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(共38张PPT)
2.4 整数指数幂
第二章 分式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
同底数幂的除法
零次幂和负整数指数幂
用科学记数法表示绝对值较小的数
整数指数幂的基本性质
知1－讲
感悟新知
知识点
同底数幂的除法
1
1. 同底数幂相除的运算法则：
同底数幂相除(被除式的指数大于除式的指数)，底数不变，指数相减 .
用字母表示为 =am－n(a ≠ 0， m， n 是正整数，且 m>n) .
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特别解读
1.运用法则的关键有两点： 一是底数相同，二是除法运算，二者缺一不可.
2. 底数a可以是单项式，也可以是多项式，但不能为0.因为除数不能为0.
3.同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除.
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2. 法则的拓展运用：
(1) 法则的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即 a m÷ a n÷ a p=a m － n － p( a ≠ 0， m， n， p 是 正 整 数，且m>n ＋ p) .
(2)法则的逆用：逆用时 a m － n= (a ≠ 0， m， n 是正整数，且 m>n) .
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知1－练
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[母题 教材 P43 例 1 ] 计算：
(1) ； (2) ； (3) .
例1
解题秘方：同底数幂相除，底数不变，指数相减 .
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解： = (－ x) 8 － 4=(－ x) 4 =x 4.
(1) ；
(2) ；
(3) .
= (2x) 7 － 4= (2x) 3=8x 3.
= ( x － y) 7÷［ －( x － y) 5］
=－ ( x － y) 7 － 5= － ( x － y) 2.
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1-1.计算：(1) ；
(2) ；
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(3) .
(4) ( n 为正整数) .
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已知 am ＝ 2， an ＝ 3，求 a2m-n 的值．
例2
解：a 2m-n ＝ ＝ ＝ ＝ ．
解题秘方：逆用同底 数 幂 相 除 的 运 算 法 则，即 a m-n= (a ≠ 0， m， n 是正整数，且 m>n)，进行变形，然后整体代入求值 .
知1－练
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方法点拨：逆向运用同底数幂相乘除和幂的乘方的运算法则求值的方法： 当幂的指数是含有字母的加法时，通常转化为同底数幂的乘法；当幂的指数是含有字母的减法时，通常转化为同底数幂的除法；当幂的指数是含有字母的乘法时，通常先转化为幂的乘方，然后整体代入求值 .
知1－练
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2-1. [ 月考·衡阳 ] 已知 x a = 28 ， x b = 2 ，xc=7.
(1) 试说明： a－c=2b；
(2) 求 x a－b－2c 的值．
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知识点
零次幂和负整数指数幂
2
1. 零次幂：我 们 规 定 a 0=1(a ≠ 0)，即 任 何 非 零 实 数 的 零 次 幂都等于 1.
零次幂要把握三点：
①底数不为零；②指数为零；③结果是 1.
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2. 负整数指数幂：
我们规定 a-n= (a ≠ 0， n 是 正 整 数) . 由于 =( )n，因此 a-n= ( )n (a ≠ 0， n 是正整数).特 别 地， a-1= (a ≠ 0) .
知2－讲
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特别提醒
1. 在 a0=1中， a可以是非零的有理数，也可以是多项式或非零的单项式.
2. =an(a ≠ 0， n 为正整数).
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计算： | － 7| － (1 － π) 0+ () － 1.
例3
解题秘方：紧扣零次幂和负整数指数幂的运算法则进行计算 .
解： | － 7| － (1 － π) 0+() － 1 ＝ 7 － 1 ＋ 3 ＝ 9.
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3-1.计算： (－ ) － 2 － ( － π) 0= ________．
8
3-2.计算： | 2 | － (－ 1) 0 +() － 1 ．
解：原式＝2－1＋2＝3.
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[母题 教材 P46 例 4 [把下列各式写成分式的形式：
(1) y － 3；
(2)3x － 3y.
例4
解题秘方：直接用负整数指数幂的运算法则求解 .
解： y － 3 = .
3x － 3y=3· · y= .
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4-1.填空：(把结果化为只含有正整数指数幂的形式)
(1)(2ab – 1) 3 ＝______；
(2) 3a -2b· 2a b -2 ＝__________；
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知识点
用科学记数法表示绝对值较小的数
3
1. 用科学记数法表示绝对值较小的数：
绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为 a× 10 -n 的形式，n 是正整数，1 ≤ |a| ＜ 10.
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2. 用科学记数法表示绝对值较小的数的一般步骤：
(1)确定 a： a 是绝对值大于或等于 1 且小于 10 的数.
(2) 确定 n：确定 n 的方法有两种：① n 等于原数中左起第一个非零数前 0 的个数(包括小数点前的那个 0)；
②小数点向右移到第一个非零的数后，小数点移动了几位， n 就等于几 .
(3) 将原数用科学记数法表示为 a× 10 –n(其中 1 ≤|a|<10， n 是正整数) 的形式.
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特别提醒
用科学记数法表示绝对值小于1的数时， 10的指数是负数，一定不要忘记 n前面的“-”号.
知3－练
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[中考·日照] 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为 0.000 000 014 米，将数据 0.000 000 014 用科学记数法表示为( )
A．1.4×10-8 B．14×10-7
C．0.14×10-6 D．1.4×10-9
例5
知3－练
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解题秘方：按照科学记数法的要求，写成 a× 10-n 的形式，其中 1 ≤ a ＜ 10， n 是正整数 .
解：0.0 0 0 0 0 0 014 ＝ 1.4× 10 -8．
答案： A
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5-1.嫦娥六号返回器携带月背“土 ”特产安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥六号返回器在接近大气层时， 飞 行 1 m 大 约 需要 9.1× 10-5 s． 将 数据 9.1× 10-5 用小数表示为（ ）
A. 0.000 009 1 B. 0.000 091
C. －0.000 009 1 D. －0.000 091
B
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[母题 教材 P47练习 T3 ]将下列用科学记数法表示的数还原成原数．
(1) － 8.2×10 － 5； (2)9.68×10 － 6．
例6
知3－练
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解题秘方：把用科学记数法表示的绝对值较小的数还原时，指数的绝对值是几，小数点就向左移动几位 .
解： － 8.2×10 － 5 ＝ － 8.2× 0.00001 ＝ － 0.000 082.
(1) － 8.2×10 － 5；
(2)9.68×10 － 6．
9.68× 10 -6 ＝ 9.68× 0.000001 ＝ 0.000009 68．
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6-1.下列是用科学记数法表示的数，用小数把它们表示出来：
(1) 3 . 35× 10 - 5 ＝___________；
(2) 7 . 2 × 10 - 4 ＝___________；
0.000 033 5　
0.000 72
知3－练
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计算(用科学记数法表示结果)：
(1)(3×10-4) 2×(2×10-6) 3；
(2)(8×10-7) 2÷(2×10-3) 3.
例7
解题秘方：先计算乘方，再计算乘除 .
知3－练
感悟新知
解：原式 =9× 10 -8× 8× 10 -18
=(9× 8) ×(10 -8× 10 -18)
=7.2× 10 -25.
(1)(3×10-4) 2×(2×10-6) 3；
(2)(8×10-7) 2÷(2×10-3) 3.
原式 =(64× 10 -14) ÷(8× 10 -9)
=(64÷ 8) ×(10 -14÷ 10 -9)
=8× 10 -5.
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7-1.计算：(用科学记数法表示结果)
(1)(2 × 10 – 3)2×(3×10-3)；
(2)(2 × 10 – 4) ÷(－2×10-7) -3．
解：原式＝4×10－6×3×10－3
＝1.2×10－8.
原式＝(2×10－4)÷(－2－3×1021)
＝－1.6×10－24.
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知识点
整数指数幂的基本性质
4
基本性质 公式
整数指数幂的基本性质 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ① am· an=am+n ( a ≠ 0， m， n 都是整数)
幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘 ②(am) n=amn( a ≠ 0，
m， n 都是整数)
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知4－讲
整数指数幂的基本性质 积的 乘方 积的乘方等于各因数分别乘方的积 ③(ab) n=anbn( a ≠ 0， b ≠ 0， n是整数)
知4－讲
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特别提醒
负整数指数幂的运算结果一般要化为正整数指数幂的形式.
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知4－练
[母题 教材 P50 练习 T1 ]设 a ≠ 0， b ≠ 0，计算下列各式：
(1)－a2b－3 ·3a－3b－2；
(2)(2a－2) 3b2÷4a－8b3；
(3) ()－2·()－3÷ (－)－4.
例8
解题秘方：按照先乘方，再乘除的顺序进行计算 .
(1)－a2b－3 ·3a－3b－2；
(2)(2a－2) 3b2÷4a－8b3；
(3) ()－2·()－3÷ (－)－4.
知4－练
感悟新知
解：原式 =－1× 3× a 2+(－3) × b－3－2=－3a－1b－5=－ .
原式 =8a－6b 2÷ 4a－8b 3=2a 2b －1= .
原式 =a－4b 2· b－6a 3÷ b－4a 4=a－4b 2· a 3b－6· a－4b 4=a－5b 0= .
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8-1.设 x ≠ 0， y ≠ 0计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式．
(1)( x－3y －2) －3· ( x 2y－1) －4； (2) () －2． () 3.
解：原式＝(x9y6)·(x－8y4)
＝xy10.
整数指数幂
同底数幂的除法
科学计数法
整数指数幂
负整数指数幂
正整数指数幂
零次幂
结果(共42张PPT)
2.5 可化为一元一次方程的分式方程
第二章 分式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
分式方程的概念
分式方程的解法
分式方程的应用
知1－讲
感悟新知
知识点
分式方程的概念
1
1. 分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程 .
2. 判断一个方程是分式方程的条件：
(1)是方程；
(2)含有分母；
(3)分母中含有未知数 .
以上三者缺一不可 .
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知1－讲
特别提醒
分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据.
识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的基本性质变形.
知1－练
感悟新知
判断下列方程是不是分式方程，并说明理由 .
(1) =8；(2) = ；
(3) =1；(4) = ； (5) =x( a 为非零常数) .
例1
知1－练
感悟新知
解：(1) 不是分式方程，因为分母中不含有未知数 .
(2) (3) (4)是分式方程，因为分母中含有未知数 .
(5)不是分式方程，因为分母中虽然含有字母 a，但 a为非零常数，不是未知数 .
解题秘方：利用判断分式方程的条件——分母中含有未知数进行识别 .
知1－练
感悟新知
1-1.下列方程中不是分式方程的是( )
A．=3 B． =
C． =2 D． =
C
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知2－讲
知识点
分式方程的解法
2
1. 解分式方程的基本思路： 去分母，把分式方程转化为整式方程 .
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知2－讲
2. 解分式方程的一般步骤：
知2－讲
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特别解读
1. 解分式方程的关键是去分母.去分母时不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来 .
2. 解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去.
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知2－讲
3.检验分式方程解的两种方法：
直接检验法 公分母检验法
检验方式 将求得的解分别代入原分式方程的左边和右边进行检验 把求得的解代入最简公分母中进行检验 , 使最简公分母为 0 的解不是原分式方程的解
优缺点 直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确，但计算量较大 公分母检验法比较简单，计算量小，因此被广泛 运用
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知2－练
[母题 教材 P54 练习 T1T2] 解下列方程：
(1) =； (2) = －2；
(3) － =1；
(4) ＋ =.
例2
知2－练
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解题秘方： 将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验，从而得到分式方程的解 .
知2－练
感悟新知
解：由 于 最 简 公 分 母 为( x ＋ 3)( x－1)，
于 是 将 方 程 两 边同乘( x ＋ 3)( x－1)，
得 2(x－1) =x＋3，解得 x=5 .
经检验， x=5 是原分式方程的解.
(1) =；
知2－练
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解：由 于 最 简 公 分 母 为 x－3，于 是 将 方 程 两 边 同 乘 x－3 ，
得2 －x= －1 －2(x－3)，解得 x=3 .
经检验， x=3 不是原分式方程的解 .
所以原分式方程无解.
(2) = －2；
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感悟新知
解：由 于 最 简 公 分 母 为 3( x－1) ，于 是 将 方 程 两 边 同 乘 3( x－1) ，得 4x＋6－3(5x－4)
=3( x－1)， 解得 x= . 当 x= 时， 3(x－1) ≠ 0.
所以原分式方程的解为 x= .
(3) － =1
知2－练
感悟新知
解：方程两边同乘 x( x＋2)(x－2)，
得 4(x－2)+7x=6 ( x＋2) ，解得 x=4.
当 x=4 时， x ( x＋2)(x－2)≠ 0.
所以原分式方程的解为 x=4.
(4) ＋ =.
知2－练
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2-1. [ 期 末· 娄 底 ] 解对于实数 a， b，定义一种新运算“*”： a * b = ，等式右边是实数 运 算 . 例 如： 1 * 3 ==－ ， 则 方 程x *(－2) = 的解是x= ______.
－1
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2-2.解下列方程： (1)=+2；
解：方程两边同乘3(x－3)，
得2x＋9＝12x－21＋6x－18，
整理，得16x＝48，解得x＝3.
经检验，x＝3是增根，
所以原分式方程无解．
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(2) + = .
解：方程两边同乘2x(x－2)，
得2×2(x－2)＋6＝5(x－2)，
去括号，得4x－8＋6＝5x－10，解得x＝8.
检验：当x＝8时，2x(x－2)≠0，
所以x＝8是原分式方程的解．
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知识点
分式方程的应用
3
1. 列分式方程解应用题的一般步骤
(1) 审： 即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系 .
(2) 设： 即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量 .
(3) 列： 即列方程，根据等量关系列出分式方程 .
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(4) 解： 即解所列的分式方程，求出未知数的值 .
(5) 验： 即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，又要检验此解是否符合实际意义 .
(6) 答： 即写出答案，注意单位，答案要完整 .
知3－讲
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知3－讲
2. 列分式方程常用的等量关系：
(1) 行程问题： 速度 × 时间 = 路程 .
(2)利润问题： 利润 = 售价－进价；利润率 =× 100%.
(3) 工程问题： 工作量 = 工作时间 × 工作效率；
总工作量 = 各个分工作量之和 .
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知3－讲
特别解读
1. 审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系 .当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部(或大部分)数量的等量关系列方程 .
2. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，若直接设未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数 .
3. 应用题中解分式方程同样要验根 .
知3－练
感悟新知
某校学生利用双休时间去距离学校 10km的岳阳植物园游玩，部分学生骑自行车从学校先出发，过了20 min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达. 已知汽车的速度是自行车速度的 2 倍，求自行车和汽车的速度分别是多少千米 / 小时？
例3
解题秘方：根据题意中的等量关系列出分式方程解决问题.
知3－练
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解： 设自行车的速度是 x km / h ，
则汽车的速度是 2x km / h ，
由题意，得= + ，解得 x ＝ 15.
经检验， x ＝ 15 是原分式方程的解 .
2x ＝ 2× 15 ＝ 30.
答： 自行车的速度是 15 km / h，汽车的速度是 30 km / h．
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3-1.斑马线前“ 车让人”，不仅体现着对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某 路口的斑 马线路段A-B-C 横穿双向行驶车道，其中 AB ＝ BC ＝12 米，在绿灯亮时，小林共用 11 秒通过 AC，其中通过 BC 段时的速度是通过 AB 段时速度的1.2 倍，求小林通过 AB段和 BC 段时的速度.
知3－练
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知3－练
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为顺利通过“文明城市”验收，某市拟对城区部分排水管道公用设施全面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程 . 现有甲、乙两个工程队有意承包此项工程，经调查得知，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的 1.5 倍，若甲、乙两工程队合作只需 12 天完成．
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
(2)若甲工程队每天的工程费用是 4 万元，乙工程队每天的工程费用是 3 万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少.
例4
知3－练
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解题秘方：紧扣工程问题中常见的量之间的关系建立分式方程模型，从而解决问题.
知3－练
感悟新知
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
解：设甲工程队单独完成此项工程需 x 天，则乙工程队单独完成此项工程需 1.5x 天，
根据题意得 + =1，解得 x ＝ 20.
经检验， x ＝ 20 是原分式方程的解，且符合题意.
1.5x ＝ 1.5× 20 ＝ 30.
答： 甲工程队单独完成此项工程需 20 天，乙工程队单独完成此项工程需 30 天 .
知3－练
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(2)若甲工程队每天的工程费用是 4 万元，乙工程队每天的工程费用是 3 万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少.
解：由(1)知甲、乙两工程队均能在规定的一个月内单独完成，所以有如下三种方案：
方案一：甲工程队单 独完成．所需费用为
4× 20 ＝ 80(万元)；
知3－练
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方案二：乙工程队单独完成．所需费用为
3× 30 ＝ 90(万元)；
方案三：甲、乙两队合作完成．所需费用为
(4+3) × 12 ＝84(万元)．
因为 90 ＞ 84 ＞ 80，
所以选择甲工程队单独完成此项工程，既能按时完工，又能使工程费用最少．
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4-1. “畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为 36 米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了 50%，结果提前2 天成功地完成了桥梁的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？
知3－练
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知3－练
感悟新知
小明妈妈在批发市场购买某种海鲜销售，第一次用
3 000 元购买一批，并以每千克 40 元的价格出售，很快售完．由于海鲜捕获量减少，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 20%，用 3 240 元所购买的海鲜质量比第一次少了10 kg，此次以50 元/ kg售出 30 kg后，因销售情况不佳，且海鲜不易保存，小明妈妈为减少损失，便降价 50% 售完剩余的海鲜．
(1)求第一次购买的海鲜的进价.
(2)在这两次销售中，小明妈妈总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
例5
知3－练
感悟新知
(1)求第一次购买的海鲜的进价.
解：设第一次 购买的海鲜的进 价是x 元/ kg ，
则第二次购买的海鲜的进价是1.2 x 元/ kg ，
根据题意，得－ =10，解得 x ＝ 30．
经检验， x ＝ 30 是原分式方程的解．
答：第一次购买的海鲜的进价是30 元/ kg ．
解题秘方：根据题意列分式方程求解；
知3－练
感悟新知
(2)在这两次销售中，小明妈妈总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
解题秘方：先分别求出第一次、第二次卖出海鲜的质量和盈利，然后求盈利和．
知3－练
感悟新知
解：第一次购买的海鲜的质量为 3 000÷30 ＝ 100(kg)，第二次购买的海鲜的质量为 100－10 ＝ 90(kg)，
所以第一次 盈利 100×(40－30) ＝ 1 000(元)，第二次盈利 30×(50-30× 1.2) +(90－30)×(50× 0.5－30× 1.2) ＝
－240(元)．因为 1 000－240 ＝ 760(元)，
所以在这两次销售中，小明妈妈总体上是盈利了，盈利了760 元．
知3－练
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5-1.某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑．某商场用 6 万元购进甲型号的平板，很快销售一空．该商场又用12.8 万元购进了乙型号的平板，所购数量是甲型号平板购进数量的 2 倍，但单价贵了40 元 / 台．求该商场购进甲型号平板和乙型号平板的单价各是多少元 / 台？
知3－练
感悟新知
可化为一元一次方程的分式方程
产生
分式方程
解法
增根
分式方程
的应用
列(共64张PPT)
2.1 分式的概念及基本性质
第二章 分式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
分式的概念
分式的值存在、不存在的条件
分式的值为 0 的条件及分式的值
分式的基本性质
分式的约分
知1－讲
感悟新知
知识点
分式的概念
1
1. 分式: 设f 和g 都是多项式，其中g 不为 0.我们把f 除以g的结果记作 ，是分式，其中 f 称为分子， g 称为分母.
分式的“三要素”：
(1)形如 的式子；(2) f 为整式， g 为非零整式；
(3)分母 g 中含有字母 .
感悟新知
知1－讲
特别解读
1. 分式可看成是两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用.
2. 判断一个式子是否是分式，不能将原式子进行变形后再判断，而必须按照本来的“面目” 进行判断 . 如： 是分式.
感悟新知
2. 分式与分数的关系
知1－讲
分数 分式
联系 区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母
知1－练
感悟新知
下列式子中哪些是整式？哪些是分式？
， ， x2， － ， － ， － ， ，4a， ， ，.
例1
π是常数，不能当字母看.
知1－练
感悟新知
解：整式有， x2， － ， ，4a；
分式有， － ， － ，， ， .
解题秘方：利用分式的“三要素”判断即可 .
知1－练
感悟新知
方法点拨：判断一个式子是不是分式的方法：
首先要看式子是否具有的形式，其次 f， g (g ≠ 0)是不是整式，最后看分母中是否含有字母 .分式只注重形式而不注重结果，分母中含有字母是判断分式的必要条件 .
知1－练
感悟新知
1-1.在 ， ， ， ， ， ， 中，分式有________个．
4
感悟新知
知2－讲
知识点
分式的值存在、不存在的条件
2
1. 分式的值存在(分式有意义)的条件：
分式的分母表示除数，由于除数不能为 0，因此分式的 分母不能为 0，即当 g ≠ 0 时，分式 的值才存在.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1.分式的分母不能为0，并不是说分母中的字母不能为 0，而是表示分母的整式的值不能为0.
2.分式的值是否存在，只与分式的分母是否为 0 有关，而与分式的分子是否为0无关.
感悟新知
知2－讲
2.分式的值不存在(分式无意义)的条件：
分式的分母为 0，即当 g= 0 时，分式的值不存在 .
感悟新知
知2－练
当 x 满足什么条件时，下列分式的值存在？
(1) ； (2) ； (3) .
例2
解题秘方：分母的值不等于 0 时，分式的值存在.
知2－练
感悟新知
解：当 5x－3 ≠ 0，即 x ≠ 35 时，分式 的值存在.
(1)
知2－练
感悟新知
解：因为不论 x 取什么值，都有 x 2＋3>0，所以 x 取任何数，分式 .
(2)
(3) .
当(x－2)( x＋4) ≠ 0，即 x ≠ 2 且 x ≠－4 时，分式的值存在.
只能对原分母进行讨论，不能先化简再讨论，否则会使取值范围扩大.
知2－练
感悟新知
2-1.当 x 为任意数时，下列分式的值一定存在的是( )
A. B.
C. D.
C
感悟新知
知2－练
[母题 教材 P29 习题 T1 ] 当 x 取何值时，下列分式的值不存在？
(1) ； (2) .
例3
解题秘方：当分母的值等于 0 时，分式的值不存在 .
感悟新知
知2－练
解：要使分式的值不存在，则分母的值为 0.
(1)2 x＋4 ＝ 0，解得 x ＝－2，
所以当 x ＝ －2 时，分式 的值不存在 .
(2) x 2－1 ＝ 0，解得 x ＝ ± 1，
所以当 x ＝ ± 1 时，分式 的值不存在．
知2－练
感悟新知
3-1. 已知分式，当x ＝ 2时，分式的值不存在，则 a ＝_________ ．
－10
感悟新知
知3－讲
知识点
分式的值为 0 的条件及分式的值
3
1. 分式的值为 0 的条件：
当分式的分子等于 0 且分母不等于 0 时，分式的值为 0.
即对于分式 ，当 f=0 且 g ≠ 0 时， =0.
感悟新知
知3－讲
2. 分式的值： 与代数式的值的概念类似，用一个具体的数值代替分式中的字母，按照分式中的运算关系计算，所得的结果就是分式的值 .
感悟新知
知3－讲
3. 对于分式，常见的特殊分式值的情况讨论(拓展)：
(1)若的值为 1，则 f=g，且 g ≠ 0；
(2)若的值为 －1，则 f= － g，且 g ≠ 0；
(3)若的值为正数，则 或
(4)若的值为负数，则 或.
知3－讲
感悟新知
特别提醒
对于分式的特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母.
知3－练
感悟新知
[母题 教材 P29习题 T2 ]当 x 取何值时，下列分式的值为 0 ？
(1) ； (2) ； (3) .
例4
解题秘方：分式的值为 0 的条件：分子为 0，分母不为 0.
知3－练
感悟新知
解：由得 x= － 2，所以当 x= － 2 时，分式 的值为 0.
(1)
(2)
由得 x= 2，
所以当 x= 2 时，分式的值为 0.
知3－练
感悟新知
解：由得 x=3，
所以当 x=3 时，分式的值为 0.
(3) .
若 ab=0，
则 a=0 或 b=0.
知3－练
感悟新知
4-1. 若分式 =0，则 x 的值为________.
－1
4-2. 若分式 的值为 0，则 x 的值为________.
－2
知3－练
感悟新知
[母题 教材 P25 例 2] 当 x=－2 时，分式的值是( )
A. 3 B. －3 C. 2 D. －2
解题秘方：将 x= － 2 代入计算即可 .
例5
解：当 x=－2 时， = = =3.
A
知3－练
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5-1.当 x=2 时， 分 式的 值 不 存 在，则 当 x=3 时， 求 分 式 的值 .
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知4－讲
知识点
分式的基本性质
4
1. 分式的基本性质
基本性质 分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式(或除以它们的一个不为0的公因式)，所得分式与原分式相等
式子表示
解读 公式①从左到右看表明：分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式，所得分式与原分式相等 .
公式①从右到左看表明：分式的分子与分母都除以它们的一个不为0的公因式，所得分式与原分式相等
用途 进行分式的恒等变形
知4－讲
感悟新知
特别提醒
1. 运用分式的基本性质时，一定要注意关键词 “同一个”与“不为0” .
2. 在分式的基本性质中，g≠ 0 是隐含的已知条件，而 h≠ 0 则是附加的限制条件.
3. 运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变分式的形式.
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知4－讲
2. 分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变 .
用字母表示为如下：
(1)== －；
(2)－= － ==.
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知4－练
[母题 教材 P28 练习 T1 ] 写出下列等式中未知的分子或分母.
(1) = ；(2) = ；
(3) = ；(4) = .
5y
a 2＋2ab
x－y
－x－y
例6
知4－练
感悟新知
解题秘方：先观察等号两边已知的分子或分母发生了什么样的变化，再根据分式的基本性质确定所要填的式子 .
解： (1)中，右边的分子 3x 是由左边的分子 15x 2y 除以 5 x y 得到的，所以右边的分母由左边的分母 25xy2 除以 5x y 得到，因此结果是 5y.
(1) =
(2) =
(3) =
知4－练
感悟新知
解： (2)中，右边的分母 a 2b2 是由左边的分母 ab2 乘 a 得到的，所以右边的分子由左边的分子 a+2b 乘 a 得到，因此结果是 a2+2ab.
(3)中，右边的分子 3 是由左边的分子 3x 除以 x 得到的，所以右边的分母由左边的分母 x 2－xy 除以 x 得到，因此结果是 x－y.
知4－练
感悟新知
解： (4)中，右边的分母 x2－y2 是由左边的分母 y－x 乘 －x－y 得到的，所以右边的分子由左边的分子 1 乘 －x－y 得到，因此结果是 －x－y.
(4) = .
知4－练
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6-1.下列 从 左到右的变形中，正确的是( )
A． = B． =
C． = D． =－
C
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知4－练
[母题 教材 P26 思考]不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母都不含“－”号或分子、分母中的第
一项都不含“－”号.
(1) ；(2) ；(3) ；(4) － .
解题秘方：分式的分子、分母及分式本身这三处的正负号，同时改变其中两处，分式的值不变 .
例7
(3) ；
(4) － .
知4－练
感悟新知
解：=.
(1) ；
(2) ；
= －.
=－.
－ = .
知4－练
感悟新知
7-1. [ 月考·张家界永定区 ]不改变分式的值，使 分子、分母 的 第 一项 系 数 都是正数，则＝____________.
感悟新知
知4－练
[期末·长沙一中] 把分式 中的 x ， y的值都扩大为原来的 3 倍，则分式的值( )
A．缩小为原来的 B．不变
C. 扩大为原来的6倍 D.扩大为原来的3倍
例8
知4－练
感悟新知
解题秘方：将分式中的 x ， y的值都扩大为原来的 3 倍，然后代入原分式，再利用分式的基本性质变形 .
知4－练
感悟新知
解：分式 中的 x ， y的值都扩大为原来的 3 倍，得==，所以分式的值不变.
答案： B
知4－练
感悟新知
8-1. [模拟·邵阳] 若x，y 的值均扩大为原来的2 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
C
知4－练
感悟新知
8-2.若分式 的值为6，当 x， y 都扩大到原来的2 倍时，所得分式的值是______.
12
感悟新知
知4－练
不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中的各项系数都化为整数 .
(1) ； (2) .
解题秘方：利用分式的基本性质，将分子、分母同时乘同一个不为0的数，使各项系数都化为整数 .
例9
知4－练
感悟新知
解： = =.
(1) ；
(2) .
==.
知4－练
感悟新知
9-1.把分式的分子和分母中各项系数都化为整数为___________ ．
感悟新知
知5－讲
知识点
分式的约分
5
1. 分式的约分：
利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分.
知5－讲
感悟新知
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和分母的公因式.
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式.
3. 约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式 .
感悟新知
知5－讲
2. 最简分式： 如果分式的分子与分母没有公因式，那么称这个分式是最简分式.
感悟新知
知5－讲
3. 找公因式的方法
(1) 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；
(2) 当分子、分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再按(1)中的方法找公因式 .
感悟新知
知5－练
[母题 教材 P27 例 3]把下列分式化成最简分式 .
(1) ；(2) .
例10
知5－练
感悟新知
解题秘方：直接约分；
(1)；
解：= = .
知5－练
感悟新知
解题秘方：先将分子、分母分解因式，再进行约分
(2)
解：==.
知5－练
感悟新知
10-1.把下列分式化简成最简分式：
(1) ＝ _______；
(2 ＝__________.
感悟新知
知5－练
下列分式： ① ；② ；③ ；
④ .其中，最简分式是_______ (填序号)．
解题秘方：根据最简分式的定义进行识别 .
②③
例11
知5－练
感悟新知
解： ①原式 = = ，不符合题意；
④原式 = = ，不符合题意，
故最简分式是②③．
知5－练
感悟新知
11-1. [ 月 考· 娄 底 ]下列分式是最简分式的是(　　)
A． B．
C． D．
D
知5－练
感悟新知
11-2.请你从 x2＋y2，x＋y， x2－y2， x－y 中选出两个代数式分别作为分子、分母组成一个最简分式，那么这个最简分式可以是__________ (写出一个即可) .
感悟新知
知5－练
[母题 教材 P29习题 T6] 先约分，再求值： ，其中x=2， y=1.
解题秘方：紧扣约分的方法步骤，先将分式化成最简分式或整式，然后代入求值 .
例12
知5－练
感悟新知
解：原式 = = .
当 x=2， y=1 时，原式 = = .
知5－练
感悟新知
12-1.先约分，再求值：· ，其中 x ＝ 3．
分式的概念及基本性质
约分
分式的基
本性质
分 式
分式的值
存在的条件
分式的值为
0的条件
最简分式(共37张PPT)
2.3 分式的乘法和除法
第二章 分式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
知1－讲
感悟新知
知识点
分式的乘法
1
1. 分式的乘法运算法则：
分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母 . ·=.
感悟新知
知1－讲
特别解读
分式乘法运算的基本步骤：
第一步，确定积的符号，写在积中分式的前面.
第二步，运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带括号.
第三步，约分，将结果化成最简分式或整式.
感悟新知
2. 法则的运用方法：
(1) 若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再约分；
(2) 若分子、分母中有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算；
(3)若分式乘整式，可把整式看成分母为 1 的“分式”进行运算 .
知1－讲
知1－练
感悟新知
[母题 教材 P38 例1例2 ] 计算：
(1) · ； (2) ·( － 4xy2)； (3) ·.
例1
解题秘方：利用分式的乘法运算法则进行计算 .
(1) ·
(2) ·( － 4xy2)
(3) ·.
知1－练
感悟新知
解： ·==.
·( － 4xy2) =－ ·4xy 2=－.
· =·= .
知1－练
感悟新知
1-1. [ 月考·娄底 ] 化简 · 的结果是( )
A. B. C. D.
B
知1－练
感悟新知
1-2. · .
感悟新知
知2－讲
知识点
分式的除法
2
分式的除法运算法则：分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘 . 即 ÷= ＝ .
知2－讲
感悟新知
特别解读
分式除法运算的基本步骤：
第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分；
第二步：将除法转化成乘法；
第三步：利用分式的乘法运算法则计算.
感悟新知
知2－讲
2. 法则的运用方法:
(1)分式的除法需先转化成乘法，再利用分式的乘法运算法则计算；
(2) 当除式是整式时，可以将整式看成分母是 1 的“分式”进行运算 .
感悟新知
知2－讲
3.分式的加减乘除混合运算： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，最后加减 . 有括号时，先算括号内的，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行 .
知2－讲
感悟新知
特别提醒
分式除法只有转化为乘法后才能运用乘法运算律进行计算，结果中的分子或分母的系数是负数时，要把“－”号提到分式本身的前边．
知2－练
感悟新知
[母题 教材 P39例4] 计算：
(1) ÷ ； (2) ÷
解题秘方：运用分式的除法运算法则将分式的除法运算转化为分式的乘法运算 .
例2
是数学转化思想的具体体现 .
知2－练
感悟新知
解： ÷ = =－4bcd.
(1) ÷
(2) ÷
÷ = ÷ = =.
知2－练
感悟新知
2-1. 计算： (1) ÷ ＝ ________；
(2)( x2 xy)÷ =____________.
2
x2
例3
知2－练
感悟新知
[母题 教材 P39 例 5] 计算：
(1)[中考·南通] · － ；
(2) ÷( －a－2b).
知2－练
感悟新知
解题秘方：在进行分式的混合运算时，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时要先算括号里面的 .
解：原式= · －
= － = =1.
(1)[中考·南通] · － ；
知2－练
感悟新知
解：原式=÷[ －]
= ÷ = ÷
= · = .
(2) ÷( －a－2b).
知2－练
感悟新知
3-1.试卷上一个正确的式子( + ) ÷★ =被小颖同学不小心滴上了墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为_______ ．
知2－练
感悟新知
3-2. [ 月考·邵阳武冈市 ]计算：
(1)( x+2)· － ；
知2－练
感悟新知
(2)( 1－ )÷ ．
感悟新知
知3－讲
知识点
分式的乘方
3
1. 分式的乘方运算法则：分式的乘方就是把分子、分母各自乘方 .即对于任意正整数 n，有() n=.
感悟新知
知3－讲
2.法则的运用方法：
(1) 分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同；
(2) 分式乘方时，一定要将分子、分母分别乘方，不能将 () n=错写成 () n=；
(3)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体乘方，避免出现 () 2= 的错误 .
感悟新知
知3－讲
3.分式的乘除、乘方混合运算：分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先乘方，再乘除，有括号的先算括号里面的.
4.分式的乘除、乘方混合运算关键有两点：一是正确选择运算顺序；二是正确运用运算法则.运算的结果应化为最简分式或整式.
知3－讲
感悟新知
特别解读
1. 分式乘方是分式乘法中因式相同时的一种特殊情况，因此分式乘方都可转化为分式乘法进行计算.
2. 学习了分式乘方法则后，直接可用法则进行计算，在计算时先确定结果的符号，再把分子、分母分别乘方.
感悟新知
知3－练
[母题 教材 P40例6 ]计算：
(1)() 4；(2) () 3； (3) () 2.
解题秘方：先运用分式的乘方运算法则将分子、分母分别乘方，再运用幂的乘方和积的乘方的性质计算 .
例4
知3－练
感悟新知
解： () 4 ==.
(1) () 4
(2) () 3
() 3 == － .
(3) () 2
() 2 = =.
知3－练
感悟新知
4-1.下列计算正确的是(　　)
A．( ) 2 = B.( ) 2 =
C.() 3 = D． () 2 =
C
感悟新知
知3－练
[母题 教材 P40例7]计算：
(1)() 2÷() 3· (－ ) 3；
(2) () 2· ÷() 3.
例5
解题秘方：先乘方，再乘除，有括号的先算括号里面的.
知3－练
感悟新知
解： 原式 = ÷ · (－ )
= · · (－ )
= － .
(1)() 2÷() 3· － () 3；
知3－练
感悟新知
解： 原式 = · ÷() 3 = · ·
=.
(2) () 2· ÷() 3.
知3－练
感悟新知
5-1. 计算： (1)()3÷()2；
(2)()3·( ) 4；
知3－练
感悟新知
(3) ()2·()3÷() 2；
(4)()2·()3·( a2－b2)；
知3－练
感悟新知
(5)( )2÷ [－(x+y)2]·( )3.
分式的乘法和除法
转化
分式的乘法
混合运算
分式的乘法和除法
分式的乘方
分式的除法
转化(共35张PPT)
2.2 分式的加法和减法
第二章 分式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
同分母分式的加减法
分式的通分
异分母分式的加减法
知1－讲
感悟新知
知识点
同分母分式的加减法
1
1. 同分母分式的加、减法运算法则：
同分母的分式相加，分母不变，把分子相加 . 即 ＋ = .
同分母的分式相减，分母不变，把分子相减 . 即 － = .
感悟新知
2. 同分母的分式相加减的一般步骤：
(1)加减：写成分母不变，把分子相加减的形式；
(2)合并：分子去括号，合并同类项；
(3)约分：把分子、分母约分，化成最简形式(最简分式或整式) .
知1－讲
特别提醒
当分子为多项式时，要将分子看做整体用括号括起来，避免出现符号错误.
知1－练
感悟新知
[母题 教材 P31例1] 计算：
(1) － ； (2) ＋；
(3) ＋ .
例1
当分式的分母互为相反数
时，把其中一项提出“-”号，
使其分母与另一项相同.
知1－练
感悟新知
解题秘方：按照同分母的分式的加、减法运算法则进行计算即可，结果要化为最简分式或整式 .
知1－练
感悟新知
解： － = == － .
(1) － ；
(2) ＋；
＋= = = .
知1－练
感悟新知
解： ＋ = － = = － 1.
(3) ＋ .
知1－练
感悟新知
1-1. [期末·株洲渌口区] 化简 － 的结果为__________ .
2
1-2.计算： ＋
x＋2
感悟新知
知2－讲
知识点
分式的通分
2
1. 分式的通分：利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分 .
感悟新知
知2－讲
2.最简公分母： 通分时，关键是确定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分 母称为最简公分母 .
知2－讲
感悟新知
特别解读
约分与通分的联系与区别：
1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变形之后每个分式的值都不变.
2.约分是针对一个分式来说的，约分可使分式得以化简，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母的分式化为同分母的分式.
感悟新知
知2－讲
3. 通分的一般步骤：
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 .
感悟新知
知2－练
[母题 教材 P32 例 3 ]把下列各组分式通分：
(1) ， ； (2) ， ；
(3) ， ；(4) ， ， ．
例2
解题秘方：先确定最简公分母，再通分 .
知2－练
感悟新知
解：最简公分母是 24xyz2，
= ，= .
(1) ，
6 和 8 的最小公倍数为24， x， y， z 分别取最高次幂 .
知2－练
感悟新知
解：最简公分母是(a ＋ b)(a － b)，
==，
= =.
(2) ，
两个多项式的积.
知2－练
感悟新知
解：最简公分母是 (a－2) 2，
= ，
= = .
(3) ，
a－2的最高次幂.
知2－练
感悟新知
解：最简公分母是 x (x ＋ y) (x－y) ，
=，= ,
= .
(4) ， ，
先因式分解，再取多项
式因式的最高次幂 .
知2－练
感悟新知
2-1. 如果分式 的分母经过通分后变成2( a － b) 2(a+b)，那么分子应变为(　　)
A． 6a( a － b) 2(a ＋ b)
B． 2(a － b)
C． 6a( a － b)
D． 6a( a ＋ b)
C
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2-2.通分： (1) ， ；
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(2) ， .
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知3－讲
知识点
异分母分式的加减法
3
1. 异分母分式的加、减法法则：
异分母的分式进行加、减运算时，要先化为同分母的分式，然后再加减.
即 ± = ± = .
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2. 异分母的分式相加减的一般步骤：
(1)通分： 将异分母的分式转化为同分母的分式；
(2)加减： 按照同分母的分式加减运算的一般步骤进行计算 .
知3－讲
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特别解读
1.通分的关键是确定最简公分母，最简公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积.
2.异分母的分式进行加、减运算时的关键是通分.
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[母题 教材 P36 练习T 2 ]计算：
(1) ＋ ；(2) －x＋1.
例3
解题秘方：先通分，再按照同分母的分式的加、减法运算法则进行计算 .
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解： 原式 = + = = =.
(1) ＋ ；
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解：原式 = －( x － 1) = － = .
(2) －x＋1.
在通分时，把整式看成分母是1，分子是该整式的分式，若该整式是多项式，则看成一个整体，通分时要带上括号.
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3-1.计算：(1) + － ；
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(2) a+2 －.
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从甲地到乙地有两条路，每条路都是 3 km. 其中第 一条是平路，第二条有 1 km 的上坡路、 2 km 的下坡路 . 小亮在上坡路上的骑车速度为a km/h，在平路上的骑车速度为2a km/h，在下坡路上的骑车速度为 3a km/h.
(1)当他分别走第一条路和第二条路时，从甲地到乙地各需要多长时间？
(2)从甲地到乙地，他走哪条路花费的时间少？少用多长时间？
例4
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解题秘方：要比较走哪条路用的时间少，先把走两条路所用的时间分别表示出来，再作差，根据两个时间的差与 0 的大小关系，便可知道它们的大小关系 .
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解：走第一条路所用的时间为 h；
走第二条路所用的时间为 + = + = (h) .
(1)当他分别走第一条路和第二条路时，从甲地到乙地各需要多长时间？
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解：因为 － = － =－ <0，
所以 < .
所以他走第一条路花费的时间少，少用 h.
(2)从甲地到乙地，他走哪条路花费的时间少？少用多长时间？
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4-1.甲工程队完成一项工程需要(2a － 6)天，乙工程队要比甲工程队多8天才能完成这项工程，写出甲、乙两工程队每天一共完成的工作量的式子：__________________ .
分式的加法和减法
加减混
合运算
分式的加法和减法
同分母
异分母

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