资源简介

2025年中考数学二轮复习押题预测 锐角三角函数
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 本溪期末）一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝20°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角度数为（　　）
A．160° B．120° C．110° D．90°
2．（2024秋 莱阳市期末）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A．点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°．则检查点B和C之间的距离为（　　）
A．千米 B．千米
C．千米 D．4.5千米
3．（2024秋 黔江区期末）如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　）
A． B．5m C． D．
4．（2024秋 黔江区期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10．则AC的长度是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2025 浦东新区一模）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在4×4的网格中，点A、B、C都在格点上，那么∠BAC的正切值是（　　）
A． B． C．2 D．
6．（2024秋 红花岗区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，那么下列等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 揭阳期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2024秋 莱阳市期末）如图，方格纸中小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，那么sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024秋 义乌市期末）一辆卡车沿倾斜角为30°的斜坡向上行驶100m，则卡车水平方向所经过的距离为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024秋 永康市期末）如图，教室内的地面上有个倾倒的畚箕，手柄BC⊥AB，∠BCA＝α，小天将畚箕绕点A按顺时针方向旋转后平放在地面，则B′C的长可表示为（　　）
A． B．
C．BC （cosα+tanα） D．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 雁塔区校级期末）如图，一个山坡的坡度，则坡角α的度数为　 　．
12．（2024秋 顺庆区期末）三角形在几何学中有着举足轻重的地位，其研究历史可以追溯到古代，人们为了测量天体位置制定天文历法，在农业生产上为了丈量土地大小，发展了最初解决三角形问题的理论和方法．请根据所学知识解决下面问题：如图，在△ABC中，∠C＝45°，2∠A＝∠C，，则△ABC的面积为 　 　．
13．（2024秋 莱阳市期末）如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树CD的高度．在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A、D、B三点在同一直线上，若米，则这棵树CD的高度是 　 　米．
14．（2024秋 城阳区期末）在△ABC中，若AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝　 　．
15．（2024秋 秦都区期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，点M是AD边上一点，连接CM，以CM为边向右作等边△CMN，连接BN，则BN的最小值为 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 雁塔区校级期末）如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡上有一棵山楂树，他想测量一下山楂树顶到山脚下的垂直距离，即点E到BC所在直线的距离，方案及测量报告如下：
测量对象 山楂树
测量工具 平面镜、皮尺、测倾器
测量方案 ①身高1.5米小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到山楂树顶点E，并测量BC＝3米； ②测量平面镜至山脚下的距离CD＝14米； ③小华又站在D处，利用测倾器测得山楂树顶的仰角∠EFN＝72°．
测量示意图
请根据以上测量报告中的数据，帮助小华求出山楂树顶到山脚下的垂直距离．（结果保留整数，参考数据：tan72°≈3.1，sin72°≈0.9，cos72°≈0.3）
17．（2024秋 雁塔区校级期末）如图，在△ABC，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝15，cos∠BCD．
（1）求△BCD的面积；
（2）求∠ACB的正切值．
18．（2024秋 沙坪坝区校级期末）在某城市里，同一平面内的五处饭店间的道路分布如图所示，经测量，点B，C均在点D的正西方向且米，点E在点D的正北方向，且DE＝300米，点A在点E的北偏西30°方向且米，点A在点B的东北方向．（参考数据：，）
（1）求道路AB的长度（结果保留根号）；
（2）若外卖员甲从点A出发沿A﹣B﹣C的路径去点C，与此同时外卖员乙从点E出发，沿E﹣A﹣C的路径去点C，在两人速度相同的情况下谁先到达点C？请通过计算说明．
19．（2024秋 海曙区期末）如图，建筑物AB垂直于地面，测角机器人在C点测得建筑物顶端A的仰角为35°，向前走9米到D点，测得建筑物顶端A的仰角为45°．求该建筑物AB的高度（结果精确到米）．（参考数据：tan35°≈0.70，cos35°≈0.82，sin35°≈0.57）
20．（2024秋 高新区校级期末）日常生活中我们经常会使用到订书机．MN是订书机的底座，AB是装订书针的托板，始终与底座平行，连接杆DE的长度不变，点D固定在压柄BC上，点E沿托板AB滑动，压柄BC可绕着转点B旋转．如图1，是订书机未装订书针闭合时的示意图，此时点A、E、D、B在一条直线上，且点A与点E重合，DE＝10cm，BD＝2.5cm；如图2．当压柄BC旋转到与托板AB的夹角∠ABC＝127°时，求这个过程中点E滑动的距离，并判断是否能放入一排长度为3cm的订书针．（答案保留根号，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
2025年中考数学二轮复习押题预测 锐角三角函数
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B D A B C D B
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 本溪期末）一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝20°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角度数为（　　）
A．160° B．120° C．110° D．90°
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得到∠3＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠α+∠1＝90°，求得∠2＝∠1＝90°﹣20°＝70°，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，
由题意可得：
∠3＝90°，
∵重力G的方向竖直向下，
∴∠α+∠1＝90°，
∴∠2＝∠1＝90°﹣20°＝70°，
∵摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠β+∠2＝180°，
∴∠β＝180°﹣∠2＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，正确进行计算是解题关键．
2．（2024秋 莱阳市期末）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A．点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°．则检查点B和C之间的距离为（　　）
A．千米 B．千米
C．千米 D．4.5千米
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，如图，根据方向角的定义和平角的定义可计算出∠BAC＝75°，再计算出∠CAH＝30°，接着在Rt△ABH中利用等腰直角三角形的性质计算出AH＝BH＝3km，然后在Rt△ACH中利用∠CAH＝30°计算出CHkm，最后计算BH+CH即可．
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H点，如图，
∵点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣25°＝75°，
∵∠ABC＝90°，∠AHB＝90°，
∴∠BAH＝45°，
∴∠CAH＝∠BAC﹣∠BAH＝75°﹣45°＝30°，
在Rt△ABH中，∵∠B＝45°，
∴AH＝BHAB33（km），
在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°，
∴CHAH3（km），
∴BC＝BH+CH＝（3）km．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角，然后运用解直角三角形解决问题．
3．（2024秋 黔江区期末）如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　）
A． B．5m C． D．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】D
【分析】过点B作BC⊥AC，垂足为C，根据题意可得，AB＝10m，设BC＝x m，则AC＝2x m，由勾股定理AB2＝AC2+BC2，列方程即可求解．
【解答】解：过点B作BC⊥AC，垂足为C，
根据题意得：，AB＝10m，
∴设BC＝x m，则AC＝2x m，
由勾股定理AB2＝AC2+BC2，
得：102＝（2x）2+x2，
解得：（负值已舍去），
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
4．（2024秋 黔江区期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10．则AC的长度是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【考点】解直角三角形；含30度角的直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】在Rt△ABC中，借助与∠B的正弦值及AB的长即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
sinB．
∵∠B＝30°，AB＝10，
∴，
∴AC＝5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形及含30度角的直角三角形，熟知正弦的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．（2025 浦东新区一模）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在4×4的网格中，点A、B、C都在格点上，那么∠BAC的正切值是（　　）
A． B． C．2 D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据所给网格，连接BC得出BC与AC垂直，再结合正切的定义即可解决问题．
【解答】解：连接BC，如图所示，
则BC⊥AC．
令小正方形网格的边长为a，
则由勾股定理得，
BC；
AC．
在Rt△ABC中，
tan∠BAC．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，通过连接BC构造出直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键．
6．（2024秋 红花岗区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，那么下列等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出AB，再根据正弦、余弦和正切的定义计算即可判断求解．
【解答】解：如图所示Rt△ABC，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
∴，
，
，
，
∴选项A正确，选项B、C、D错误，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形函数，掌握正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．
7．（2024秋 揭阳期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数的关系．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意设BC＝4x，AB＝5x，根据勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：由条件可知，
设BC＝4x，AB＝5x，
，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键．
8．（2024秋 莱阳市期末）如图，方格纸中小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，那么sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】连接BM，根据格点得出BM⊥AC，再分别求出BM及AB的长，最后利用正弦的定义即可解决问题．
【解答】解：连接BM，
则BM⊥AC．
因为小正方形的边长为1，
所以AB，
BM．
在Rt△ABM中，
sinA．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，能通过连接BM构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．
9．（2024秋 义乌市期末）一辆卡车沿倾斜角为30°的斜坡向上行驶100m，则卡车水平方向所经过的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】过点B作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答．
【解答】解：如图：过点B作BC⊥AC，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝100m，
∴AC＝AB cos30°＝10050（m），
∴卡车水平方向所经过的距离为50m，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（2024秋 永康市期末）如图，教室内的地面上有个倾倒的畚箕，手柄BC⊥AB，∠BCA＝α，小天将畚箕绕点A按顺时针方向旋转后平放在地面，则B′C的长可表示为（　　）
A． B．
C．BC （cosα+tanα） D．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据垂直定义可得：∠ABC＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC和AB的长，再利用旋转的性质可得：AB′＝AB＝BC tanα，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，∠BCA＝α，
∴AC，AB＝BC tanα，
由旋转得：AB′＝AB＝BC tanα，
∴B′C＝AC+AB′BC tanα＝BC （tanα），
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 雁塔区校级期末）如图，一个山坡的坡度，则坡角α的度数为　30°　．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】30°．
【分析】根据坡度＝坡角的正切值计算即可．
【解答】解：根据坡度＝坡角的正切值计算如下：
由题意得，
∴∠α＝30°
故答案为：30°．
【点评】本题考查了坡度的定义，特殊角的三角函数值，掌握坡度＝坡角的正切值是解题关键．
12．（2024秋 顺庆区期末）三角形在几何学中有着举足轻重的地位，其研究历史可以追溯到古代，人们为了测量天体位置制定天文历法，在农业生产上为了丈量土地大小，发展了最初解决三角形问题的理论和方法．请根据所学知识解决下面问题：如图，在△ABC中，∠C＝45°，2∠A＝∠C，，则△ABC的面积为 　　．
【考点】解直角三角形的应用；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】．
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，在DA上截取DE＝CD＝a，连接BE，则△BCD，△BDE都是等腰直角三角形，则CD＝BD＝DE＝a，BE，证明∠EBA＝∠A＝22.5°得BE＝AE，则AD，AC，在Rt△ABD中，由勾股定理得，进而可得△ABC的面积．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，在DA上截取DE＝CD＝a，连接BE，如图所示：
∵∠C＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝a，
∴CD＝DE＝BD＝a，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠BED＝45°，
由勾股定理得：BE，
∵2∠A＝∠C，∠C＝45°，
∴∠A＝22.5°，
∵∠BED＝∠A+∠EBA，
∴45°＝22.5°+∠EBA，
∴∠EBA＝∠A＝22.5°，
∴BE＝AE，
∴AD＝DE+AE，AC＝BD+DE+AE，
在Rt△ABD中，AB，
由勾股定理得：BD2+AD2＝AB2，
∴，
解得：，
∴S△ABCAC BD．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
13．（2024秋 莱阳市期末）如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树CD的高度．在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A、D、B三点在同一直线上，若米，则这棵树CD的高度是 　8　米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】8．
【分析】根据题意可得：CD⊥AB，从而可得∠CDA＝∠CDB＝90°，然后设AD＝x米，则BD＝（88﹣x）米，分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
设AD＝x米，
∵米，
∴BD＝AB﹣AD＝（88﹣x）米，
在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD tan45°＝x（米），
在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，
∴CD＝BD tan60°（88﹣x）米，
∴x（88﹣x），
解得：x＝8，
∴CD＝8米，
∴这棵树CD的高度是8米，
故答案为：8．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（2024秋 城阳区期末）在△ABC中，若AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝　或　．
【考点】解直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理先求出BD的长，CD＝BC﹣BD，再根据三角函数的知识求出tanC的值．本题有两种情况，若高AD在△ABC内部，若高AD在△ABC外部．
【解答】解：如图所示：
BD3，
若高AD在△ABC内部，
CD＝BC﹣BD＝10，
∴tanC．
若高AD在△ABC外部，
CD＝BC+BD＝16，
tanC．
【点评】本题考查了分类讨论的数学思想及三角函数的定义．
15．（2024秋 秦都区期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，点M是AD边上一点，连接CM，以CM为边向右作等边△CMN，连接BN，则BN的最小值为 　1　．
【考点】解直角三角形；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；矩形的性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】以CD为边向右作等边△CDE，连接EN，利用SAS可证得△MCD≌△NCE，于是可得∠NEC＝∠MDC＝90°，则点N在射线EN上运动，过B作BN′⊥EN于N′，由垂线段最短可知，此时BN最小，最小值为BN′的长，延长BC交NE延长线于F，可得∠ECF＝∠FBN′＝30°，然后通过解直角三角形即可求出BN′的长．
【解答】解：由等边三角形可知∠MCN＝60°，CM＝CN，
∴CD＝AB＝1，BC＝AD＝2，∠ADC＝90°，
如图，以CD为边向右作等边△CDE，连接EN，
则∠MCN＝∠DCE＝60°，CE＝CD＝1，
∴∠MCD＝∠NCE＝60°﹣∠DCN，
又∵CM＝CN，
∴△MCD≌△NCE（SAS），
∴∠NEC＝∠MDC＝90°，
∴点N在射线EN上运动，
如图，过B作BN′⊥EN于N′，由垂线段最短可知，此时BN最小，最小值为BN′的长，
延长BC交NE延长线于F，
∴CE∥BN′，
∴∠FBN′＝∠ECF＝90°﹣∠DCE＝30°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，同位角相等两直线平行，解直角三角形的相关计算等知识点，得出点N的运动路线是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 雁塔区校级期末）如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡上有一棵山楂树，他想测量一下山楂树顶到山脚下的垂直距离，即点E到BC所在直线的距离，方案及测量报告如下：
测量对象 山楂树
测量工具 平面镜、皮尺、测倾器
测量方案 ①身高1.5米小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到山楂树顶点E，并测量BC＝3米； ②测量平面镜至山脚下的距离CD＝14米； ③小华又站在D处，利用测倾器测得山楂树顶的仰角∠EFN＝72°．
测量示意图
请根据以上测量报告中的数据，帮助小华求出山楂树顶到山脚下的垂直距离．（结果保留整数，参考数据：tan72°≈3.1，sin72°≈0.9，cos72°≈0.3）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】8米．
【分析】过点E作EM⊥BD交BD延长线于点M，交直线FN于点P，容易证出四边形DMPF是矩形，则有DM＝FP，PM＝FD＝1.5米，再利用正切的定义可得，设DM＝FP＝x米，表示出EM、MC的长，再证得△ABC∽△EMC，得到，解出x的值，得到EM的长即可解答．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥BD交BD延长线于点M，交直线FN于点P，
∵EM⊥BD，FD⊥BD，
∴∠FDM＝∠DMP＝90°，
∵FP∥DM，
∴∠FPE＝∠DMP＝90°，
∴∠FPM＝90°，
∴四边形DMPF是矩形，
∴DM＝FP，PM＝FD＝1.5米，
在Rt△EPF中，，
∴EP＝FP tan72°≈3.1FP，
设DM＝FP＝x米，则EP＝3.1x米，
∴EM＝EP+PM＝（3.1x+1.5）米，MC＝CD+DM＝（14+x）米，
由题意得，∠ACB＝∠ECM，∠B＝90°，
∴∠B＝∠EMC＝90°，
∴△ABC∽△EMC，
∴，即，
解得：，
∴（米），
∴山楂树顶到山脚下的垂直距离为8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
17．（2024秋 雁塔区校级期末）如图，在△ABC，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝15，cos∠BCD．
（1）求△BCD的面积；
（2）求∠ACB的正切值．
【考点】解直角三角形；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）；
（2）6．
【分析】（1）设CE＝4x，DE⊥BC，所以CD＝5x，DE＝3x，由CD＝15可求出x＝3，从而可求出答案；
（2）过点A作AF⊥BC于点F，由于D是AB的中点，所以DE是△ABF的中位线，从而可求出AF＝BF＝18，再求出CF＝3即可求出∠ACB的正切值．
【解答】解：（1）设EC＝4x，DE⊥BC，
∵，
∴，
∴CD＝5x，DE＝3x，
∵CD＝15，
∴x＝3，
∴CE＝12，
∵∠B＝45°，
∴DE＝BE＝3x＝9，
∴BC＝BE+CE＝7x＝21，
；
（2）过点A作AF⊥BC于点F，
∴DE∥AF，
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴AF＝2DE，BF＝2BE，
由（1）可知：DE＝BE＝9，
∴AF＝18，BF＝18，
∴CF＝BC﹣BF＝3，
∴．
【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积，解题的关键是求出DE，CE的长度．
18．（2024秋 沙坪坝区校级期末）在某城市里，同一平面内的五处饭店间的道路分布如图所示，经测量，点B，C均在点D的正西方向且米，点E在点D的正北方向，且DE＝300米，点A在点E的北偏西30°方向且米，点A在点B的东北方向．（参考数据：，）
（1）求道路AB的长度（结果保留根号）；
（2）若外卖员甲从点A出发沿A﹣B﹣C的路径去点C，与此同时外卖员乙从点E出发，沿E﹣A﹣C的路径去点C，在两人速度相同的情况下谁先到达点C？请通过计算说明．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）道路AB的长度为600米；
（2）外卖员乙先到．
【分析】（1）过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AG⊥DE，交DE的延长线于G，如图所示：根据矩形的性质得到AF＝DG，DF＝AG，解直角三角形即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到AG＝AE sin30°＝200100（米），求得DF＝100米，根据等腰直角三角形性质得到BF＝AF＝600米，根据勾股定理得到AC400，CE600（米），求得甲的路程＝AB+BC＝600600﹣2001102（米），乙的路程＝AE+AC＝2004006001039（米），比较即可得到结论．
【解答】解：（1）过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AG⊥DE，交DE的延长线于G，如图所示：
则四边形AFDG是矩形，
∴AF＝DG，DF＝AG，
在Rt△AEG中，∠AEG＝30°，AE＝200米，
∴EG＝AE cos30°＝200300（米），
∴AF＝CG＝EG+DE＝300+300＝600（米），
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°﹣45°＝45°，
AB600（米），
即道路AB的长度为600米；
（2）在Rt△AEG中，∠AEG＝30°，AE＝200米，
∴AG＝AE sin30°＝200100（米），
∴DF＝100米，
在Rt△ABF中，∠BAF＝∠ABF＝45°，
∴BF＝AF＝600米，
∴CF＝CD﹣DF＝CD﹣AG＝300100200，
∴AC400，
在Rt△CDE中，CE600（米），
CF＝CD﹣DF＝CD﹣AG＝300100200（米），
∴BC＝BD﹣CD＝BF+DF﹣CD＝600+100300（600﹣200）米，
∴甲的路程＝AB+BC＝600600﹣2001102（米），
乙的路程＝AE+AC＝2004006001039（米），
∵1102＞1039，
∴外卖员乙先到．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．（2024秋 海曙区期末）如图，建筑物AB垂直于地面，测角机器人在C点测得建筑物顶端A的仰角为35°，向前走9米到D点，测得建筑物顶端A的仰角为45°．求该建筑物AB的高度（结果精确到米）．（参考数据：tan35°≈0.70，cos35°≈0.82，sin35°≈0.57）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】该建筑物AB的高度约为21米．
【分析】设BD＝x米，则BC＝（x+9）米，然后分别在Rt△ACB和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：设BD＝x米，
∵CD＝9米，
∴BC＝CD+BD＝（x+9）米，
在Rt△ACB中，∠C＝35°，
∴AB＝BC tan35°≈0.7（x+9）米，
在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴AB＝BD tan45°＝x（米），
∴x＝0.7（x+9），
解得：x＝21，
∴AB＝21米，
∴该建筑物AB的高度约为21米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（2024秋 高新区校级期末）日常生活中我们经常会使用到订书机．MN是订书机的底座，AB是装订书针的托板，始终与底座平行，连接杆DE的长度不变，点D固定在压柄BC上，点E沿托板AB滑动，压柄BC可绕着转点B旋转．如图1，是订书机未装订书针闭合时的示意图，此时点A、E、D、B在一条直线上，且点A与点E重合，DE＝10cm，BD＝2.5cm；如图2．当压柄BC旋转到与托板AB的夹角∠ABC＝127°时，求这个过程中点E滑动的距离，并判断是否能放入一排长度为3cm的订书针．（答案保留根号，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】数形结合；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】AE＝14﹣4cm，能放入一排长度为3cm的订书针．
【分析】作DM⊥AB于点M，则∠AMD＝90°，易得∠DBM＝53°，根据53°的正弦值可得DM的长，53°的余弦值可得BM的长，进而根据勾股定理可得EM的长，进而可得BE的长，易得AB＝DE+BD，减去BE的长，即为AE的长，与3比较后可得到是否能放入一排长度为3cm的订书针．
【解答】解：作DM⊥AB于点M，则∠AMD＝90°，
∵∠ABC＝127°，
∴∠DBM＝53°，
∵BD＝2.5cm，
∴DM＝BD sin53°＝2.5×0.8＝2（cm），
BM＝BD cos53°＝2.5×0.6＝1.5（cm），
∵DE＝10cm，
∴AB＝10+2.5＝12.5（cm），
EM4（cm），
∴BE＝EM﹣BM＝（41.5）cm，
∴AE＝AB﹣BE＝12.5﹣（41.5）＝（14﹣4）cm，
∵14﹣43＝11﹣40．
∴14﹣43，
∴能放入一排长度为3cm的订书针．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所给三角函数的角度整理到直角三角形中是解决本题的关键．
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