将（8，0）代入 y'＝mx2﹣7mx+1.6，
得64m﹣56m+1.6＝0，
解得m＝﹣0.2，
∴y'＝﹣0.2x2+1.4x+1.6，
则 Δh＝y'﹣y ＝﹣0.2x2+1.4x+1.6﹣（﹣0.1x2+0.6x+1.6）＝﹣0.1x2+0.8x＝﹣0.1（x﹣4）2+1.6．
∵﹣0.1＜0，
当x＝4时，Δh 取最大值，最大值为1.6．
答：Δh的最大值为1.6m，此时铅球运行的水平距离为4m．
【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
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