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(共18张PPT)
1.1 多项式的因式分解
第一章 因式分解
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
因式与因式分解
因式分解与多项式的乘法的关系
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
知1－讲
感悟新知
知识点
因式与因式分解
1
1. 因式： 一 般 地，对 于 多 项 式 f 与 g，如 果 有 多 项 式 h 使 得f=gh，那 么 把 g 叫 作 f 的 一 个 因 式 . 此 时， h 也 是 f 的 一 个因式 .
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2.因式分解： 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式 .
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特别解读
1. 因式分解的对象是多项式，结果是整式的积.
2. 因式分解是恒等变形，形式改变但值不变.
3. 因 式 分 解 必 须 分解到每个因式不能再分解为止.
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[母题 教材 P2 例 1] 填空：
因为(a+2)(a－4)=__________ ，所以 _________=(a+2)(a－4)是多项式___________ 的因式分解 .
例1
a2－2a－8
a2－2a－8
a2－2a－8
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解：(a+2)(a － 4)
= a2－ 4a+2a － 8
=a2－2a－8.
解题秘方：紧扣因式分解的定义，利用整式的乘法法则计算即可 .
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1-1.因为(x+4)(x+1) =_________，所以 __________=( x+4)(x+1)是多项式___________的因式分解 .
x2＋5x＋4
x2＋5x＋4
x2＋5x＋4
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知2－讲
知识点
因式分解与多项式的乘法的关系
2
1. 多项式的因式分解是把一个多项式化成几个多项式的乘积，而多项式的乘法运算是把几个多项式的乘积化成一个多项式， 是互逆的变形过程，即多项式多项式的乘积 .
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2. 可以利用多项式的乘法检验因式分解的结果的正确性 .
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特别提醒
判断一个多项式的变形是不是因式分解，要“两看” ： 一看 “形式”，看结果是不是乘积形式，积中每一个因式是不是整式；
二看“实质”，看等号的 左 右 两 边 是 否 相
等.若两者均满足，则是因式分解；否则不是因式分解.
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知2－练
[母题 教材 P3 例 2] 下列各式从左到右的变形是因式分解吗？若是，请说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可 .
(1)24x2y=4x· 6xy； (2)(x+5)(x － 5)=x2 － 25；
(3)x2+2x－3=(x+3)(x－1)； (4)9x2 － 6x+1=3x(3x－2)+1；
(5)x2+1=x(x+ )； (6)3xn+2+27xn=3xn (x2+9).
例2
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解题秘方：紧扣因式分解与多项式的乘法的关系，关键是看等式左右的形式及左右的式子是否相等 .
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解：(1)不是因式分解 . 理由：等式左边是单项式 .
(2)不是因式分解 . 理由：它是整式的乘法 .
(3)是因式分解 .
理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且(x+3)(x－1) = x2+2x－3 ，因而符合因式分解的定义 . x2+2x－3的因式为 x+3和 x － 1.
知2－练
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(4)不是因式分解 .
理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式 .
(5)不是因式分解 . 理由：等式右边不是整式 .
(6)是因式分解 .
理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且3xn (x2+9)= 3xn+2+27xn，因而符合因式分解的定义 . 3xn+2+27xn的因式为3xn和 x2+9.
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2-1.下列各式从左到右的变形是因式分解吗？若是，请说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可 .
(1)a(a+2b) =a2+2ab；
(2)bx－bx2=bx(1－x)；
(3)x2+4x+3=x(x+4)+3；
(4)24a2bc=23· a2· 3bc.
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解：(1)不是因式分解．理由：它是整式的乘法．
(2)是因式分解．理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且bx(1－x)＝bx－bx2，因而符合因式分解的定义．bx－bx2的因式为bx和1－x.
(3)不是因式分解．理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式．
(4)不是因式分解．理由：等式左边是单项式．
多项式的因式分解
互逆
变形
因式
分解
多项式的乘法(共29张PPT)
1.3 公式法
第一章 因式分解
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
利用平方差公式因式分解
利用完全平方公式因式分解
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
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知识点
利用平方差公式因式分解
1
1.公式法：把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法 .
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2.平方差公式法:两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即 a2－b2=( a+b)(a－b).
知1－讲
a， b可以是单项式
也可以是多项式.
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3.运用平方差公式因式分解的步骤：
一判： 根据平方差公式的特点，判断是不是平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项交换放在后面 .
二定： 确定公式中的 a 和 b，除 a 和 b 是单独一个数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体 .
三套： 套用平方差公式进行因式分解 .
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知1－讲
特别解读
1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式的逆用.
2.能用平方差公式分解因式的多项式的特点:系数是平方，指数要成双，减号在中央.
知1－练
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[母题 教材 P11 练习 T1] 因式分解：
(1) 4x2－25y2； (2)(a+2) 2－1；
(3) － +x4； (4) 16(a－b) 2－25(a+b) 2.
例1
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解： (1) 4x2－25y2 =(2x) 2－(5y) 2
=(2x+5y)(2x－5y) .
(2)(a+2) 2－1 =(a+2+1)(a+2－1)
=(a+3)(a+1) .
解题秘方：先确定平方差公式中的“ a”“ b”，再运用平方差公式因式分解 .
知1－练
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(3) － +x4 =x 4－
=(x 2+ )(x 2－) =(x 2+ )(x+ )(x－) .
(4) 16(a－b) 2－25(a+b) 2 =［4(a－b) +5(a+b)］［4(a－b) － 5(a+b)］
=(4a－4b+5a+5b)(4a－4b－5a－5b)
=(9a+b)(－a－9b) =－(9a+b)(a+9b) .
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1-1. [ 月考·益阳 ] 下列各式能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. －x2－2y2 B. －x2+1
C. x2+1 D. x2+4x+4
B
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1-2.把下列多项式因式分解：
(1)25－16x2；
(2) 16x4－y4；
解：原式＝52－(4x)2＝(5－4x)(5＋4x)．
原式＝(4x2＋y2)(4x2－y2)＝(4x2＋y2)(2x＋y)(2x－y)．
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(3) 1－81b4；
(4)49a2b2－9(a+b) 2.
原式＝(1＋9b2)(1－9b2)
＝(1＋9b2)(1＋3b)(1－3b)．
原式＝(7ab)2－[3(a＋b)]2＝[7ab＋3(a＋b)]
[7ab－3(a＋b)]＝(7ab＋3a＋3b)(7ab－3a－3b)．
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知识点
利用完全平方公式因式分解
2
1. 完全平方公式法：两 个 数 的 平 方 和 加 上(或 减 去)这 两 个数 的 积 的 2 倍，等 于 这 两 个 数 的 和(或 差)的 平 方，即a2± 2ab+b2=( a± b) 2.
能用完全平方公式因式分解的多项式的特点：
(1)多项式是二次三项式；
(2)首 末 两 项 是两 个 数(或式 子)的 平 方 且 符 号 相 同，中 间项 是 这 两 个 数(或 式 子)的 积 的 2 倍，符 号 可 以 是“ +”，也可以是“ -” .
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2. 因式分解的一般步骤：
知2－讲
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特别解读
1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式的逆用.
2.结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项的符号可以是 “+”，也可以是“-”，而两个平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式进行因式分解.
3.用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解.
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[母题 教材 P13 习题 T2] 因式分解：
(1) x2 － 14x+49； (2)－6ab－9a2－b2；
(3)3ax2+6axy+3ay2； (4) x4－8x2y2+16y4；
(5)(x2+6x) 2+18(x2+6x) +81.
例2
知2－练
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解题秘方：先确定完全平方公式中的“ a”“ b”，再运用完全平方公式因式分解 .
解： (1)原式 =x2－2· x· 7+7 2=(x－7) 2.
(2)原式=－(9a2+6ab+b2)
=－［(3a) 2+2· 3a· b+b2］
=－(3a+b)2.
当首项系数为负数时，
一般要提出负号，这时
括号内多项式的各项都
要变号.
知2－练
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(3)原式 =3a(x 2+2xy+y 2) =3a(x+y) 2.
(4)原式 =(x 2) 2－ 2· x 2· 4 y 2+(4y 2) 2
=(x 2－ 4 y 2) 2
=［(x+2y)(x－2y)］ 2
=(x+2y） (2 x－2y) 2.
(5)原式 =(x 2+6x) 2+2·(x 2+6x)· 9+9 2
=(x 2+6x+9) 2
=(x+3) 4.
完全平方公式可以连续使用，
因式分解的结果要彻底.
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2-1.若 多 项 式 4a2+1加上一个单项式以后，能够进行因式分解，则这个单项式不可能是( )
A. 4a4 B. 5a2
C. －5a2 D. －4a
B
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2-2.把下列各式分解因式：
(1) －9x3+6x2－x；
(2) x4－2x2y2+y4；
解：原式＝－x(9x2－6x＋1)＝－x(3x－1)2.
原式＝(x2－y2)2＝(x＋y)2(x－y)2.
知2－练
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(3) (x2+4) 2－16x2；
(4) (a2－6) 2－6(a2－6) +9.
原式＝(x2＋4)2－(4x)2＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x)＝(x＋2)2(x－2)2.
原式＝(a2－6－3)2＝(a2－9)2＝(a＋3)2·(a－3)2.
知2－练
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若多项式 9x2+kxy+4y2 能用完全平方公式进行因式分解，求 k 的值 .
例3
解：因为 9x2+kxy+4y2 =(3x) 2+kxy+(2y) 2，
所以 kxy=± 2· 3x· 2y=± 12xy，所以 k=± 12.
解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值 .
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3-1.若 x2+(m－3) x+4能用完全平方公式进行因式分解，则常数m 的值为( )
A.1 或 5 B.7 或 －1
C.5 D.1
B
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3-2.若有理数 m 使得二 次 三 项 式 x2+mx+16能用完全平方公式因式分解，则 m= ________.
±8
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[母题 教材 P13 习题 T3] 把下列多项式因式分解：
(1) x2－(y2－2y+1)； (2) (x2－8x+16)－49y2；
(3) 25x(2 a－b) +36y(2 b－a)；
(4) (x+3)(x－7) +3x－21.
例4
解题秘方：先观察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式进行因式分解 .
知2－练
感悟新知
解： (1)原式 =x 2－(y－1) 2=(x+y－1)(x－y+1) .
(2)原式 =(x－4) 2－(7y) 2=(x－4+7y)(x－4－7y) .
(3)原 式 =25x(2 a－b) －36y(2 a－b）
=(a－b)(25x 2－36y 2） =(a－b)(5x+6y)(5x－6y) .
(4)原式 =(x+3)(x－7) +3(x－7)
=(x－7)(x+3+3) =(x－7)·(x+6) .
知2－练
感悟新知
4-1.把下列多项式因式分解：
(1) a(2 x－y) +4( y－x) ；
(2) ( x2－2x+1)－4y2；
解：原式＝(x－y)(a2－4)＝(x－y)(a＋2)(a－2)．
原式＝(x－1)2－4y2＝(x－1－2y)(x－1＋2y)．
知2－练
感悟新知
(3) (x+2)(x+4) +x2－4；
(4) x2－2xy+y2－4x+4y+4.
原式＝(x＋2)(x＋4)＋(x＋2)(x－2)＝(x＋2)(x＋4＋x－2)＝(x＋2)(2x＋2)＝2(x＋2)·(x＋1)．
原式＝(x2－2xy＋y2)－(4x－4y)＋4
＝(x－y)2－4(x－y)＋4＝(x－y－2)2.
公式法
利用平方差
公式因式分解
利用完全平方
公式因式分解
用公式法因式分解
a2－b2=( a+b)(a－b)
a2± 2ab+b2=( a± b) 2(共18张PPT)
1.2 提公因式法
第一章 因式分解
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
公因式
用提公因式法因式分解
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
知1－讲
感悟新知
知识点
公因式
1
1.定义：几个多项式的相同因式称为它们的公因式 .
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2. 公因式的确定方法：
知1－讲
步骤 举例( 2a2b 与 4a5b2)
(1) 定系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数 2(取 2 和 4 的最大公因数)
(2)定字母(或多项式)：取各项中的相同字母因式(或相同多项式因式) a， b
(3)定指数：确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数，取其中指数最低的 a 的指数最低为 2， b 的指数最低为 1
(4)写结果 公因式为 2a2b
若多项式中首项的符号是“-”，
则公因式的符号一般为“-”
a－b与b－a可以变为相同的因式
感悟新知
知1－讲
特别解读
1.公因式可以是单项式，也可以是多项式.
2.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式.
知1－练
感悟新知
[母题 教材 P6 练习 T1] 指出下列多项式中各项的公因式：
(1) 3a2y－3ay+6y； (2) 4xy3－8x3y2；
(3) 3a3b3+12a2b－9a4b2； (4) a(x－y) 3+b(x－y) 2+(x－y) 3；
(5)－27a2b3+36a3b2+9a2b.
例1
知1－练
感悟新知
解： (1)中各项的公因式为 3y.
(2)中各项的公因式为 4xy2.
(3)中各项的公因式为 3a2b.
(4)中各项的公因式为(x－y) 2.
(5)中各项的公因式为 －9a2b.
解题秘方：紧扣公因式的定义求解 .
知1－练
感悟新知
1-1.下列每组多项式中，没有公因式的是( )
A. ax－by 和 by－ax
B. 3x－9xy 和 6y2－2y
C. x2－y2 和 x－y
D. a+b 和 a2+2ab+b
D
知1－练
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1-2.多 项 式 4x3yz2－8x2yz4+12x4y2z3 的公因式是( )
A. 4x3yz2 B. －8x2yz4
C. 12x4y2z3 D. 4x2yz2
D
知1－练
感悟新知
1-3. 18ab2(a－b) 与12b(a－b)的 公 因 式是 ____________．
6b(a－b)
感悟新知
知2－讲
知识点
用提公因式法因式分解
2
1. 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法 . 用字母表示为 xy+xz+xw=x(y+z+w) .
感悟新知
知2－讲
2.用提公因式法分解因式的一般步骤:
知2－讲
感悟新知
特别解读
1.提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2.提公因式法就是把一个多项式分解成几个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知2－练
[母题 教材 P8 练习] 将下列各式因式分解：
(1) 6x3y2－8xy3z； (2) －4a3b2+12a2b－4ab；
(3) m(x－y)+n(y－x)； (4) (x－3)(x+2)－(3－x) 2；
(5) 5 x3y－15 x2y2z.
例2
解题秘方：紧扣用提公因式法分解因式的步骤解题 .
知2－练
感悟新知
解： (1)原式 =2xy2· 3x2－2xy2· 4yz=2xy2 (3 x 2－4yz) .
(2)原式 =－(4a 3b 2－12a 2b+4ab)
=－(4ab· a 2b－4ab· 3a+4ab)
=－4ab(a 2b－3a+1) .
(3)原式 =m(x－y) －n(x－y) =(x－y)(m－n) .
(4)原式=(x－3)(x+2) –(x－3) 2
=(x－3)［(x+2) –(x－3)］ =5(x － 3) .
(5)原式 =5 x 2y· x － 5 x2y· 3yz
=5 x2y(x － 3yz) .
注意不要漏写.
知2－练
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2-1. [ 月考·娄底 ] 因式分解：
(1) －5x2y2+10xy3 － 15x2y；
(2) ( x－y) 3+4x( x－y) 2；
解：原式＝－5xy(xy－2y2＋3x)．
原式＝(x－y)2(x－y＋4x)＝(x－y)2(5x－y)．
知2－练
感悟新知
(3) 10xy(x－y)3－5y(y－x)2；
(4) 3 x2yz+9 xy2z.
原式＝5y(x－y)2·2x(x－y)－5y(x－y)2
＝5y(x－y)2[2x(x－y)－1]＝5y(x－y)2(2x2－2xy－1)．
提公因式法
提公因式
找公因式
提公因式法
因式分解

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