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2025年中考数学二轮复习押题预测 概率
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 滨海新区校级期末）不透明的袋子中装有红球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 城阳区期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 天府新区期末）为了估计池塘里有多少条鱼，渔民先从池塘里捞出40条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回池塘，第二天再从池塘打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有标记的频率稳定在2%左右，则估计池塘中鱼的条数大约是（　　）
A．800 B．1200 C．2000 D．3000
4．（2024秋 太原期末）北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘（其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字）．现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡片上的字不相同的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 洛阳期末）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标记数字不同外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，记录小球上的数字后放回，试验结果如图所示，则数学课上进行的摸球试验最有可能是（　　）
A．摸出标记数字为偶数的小球
B．摸出标记数字比3大的小球
C．摸出标记数字比2小的小球
D．摸出标记数字为奇数的小球
6．（2024秋 永春县期末）在一个不透明的布袋中装有蓝色、白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在38%左右，则口袋中蓝色球个数最接近（　　）
A．9个 B．19个 C．25个 D．38个
7．（2024秋 礼县期末）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上（小正六边形的边长是大正六边形边长的），若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024秋 青羊区期末）一个不透明的盒子里有8个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其它完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，那么估计盒子中红球的个数是（　　）
A．24 B．30 C．32 D．40
9．（2024秋 雷州市期末）在化学课上：老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象及其变化类型制成除正面外完全相同的六张卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024秋 临平区期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．给出下列说法：
①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；
②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；
③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 沙坪坝区期末）以“考评”促教学，让“常态”更优质．某校数学备课组有2位男教师，1位女教师，评委小组从这3位数学教师中随机抽取2位，则抽到的2位都是男教师的概率是 　 　．
12．（2024秋 中卫期末）将﹣2，，，0，，0.5757757775…这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是　 　．
13．（2024秋 和平区校级期末）一个不透明袋子中装有除颜色外其余都相同的3个红球，2个黄球，1个蓝球，同时从中随机摸出两个球，这两个球颜色不同的概率是 　 　．
14．（2024秋 庄河市期末）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出1个小球，则恰好摸到红球的概率为 　 　．
15．（2024秋 滨海新区校级期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 丹阳市期末）为了解我国的数学文化，小明和小红从《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．
（1）小明抽取到《周髀算经》这本书的概率为 　 　；
（2）请用列表或画树状图的方法求小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的概率．
17．（2024秋 秦都区期末）每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义教育，在12月上旬开展了以“以国家之名 祭民族之魂”为主题的作文竞赛，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华．通过评比，九年级有2名女生和2名男生的作文被评为优秀作文，适合在班级中范读．
（1）若张老师从这4篇优秀作文中随机选取一篇作文给学生范读，则选中男生的作文的概率为 　 　；
（2）若张老师要从这4篇优秀作文中随机选取两篇作文给学生范读，请你用画树状图（或列表）的方法求恰好选中一名男生和一名女生的作文的概率．
18．（2024秋 东莞市期末）为落实国家“双减”政策，某中学开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有　 　人；
（2）条形统计图中m的值为　 　，扇形统计图中a的度数为　 　；
（3）根据调查结果，可估计该校3000名学生中最喜欢“音乐社团”的约有　 　人；
（4）现从“文学社团”里表现优秀甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
19．（2024秋 庄河市期末）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研、从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图：
（数据分成4组：6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）
b．初中部20名学生所评分数在8≤x＜9这一组的是：
8.0、8.1、8.2、8.2、8.4、8.5、8.6、8.7、8.8
c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
小学部 8.3 8.5
初中部 8.3 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是 　 　，表中的m值为 　 　；
（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．
①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数；
②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率．
20．（2024秋 博罗县期末）中国是“石头、剪刀、布”游戏的起源地，早在汉朝时期就开始流行这种手势的猜拳游戏．这个游戏古老而简单，其主要目的是为了解决争议．2024年，薛之谦巡回演唱会曲靖站1月13，14日在曲靖文化体育公园体育场进行，李丽和程飞都想去，但只有一张票，李丽和程飞用“石头、剪刀、布”的手势方式进行决策，谁赢谁去．游戏规则是“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负”．
（1）李丽和程飞两人同时出“石头”的概率是　 　；
（2）请用列表或画树状图的方法，判断这个游戏规则对李丽、程飞双方是否公平？请说明理由．
2025年中考数学二轮复习押题预测 概率
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C A C B C A C A
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 滨海新区校级期末）不透明的袋子中装有红球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】画树状图，共有6种等可能结果，其中两次都摸到白球的有2种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能结果，其中两次都摸到白球的有2种结果，
∴两次都摸到白球的概率为，
故答案为：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．（2024秋 城阳区期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】同时闭合S2、S3，灯泡会发光，根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，根据概率公式，即可解答．
【解答】解：根据题意列出表格如下：
S1 S2 S3
S1 （S1，S2） （S1，S3）
S2 （S2，S1） （S2，S3）
S3 （S3，S1） （S3，S2）
由表可知，应该有6种情况，能使灯泡发光的情况有2种，
∴能使灯泡发光的概率．
故选：A．
【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．（2024秋 天府新区期末）为了估计池塘里有多少条鱼，渔民先从池塘里捞出40条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回池塘，第二天再从池塘打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有标记的频率稳定在2%左右，则估计池塘中鱼的条数大约是（　　）
A．800 B．1200 C．2000 D．3000
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到2%，然后解方程即可．
【解答】解：设鱼塘中有鱼x条，
根据题意得：2%，
解得x＝2000，
经检验，x＝2000为原方程的解，
所以估计池塘中鱼的条数大约是2000条鱼．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
4．（2024秋 太原期末）北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘（其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字）．现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡片上的字不相同的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【答案】A
【分析】首先明确靶盘的布局，然后找出所有可能的投掷结果，并确定其中两次射中卡片上的字不相同的结果数，最后计算概率．
【解答】解：设正方形靶盘被分为四个相等的正方形区域，分别标记为“春1”，“春2”，“福1”，“福2”．
春1 春2 福1 福2
春1 春1春1 春2春1 福1春1 福2春1
春2 春1春2 春2春2 福1春2 福2春2
福1 春1福1 春2福1 福1福1 福2福1
福2 春1福2 春2福2 福1福2 福2福2
共有有16种等可能的情况，
射中“春”和“福”的组合有8种，即（春1，福1），（春1，福2），（春2，福1），（春2，福2），以及反向的（福1，春1），（福1，春2），（福2，春1），（福2，春2）．这8种情况满足条件．
满足条件的概率为：，
故选：A．
【点评】本题考查了列表法或画树状图求随机事件的概率，清晰地列出所有可能的情况，并准确找出满足条件的情况是解题的关键．
5．（2024秋 洛阳期末）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有分别标记了数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标记数字不同外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，记录小球上的数字后放回，试验结果如图所示，则数学课上进行的摸球试验最有可能是（　　）
A．摸出标记数字为偶数的小球
B．摸出标记数字比3大的小球
C．摸出标记数字比2小的小球
D．摸出标记数字为奇数的小球
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该数字的概率为0.2，再分别计算出各选项的概率即可得到答案．
【解答】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于0.20附近，所以估计此事件发生的概率约为0.2，
A、摸出标记数字为偶数的小球的概率为0.4，不符合题意；
B、摸出标记数字比3大的小球的概率为0.4，不符合题意；
C、摸出标记数字比2小的小球的概率为0.2，符合题意；
D、摸出标记数字为奇数的小球的概率为0.6，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大．
6．（2024秋 永春县期末）在一个不透明的布袋中装有蓝色、白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在38%左右，则口袋中蓝色球个数最接近（　　）
A．9个 B．19个 C．25个 D．38个
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用频率估计概率，用总个数乘以红球的百分比可得．
【解答】解：利用频率估计概率，可估计摸到蓝色球的概率为38%，
∴口袋中蓝色球个数最接近50×38%＝19（个）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
7．（2024秋 礼县期末）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上（小正六边形的边长是大正六边形边长的），若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】几何概率．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】由图示可看出，小等边三角形与大等边三角形是相似三角形，利用小等边三角形与大等边三角形的面积之比等于相似比的平方可得到小正六边形的面积等于大正六边形面积的四分之一，从而得出飞镖落在阴影区域的概率为四分之一．
【解答】解：由条件可知：
，
∵由A1B1∥AB，
∴△OA1B1∽△OAB，
∴，
∴阴影区域（小正六边形）的面积等于大正六边形面积的．
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查了几何概率，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
8．（2024秋 青羊区期末）一个不透明的盒子里有8个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其它完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，那么估计盒子中红球的个数是（　　）
A．24 B．30 C．32 D．40
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】设盒子中红球的个数为m个，根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为25%，然后根据概率公式计算m的值．
【解答】解：设盒子中红球的个数为m个，
根据题意得25%，
解得m＝24，
经检验，m＝24是分式方程的解，
所以估计盒子中红球的个数是24个．
故选：A．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
9．（2024秋 雷州市期末）在化学课上：老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象及其变化类型制成除正面外完全相同的六张卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是化学变化的有4种结果，
所以从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是．
故选：C．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）是解题的关键．
10．（2024秋 临平区期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．给出下列说法：
①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；
②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；
③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【考点】可能性的大小；随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据确定性事件与不确定性事件的概念及可能性大小的判定即可得出答案．
【解答】解：①由于箱子中没有黑球，所以从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件，原表述正确；
②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，原表述正确；
③由于箱子中红球个数大于白球，所以从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球，原表述正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查可能性的大小与随机事件，解题的关键是掌握确定性事件与不确定性事件的概念及可能性大小的判断．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 沙坪坝区期末）以“考评”促教学，让“常态”更优质．某校数学备课组有2位男教师，1位女教师，评委小组从这3位数学教师中随机抽取2位，则抽到的2位都是男教师的概率是 　　．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】．
【分析】画树状图，共有6种等可能出现的结果，其中抽取的2位都是男教师的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能出现的结果，其中抽取的2位都是男教师的结果有2种，
∴抽取的2位都是男教师的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，列表法与画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（2024秋 中卫期末）将﹣2，，，0，，0.5757757775…这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是　　．
【考点】概率公式；无理数．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】先根据无理数的定义得到取到无理数的有这2种结果，再根据概率公式即可求解．
【解答】解：4，任取一张，有6种等可能结果，其中取到无理数的有这2种结果，
所以取到有理数的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是概率公式，无理数，熟知如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概是解题的关键．
13．（2024秋 和平区校级期末）一个不透明袋子中装有除颜色外其余都相同的3个红球，2个黄球，1个蓝球，同时从中随机摸出两个球，这两个球颜色不同的概率是 　　．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】．
【分析】列出表格找出所有等可能的结果数，进而得出两次摸出颜色不同小球的情况数，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：列表格如下：
红1 红2 红3 黄1 黄2 蓝
红1 （红1，红2） （红1，红3） （红1，黄1） （红1，黄2） （红1，蓝）
红2 （红2，红1） （红2，红3） （红2，黄1） （红2，黄2） （红2，蓝）
红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，黄1） （红3，黄2） （红3，蓝）
黄1 （黄1，红1） （黄1，红2） （黄1，红3） （黄1，黄2） （黄1，蓝）
黄2 （黄2，红1） （黄2，红2） （黄2，红3） （黄2，黄1） （黄2，蓝）
蓝 （蓝，红1） （蓝，红2） （蓝，红3） （蓝，黄1） （蓝，黄2）
由表格可知总情况数为：30，
两个球颜色不同的情况数为：22，
∴P两个球颜色不同，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法或树状图求概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．
14．（2024秋 庄河市期末）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出1个小球，则恰好摸到红球的概率为 　　．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】直接利用概率公式计算即可．
【解答】解：∵袋子中有3个红球和1个黄球，共有4个小球，
∴随机从袋中摸出1个小球，则恰好摸到红球的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
15．（2024秋 滨海新区校级期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是 　　．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】/0.4
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，
∴从口袋中任意摸出一个球是红球的概率，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，利用概率计算公式，用红球的个数除以球的总个数，算出概率即可．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 丹阳市期末）为了解我国的数学文化，小明和小红从《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．
（1）小明抽取到《周髀算经》这本书的概率为 　　；
（2）请用列表或画树状图的方法求小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接用概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵一共有3本书，每本书被小明抽到的概率相同，
∴小明抽到《周髀算经》的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的结果有4种，
∴小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的概率．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（2024秋 秦都区期末）每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义教育，在12月上旬开展了以“以国家之名 祭民族之魂”为主题的作文竞赛，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华．通过评比，九年级有2名女生和2名男生的作文被评为优秀作文，适合在班级中范读．
（1）若张老师从这4篇优秀作文中随机选取一篇作文给学生范读，则选中男生的作文的概率为 　　；
（2）若张老师要从这4篇优秀作文中随机选取两篇作文给学生范读，请你用画树状图（或列表）的方法求恰好选中一名男生和一名女生的作文的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由概率公式计算即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的作文的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若张老师从这4篇优秀作文中随机选取一篇作文给学生范读，则选中男生的作文的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的作文的结果有8种，
∴恰好选中一名男生和一名女生的作文的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（2024秋 东莞市期末）为落实国家“双减”政策，某中学开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有　300　人；
（2）条形统计图中m的值为　55　，扇形统计图中a的度数为　90°　；
（3）根据调查结果，可估计该校3000名学生中最喜欢“音乐社团”的约有　500　人；
（4）现从“文学社团”里表现优秀甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；概率公式．
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）300；
（2）55，90°；
（3）500；
（4）．
【分析】（1）B的人数除以所占的比例求出总人数；
（2）总数减去其他组的人数求出m的值，360度乘以C组人数所占的比例求出圆心角的度数；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（4）画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
【解答】解：（1）120÷40%＝300（人），
∴参加问卷调查的学生共有300人，
故答案为：300；
（2）由题意得：m＝300﹣50﹣120﹣75＝55，，
故答案为：55；90°；
（3）（人），
∴估计该校3000名学生中最喜欢“音乐社团”的约有500人，
故答案为：500；
（4）根据题意可画树状图或列表如下：
共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，
故恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
19．（2024秋 庄河市期末）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研、从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图：
（数据分成4组：6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）
b．初中部20名学生所评分数在8≤x＜9这一组的是：
8.0、8.1、8.2、8.2、8.4、8.5、8.6、8.7、8.8
c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
小学部 8.3 8.5
初中部 8.3 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是 　8.3　，表中的m值为 　8.3　；
（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．
①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数；
②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数．
【答案】（1）8.3，8.3；
（2）①180人；②．
【分析】（1）根据平均数、中位数的定义和计算方法进行计算即可；
（2）①初中部20名学生所评分数不低于8.5分有4+5＝9人，占被调查人数的，估计总体400人中，评分不低于8.5的学生人数所占的百分比为，根据频率＝频数÷总数进行计算即可；
②用树状图表示从3人任取2人所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是（分），
将抽取的初中部的20名学生的评分从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 （分），
故答案为：8.3，8.3；
（2）①400180（人），
答：该校初中部共有400名学生中对课堂教学“非常满意”的学生人数大约有180人；
②从小明，小强，小琪三人中任意选择2人，所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中结果一致为“非常满意”的有2种，
所以从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率为．
【点评】本题考查列表法或树状图法，平均数、中位数，频率分布直方图以及扇形统计图，掌握频率＝频数÷总数是正确解答的关键．
20．（2024秋 博罗县期末）中国是“石头、剪刀、布”游戏的起源地，早在汉朝时期就开始流行这种手势的猜拳游戏．这个游戏古老而简单，其主要目的是为了解决争议．2024年，薛之谦巡回演唱会曲靖站1月13，14日在曲靖文化体育公园体育场进行，李丽和程飞都想去，但只有一张票，李丽和程飞用“石头、剪刀、布”的手势方式进行决策，谁赢谁去．游戏规则是“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负”．
（1）李丽和程飞两人同时出“石头”的概率是　　；
（2）请用列表或画树状图的方法，判断这个游戏规则对李丽、程飞双方是否公平？请说明理由．
【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）；
（2）公平，理由见解析．
【分析】（1）依据题意用列表法或画树状图法分析所有可能的出现结果；
（2）根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．
【解答】解：（1）用列表法得出所有可能的结果如下：
李丽 程飞
石头 剪子 布
石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子） （布，布）
两人同时出“石头”的概率是：，
故答案为：；
（2）裁判员的这种作法对双方是公平的；理由如下：
根据表格得，P（李丽获胜），P（程飞获胜）．
∵P（李丽获胜）＝P（程飞获胜），
∴裁判员这种作法对双方是公平的．
【点评】本题考查了游戏公平性，列表法与树状图法，概率公式，解题的关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率．
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