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(共44张PPT)
4.4 一次函数的应用
第四章 一次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
待定系数法确定一次函数的表达式
建立一次函数的模型解实际应用题
一次函数与一元一次方程的关系
两个一次函数图象的应用
知1－讲
感悟新知
知识点
确定一次函数表达式
1
类型 函数表达式 待定系数 所需的条件
正比例函数 y=kx k 已知函数图象上一点(非原点)的坐标
一次函数 y=kx+b k， b 已知函数图象上两点的坐标
1. 用待定系数法求一次函数表达式所需的条件
或与k，b 有关的具体条件等
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1.待定系数法：先设出表达式中的未知数，再根据条件求出未知数，从而写出这个表达式的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称待定系数 .
2.运用待定系数法求函数表达式需要注意两点：一是所取的点必须在函数图象上，二是必须正确代入、准确计算 .
感悟新知
知1－讲
2. 用待定系数法求函数表达式的一般步骤
示例：已知一次函数的图象过M(1，3)，N(0，12)两点，求该一次函数的表达式。
感悟新知
知1－讲
根据函数的图象设函数表达式的技巧
(1)若直线过原点，则所设函数表达式为y =kx(k ≠ 0)；
(2)若直线不过原点，则所设函数表达式为y =kx+b(k ≠ 0)。
知1－练
如图4-4-1，直线l 是一次函数的图象，看图回答问题.
求：(1)求该一次函数的表达式；
(2)当y＝5 时，x的值．
例1
考向：利用待定系数法求函数表达式
知1－练
解题秘方：由图象求一次函数的表达式时，选取的点必须是函数图象上的点，一般是图象和坐标轴的交点，以便求解。
知1－练
解：设该一次函数的表达式为y =kx+b。
因为直线l 过点(0， － 1)，所以b= － 1。
又因为直线l 过点(2，0)，所以2 k+b= 0。
将b=－ 1 代入2 k+b= 0，解得k = ，
所以该一次函数的表达式为y =x－1。
求：(1)求该一次函数的表达式；
知1－练
解：当y＝5时，x－1＝5，解得x＝12．
(2)当y＝5 时，x的值．
知1－练
感悟新知
1-1.如图，求直线l 所对应的函数表达式。
变式训练
知2－讲
知识点
建立一次函数的模型解实际应用题
2
利用一次函数的图象解决实际问题，关键是找到图象中两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下：
(1)题目中已知一次函数的关系式，可直接运用一次函数的性质求解；
知2－讲
(2)题目中没有给出一次函数的关系式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的关系式，再利用一次函数的性质解决实际问题.
知2－讲
特别提醒
1.实际问题中的函数图象一般是射线或线段，需结合题意理解它们的图象是射线或线段的原因.
2.应用一次函数解决实际问题的关键是建立一次函数模型，同时注意实际问题中自变量的取值范围要使实际问题有意义.
知2－练
[母题 教材P96例2]已知汽车油箱中的
余油量Q(L)是行驶时间t(h)的一次函数.
某天该汽车外出时，油箱中的余油量
与行驶时间的变化关系如图4-4-2.
(1)根据图象，求油箱中的余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的函数表达式，并求出t的取值范围；
(2)从开始算起，如果汽车每时行驶40 km，当油箱中余油20 L 时，该汽车行驶了多少千米？
例2
知2－练
解题秘方：通过函数图象获取信息，首先要看懂横轴、纵轴所代表的意义，其次要学会将图象上特殊点（如图象与x 轴、y轴的交点）的坐标转换成数学语言，建立数学模型，最后作答。
知2－练
(1)根据图象，求油箱中的余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的函数表达式，并求出t的取值范围；
解：设油箱中的余油量Q(L)与行驶时间t(h)之
间的函数表达式为Q＝kt＋b(k ≠ 0).
由图4 -4-2 可知点(0，60)，(4，40)在
函数图象上，所以b＝60.
知2－练
将(4，40)代入Q＝kt＋60，得40＝4k＋60，
解得k＝－5.
故油箱中的余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的函数表达式为Q＝－5t＋60.
令Q＝0，得－5t＋60＝0，解得t＝12.
所以t的取值范围为0 ≤ t ≤ 12.
知2－练
(2)从开始算起，如果汽车每时行驶40 km，当油箱中余油20 L 时，该汽车行驶了多少千米？
解：当Q＝20时，有 20=－5t+60，
解得 t＝8，40×8＝320(km).
因此，该汽车行驶了320 km.
知2－练
感悟新知
2-1.某专营商场销售一种品牌电脑，每台电脑的进货价是 0.4 万元 . 图中的直线 l1 表示该品牌电脑一天的销售收入 y1(万元)与销售量 x(台)的关系，已知商场每天的房租、水电、工资等固定支出为 2 万元 .
变式训练
知2－练
感悟新知
(1)直线 l1 对应的函数表达式是 __________，每台电脑的销售价是 ____万元；
(2)写出该商场一天的总成 本 y2(万元)与销售量 x(台)之间的函数表达式：______________ ；
y1＝0.8x
0.8
y2＝0.4x＋2
知2－练
感悟新知
(3)通过计算说明：每天销售量是多少台时，该商场可以不赚不亏 .
解：当y1＝y2时，0.8x＝0.4x＋2，解得x＝5.
故每天销售量是5台时，该商场可以不赚不亏．
感悟新知
知3－讲
知识点
一次函数与一元一次方程的关系
3
一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的方面看：当一次函数y=kx+b的函数值为0 时， 相应的自变量的值就是方程kx+b=0 的解 从“形”的方面看：如图，一次函数y=kx+b的图象与x 轴交点的横坐标就是方程kx+b=0 的解
感悟新知
知3－讲
利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为一次函数；
(2)画图象：画出一次函数的图象；
(3)找交点：找出一次函数的图象与 x 轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解
知3－讲
感悟新知
特别提醒
求一次函数图象与x轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程；也就是说，“数” 题可用“形”解，“形” 题也可用“数”解 .
知3－练
感悟新知
如图 4-4-3，根据一次函数 y=kx+b
的图象，求：
(1)关于 x 的方程 kx+b=0 的解；
(2)当 x=1 时，代数式 kx+b 的值；
(3)关于 x 的方程 kx+b=－3 的解 .
例3
考向：利用一次函数与一元一次方程的关系解与方程相关的问题
知3－练
感悟新知
解题秘方：根据数形结合思想、一元一次方程及一次函数的图象即可解决 .
解：当 x=2 时， y=0，
所以方程 k x+b=0 的解为 x=2.
(1)关于 x 的方程 kx+b=0 的解；
知3－练
感悟新知
解：当 x=1 时， y=－1，
所以代数式 k x+b 的值为 －1.
(2)当 x=1 时，代数式 kx+b 的值；
(3)关于 x 的方程 kx+b=－3 的解 .
当 x=－1 时， y=－3，
所以方程 k x+b=－3 的解为 x=－1.
知3－练
感悟新知
3-1.一次函数 y=kx+b(k ≠ 0， k，b 是常数)的图象如图所示，则关于 x 的方程 kx+b=4 的解是( )
A.x=3 B.x=4
C.x=0 D.x=b
A
变式训练
知4－讲
知识点
两个一次函数图象的应用
4
1. 在同一直角坐标系中，同时出现两个一次函数的图象，即两条直线，利用所给图象的位置关系、交点坐标、与x轴和y轴的交点坐标等读取其中所要表达的信息. 一般出现在比较产量、速度、资费等问题中，关键是要理解交点坐标的含义.
知4－讲
观察图象获取相关信息用表格表示如下：
看图象 获取信息
两个一次函数，当自变量的值为x0 时，函数值都为y0或当函数值为y0时，自变量的值都为x0
当自变量的值x>x0时，函数值y1>y2，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大
当自变量的值x知4－讲
特别提醒
在观察图象时，要注意“三看”：
一看变量，即要看清变量表达的是什么意义(包括单位)；
二看两轴，即要看清x轴所要表达的意义(包括单位)，y轴所要表达的意义(包括单位)；
三看交点，即要看清图象与两轴的交点或两图象的交点所要表达的意义.
感悟新知
知4－讲
2. 两个一次函数图象的应用
两个一次函数图象的交点表示两条
直线的公共点，即点同时在两条直线上
图象交点的含义
几何意义
代数意义
实际意义
两个一次函数图象的交点满足两个函数表达式，即把交点的横、纵坐标分别代入两个表达式都成立
不同的实际问题，横、纵坐标代表的量不同，交点表示的含义也不同
知4－练
如图4-4-4，l1 表示某公司一种产品一天的销售收入与销售量的关系，l2 表示该公司这种产品一天的销售成本与销售量的关系，根据图象回答下列问题。
例4
考向：利用两个一次函数的图象解决实际问题
知4－练
(1)每当x=1 时，销售收入= ________万元，销售成本= ________万元，盈利(收入- 成本)= ________万元。
(2)一天销售 _______ 件时，销售收入等于销售成本。
(3)求l2 对应的函数表达式。
(4)你能写出利润W 与销售量间的函数表达式吗？
(5)一天销售多少件时，该公司盈利3 万元？
知4－练
思路导引：
知4－练
(1)每当x=1 时，销售收入= ________万元，销售成本= ________万元，盈利(收入- 成本)= ________万元。
(2)一天销售 _______ 件时，销售收入等于销售成本。
1
1.5
－0.5
2
求销售收入等于销售成本时x的值，即求两个一次函数图象的交点的横坐标
知4－练
(3)求l2 对应的函数表达式。
解：设l2 对应的函数表达式为y =kx+b (k ≠ 0)。
因为函数图象经过点(0，1)，(2，2)，
所以b=1，2 k+b=2，解得 = 。
所以l2 对应的函数表达式是y = x+1。
知4－练
(4)你能写出利润W 与销售量间的函数表达式吗？
解：因为l1 经过原点(0，0)和(2，2)，
所以易得l1 对应的函数表达式为y =x。
所以利润W 与销售量间的函数表达式为
W=x－( x+1)= x － 1。
知4－练
(5)一天销售多少件时，该公司盈利3 万元？
解：对于W= x － 1，当W=3 时， x － 1 =3，
解得x =8。
因此，一天销售8 件时，该公司盈利3 万元。
知4－练
感悟新知
4-1. [ 期中·青岛市南区] 甲无人机从地面起飞，乙无人机 从 距离地面 20 m高的楼顶起飞，10 s 内甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位： m)与无 人 机上升的时间 x(单位： s)之间的关系如图所示 .
变式训练
知4－练
感悟新知
(1) 分别求出甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y 与无人机上升的时间 x 之间的函数表达式；
解：设甲无人机y与x之间的函数表达式为y＝k1x.
将(5，40)代入，得5k1＝40，解得k1＝8.
所以甲无人机y与x之间的函数表达式为y＝8x.
设乙无人机y与x之间的函数表达式为y＝k2x＋b.
由函数图象可知，点(0，20)和点(5，40)在函数图象上，所以b＝20.
将(5，40)代入y＝k2x＋20，得5k2＋20＝40，解得k2＝4.
所以乙无人机y与x之间的函数表达式为y＝4x＋20.
感悟新知
(2)当两架无人机的高度差为10 m 时 , 求它们的上升时间 .
一次函数的应用
一次函数
的应用
两个变量的对应值
图象上点的坐标
求函数表达式
与一元一次方程
之间的关系
两个图象的交点(共36张PPT)
4.2 认识一次函数
第四章 一次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
“均匀”变化现象
一次函数与正比例函数
根据情境列一次函数关系式
知识点
“均匀”变化现象
知1－讲
1
1. 生活中随处可见“均匀”变化的现象，比如汽车在道路上匀速行驶，意味着每隔一段相同的时间，汽车行驶的距离相同。所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时， 另一个变量的改变量是相同的。
知1－讲
2. 如果一个变量y 随另一个变量x 变化，那么将关系式 y =ax+b (式中a，b 为常数)，说成是y 随x 均匀变化，即y 关于x 的变化率为a，a 不变(变化率不变)。
知1－讲
特别解读
在函数中“均匀”变化是两方面的，一方面自变量每次增加固定的数值，另一方面因变量每次改变的量相同。
知1－练
某公交公司的16 路公交车每月的支出费用为4 000 元， 每月的乘车人数x(单位：人)与这趟公交车每月的利润(利润= 收入费用- 支出费用)y (单位：元）的变化关系如下表所示(每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的)。
例1
考向：解决“均匀”变化问题
知1－练
请回答下列问题：
(1)自变量为 ________，因变量为 ______；
(2)求y 与x 之间的函数关系式；
(3)当每月乘车人数为4 000 人时，每月利润为多少元？
x/人 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 …
y/元 －3 000 －2 000 －1 000 0 1 000 2 000 …
知1－练
感悟新知
解题秘方：根据表格中的数量变化可得答案；
(1)自变量为 ___________________，
因变量为 ___________________；
每月的乘车人数
公交车每月的利润
知1－练
感悟新知
解题秘方：根据乘车人数与每月的利润的变化关系可求出每位乘客坐一次车需要的钱数，进而得出函数关系式；
(2)求y 与x 之间的函数关系式；
因为从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加
5 00 人，其每月的利润就增加1 000 元，
所以每位乘客坐一次车需要1 000÷500=2 (元)。
故函数关系式为y =2(x-5 00)-3 000=2 x－4 000。
知1－练
感悟新知
解题秘方：把x =4 000 代入函数关系式求出y 的值即可。
(3)当每月乘车人数为4 000 人时，每月利润为多少元？
当x =4 000 时，y =2×4 000-4 000=4 000。
因此当每月乘车人数为4 000人时，每月利润为4 000元。
知1－练
1-1. 在一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧长度y (单位：cm)与所挂物体的质量x (单位：kg)的几组对应值。
变式训练
知1－练
感悟新知
(1)本题反映的是弹簧长度y 与所挂物体质量x 这两个变量之间的关系，其中自变量是__________________ 。
所挂物体质量x
知1－练
感悟新知
(2) 写出弹簧长度y 与所挂物体质量x 的关系式，
并计算当弹簧的长度为46 cm 时，所挂物体的质量是多少千克(在弹簧的允许范围内)。
观察表格发现，不挂物体时弹簧的长度为28 cm，且所挂物体的质量每增加1 kg，弹簧就伸长2 cm，所以y＝28＋2x。
当y＝46时，46＝28＋2x，解得x＝9，
所以所挂物体的质量为9 kg。
知识点
一次函数与正比例函数
知2－讲
2
1. 定义：若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝ kx＋b(k，b为常数，k ≠ 0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0 时，称y是x的正比例函数.例如： y=4 x+5 是一次函数， y=4 x 是正比例函数 .
2. 一次函数与正比例函数的关系
(1)正比例函数y＝kx(k 为常数， k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数， k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
(2)若已知y与x成正比例，则可设函数关系式为y＝kx
(k ≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数关系式为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0).
知2－讲
特别提醒
1. 一次函数y＝kx＋b 的结构特征：
(1)自变量x 的次数是1；
(2)一次项系数k≠0；
(3) 常数项b可以是任意实数.
2. 对一次函数而言，自变量每增加1 ，函数值就增加k，函数值的变化是“均匀”的。
知2－讲
知2－练
下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？
(1)y＝－2x2； (2)y＝；
(3)y＝3x2－x(3x－2) ； (4) y=－ .
例1
考向：利用一次函数的定义解涉及一次函数的问题
题型1 一次函数的定义在辨识中的应用
知2－练
思路导引：
知2－练
(1)y＝－2x2；
(2)y＝；
解：因为x的次数是2，所以y＝－2x2不是一次函数.
因为y＝＝x＋，k＝，b＝，
所以y＝是一次函数，但不是正比例函数.
知2－练
解：因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，
所以它是一次函数，也是正比例函数.
(3)y＝3x2－x(3x－2)
(4) y=－
先化简，再判断
因为 y=－ 中， － 不是整式，所以它不是一次函数 .
知2－练
2-1. 下列函数中，y是x的一次函数的是( )
A. y＝－3x＋5 B. y＝－3x2
C. y＝ D. y＝π
A
变式训练
知2－练
感悟新知
2-2.已知 x，y 是两种相关联的量，下面函数中的 x，y 成正比例关系的是( )
A. y=x B. =
C. x+y=10 D. =y
A
知2－练
已知函数y=(m－3)x3-|m| +m+2。
(1)当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？
(2)当m 为何值时，y 是x 的一次函数？
例3
题型2 一次函数的定义在求字母的值中的应用
知2－练
感悟新知
解题秘方：对于形如 y=kxn+b( k， b 为常数)的函数，若它是一次函数，则有 k ≠ 0， n=1；若它是正比例函数，则有 k ≠ 0，n=1， b=0. 根据条件列出方程，一定不能忽略条件 k ≠ 0.
知2－练
(1)当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？
(2)当m 为何值时，y 是x 的一次函数？
解：由题意得解得m=－2。
所以当m= － 2 时，y 是x 的正比例函数。
由题意得解得m=±2。
所以当m=±2 时，y 是x 的一次函数。
知2－练
感悟新知
3-1.已知 y=(k－3) x+k2－9 是关于 x 的正比例函数，求当 x=－4 时， y的值 .
解：因为当k2－9＝0，且k－3≠0时，y是x的正比例函数，
所以当k＝－3时，y是x的正比例函数．
所以y＝－6x.
当x＝－4时，y＝－6×(－4)＝24.
变式训练
知3－讲
知识点
根据情境列一次函数关系式
3
列一次函数关系式的步骤
(1)认真分析，理解题意；
(2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系；
(3)写出一次函数的关系式；
(4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义.
特别提醒
确定一次函数关系式的方法：
1.按等量关系写出含有两个变量的等式；
2.将等式变形为用含有自变量的式子表示一次函数关系式的形式.
知3－讲
感悟新知
[母题 教材P81例1 ]写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断： y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？
(1)三角形的一边长为 8 cm, 三角形的面积 y(单位：cm2)与此边上的高 x(单位：cm)的关系；
(2)汽车行驶前，油箱中有油65 L，已知汽车每行驶10 km耗油1.5 L，油箱的余油量y(单位：L)与已行驶的距离x (单位：km)之间的关系；
(3)设一长方体盒子高为10 cm，底面是正方形，求这个长方体的体积y(单位：cm3)与底面边长x(单位：cm)之间的关系.
例3
知3－练
感悟新知
解题秘方：紧扣题目中的等量关系，先列出两个变量之间的关系，然后再写成一次函数的形式 .
感悟新知
解：由三角形的面积=× 底× 高，得y = ×8×x,
即y =4 x，y 是x 的一次函数，也是x 的正比例函数。
(1)三角形的一边长为 8 cm, 三角形的面积 y(单位：cm2)与此边上的高 x(单位：cm)的关系；
知3－练
感悟新知
解：由余油量= 原油量－耗油量，得y =65－x，即y = － 0.15x+6 5，y 是x 的一次函数，但不是x 的正比例函数。
(2)汽车行驶前，油箱中有油65 L，已知汽车每行驶10 km耗油1.5 L，油箱的余油量y(单位：L)与已行驶的距离x (单位：km)之间的关系；
知3－练
感悟新知
解：由长方体的体积= 底面积× 高，得y =x2×10，即y =10x2，y 不是x 的正比例函数，也不是x 的一次函数。
(3)设一长方体盒子高为10 cm，底面是正方形，求这个长方体的体积y(单位：cm3)与底面边长x(单位：cm) 之间的关系.
知3－练
感悟新知
4-1.甲、乙两地相距200 km, 现有一列火车从乙 地出发，以 80km/h 的速度向甲地行驶 . 设x(单位：h)表示火车行驶的时间， y(单位： km)表示火车与甲地的距离 .
(1)写出 y 与 x 之间的表达式，并判断 y 是否为 x 的一次函数；
解：根据题意，得y＝－80x＋200，
所以y是x的一次函数．
变式训练
知3－练
知3－练
感悟新知
(2)当 x=1.5 时，求 y的值 .
解：当x＝1.5时，y＝－80×1.5＋200＝80.
认识一次函数
关系式
一次函数
y＝kx＋b(k≠0)
特 殊
正比例函数
关系式
y＝kx(k≠0)
b＝0(共32张PPT)
4.1 函数
第四章 一次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
函数的概念
函数的三种表示方法
函数的自变量与函数值
知识点
函数的定义
知1－讲
1
函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.例如y=2 x， y= 等， y 是 x 的函数 .
知1－讲
说明：(1)在函数中定义的两个变量x，y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)；(2)函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系.
知1－讲
特别提醒
函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有 一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同. 如函数y＝x2，当x＝1 和x＝－1 时，y的对应值都是1.
知1－练
感悟新知
给出下列各式：① y=－ x+ 3；② y=x+2z；③ y=2；
④ y=|x|；⑤ y2=2x．其中表示 y 是 x 的函数的是( )
A．0 个 B．1个
C．2个 D．3个
例1
考向：利用函数的定义判断函数关系
知1－练
感悟新知
解题秘方：判断一个关系是否是函数关系，一看是否在一个变化过程中；二看是否存在两个变量；三看对于自变量每取一个确定的值，因变量是否都有唯一确定的值与其对应。
知1－练
感悟新知
解：②中，存在三个变量，故y 不是x 的函数；③中，不存在两个变量，故y 不是x 的函数；⑤中，当x=1 时，y= 或－ ，即x 取一个正值，y 有两个不同的值与之对应，故y 不是x 的函数；① ④中，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，故y 均是x 的函数。
答案：C
知1－练
感悟新知
1-1.下列各式，不能表示 y 是 x 的函数的式子是( )
A． x=y2+1
B． y=2x2+1
C． y=4x － 1
D． x= (y ≥ 0)
A
变式训练
知2－讲
知识点
函数的三种表示方法
2
1. 函数的三种表示方法
表示方法 定义 优点 缺点
列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与它对应的函数值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律
知2－讲
续表
表示方法 定义 优点 缺点
关系式法 用数学式子表示函数关系的方法叫做关系式法. 其中的等式叫做函数关系式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数值的对应关系 从函数关系式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用关系式法表示出来
知2－讲
续表
表示方法 定义 优点 缺点
图象法 用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值
知2－讲
2. 列函数关系式
根据实际问题列函数关系式的方法类似于列方程解应用题，只要找出自变量与函数值之间存在的等量关系，列出等式即可. 但要整理成用含自变量的代数式表示函数值的形式.
知2－讲
特别提醒
1. 函数的三种表示方法可以互相转化，在应用中，要根据三种表示方法的特点选用适当的表示方法，或者 三种方法结合起来使用.
2. 并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来. 如气温与时间的函数关系，只可用列表法和图象法表示，而无法用关系式法表示.
知2－练
[母题 教材P77随堂练习T1 ]在一昼夜中正常人的体温是随时间而变化的，图4-1-1是某人一昼夜体温变化的图象. 根据图象回答下列问题.
例2
考向：利用函数的三种表示方法解决问题
知2－练
(1)这个人的最高体温和最低体温分别是多少摄氏度？在什么时刻达到最高或最低？
(2)若用x(单位：时)表示时间，y(单位： ℃)表示体温，将相应数据填入下表.
x/时 2 4 8 12 16 18 20 22
y/℃
(3) y是x的函数吗？
知2－练
(1)这个人的最高体温和最低体温分别是多少摄氏度？在什么时刻达到最高或最低？
解：这个人18时的体温达到最高，为37.5℃，24时的体温达到最低，约为35.2℃ .
解题秘方：紧扣函数三种表示方法的优点，从每种表示方法中获取信息解决问题.
知2－练
(2)若用x(时)表示时间，y(℃)表示体温，将相应数据填入下表.
x/时 2 4 8 12 16 18 20 22
y/℃
35.5 36 37 36.5 37 37.5 37 36.5
(3) y是x的函数吗？
解：y是x的函数.
知2－练
感悟新知
2-1.如图，表示一个运动小球与出发点的距离s
(单位：cm)与运动时间t (单位：s)之间的关系。
(1)下列说法正确的是 _________ (填序号)。
①小球在1~3 s 时匀速运动
②小球在3~8 s 时匀速运动
③ 小球最快的速度是10 cm/s
①③
知2－练
感悟新知
(2)根据图象填写下表：
(3)小球与出发点的距离s(cm)可以看成时间t(s)的函数吗？
时间t/s 0 1 2 3 8 12
距离s/cm
0
10
20
30
30
0
对于小球与出发点的距离s(cm)与时间t(s)，每确定一个t的值，s都有唯一确定的值与它对应，因此小球与出发点的距离s(cm)可以看成时间t(s)的函数。
感悟新知
知3－讲
知识点
函数的自变量与函数值
3
1. 函数自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做函数的自变量的取值范围 .
2. 确定自变量的取值范围需要从两个方面考虑
(1)使函数表达式本身有意义；
(2)实际问题中还需要使实际问题有意义 .
感悟新知
知3－讲
3. 常见函数自变量取值范围的确定
类型 特点 举例 自变量的
取值范围
自变量在整式中 等号右边是整式 y=2x2－1 全体实数
自变量在分母中 等号右边的自变量在分母的位置上 使分母不为 0 的实数
自变量在 二次根号下 等号右边是开平方的式子 使被开方数大于或等于 0 的实数
感悟新知
知3－讲
续表
类型 特点 举例 自变量的取值范围
自变量是零次幂 (负整数次幂 ) 的底数 等号右边是自变量的零次幂或负整数次幂 y=x0， y=x－2 使幂的底数不为0 的实数
综合型 综合以上至少两种类型的特点 使各部分都有意义的实数的公共部
感悟新知
知3－讲
4. 函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值 .
知3－讲
感悟新知
特别提醒
(1)函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值；
(2)一般一个函数的函数值是随着自变量的值的变化而变化的，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值．
知3－练
感悟新知
考向：已知函数表达式，给定自变量求对应函数值或给定函数值，求对应自变量的值
知3－练
感悟新知
如果用c 表示摄氏温度，f 表示华氏温度，那么c 与f 之间的关系式为c= (f-32)，试分别求：
(1)当f=68 和f=－4 时，c 的值；
(2)当c=10 时，f 的值。
例3
知3－练
感悟新知
解题秘方：已知函数表达式：(1)已知自变量的值求对应的函数值，实质就是利用代入法求代数式的值；(2) 已知函数值求对应的自变量的值，实质就是解方程，方程的解就是对应的自变量的值。
知3－练
感悟新知
(1)当f=68 和f=－4 时，c 的值；
(2)当c=10 时，f 的值。
解：当f=6 8 时，c= (f-32)= ×(6 8-32)=20。
当f =－4 时，c= (f-32)= ×(－4－32)=－20。
当c=10 时， (f-32)=10，解得f =5 0。
知3－练
感悟新知
3-1.已知三角形的周长为 y，三边长分别为 9， 5 ，x.
(1)求 y 关于 x 的函数表达式及其自变量 x 的取值范围．
解：由三角形的周长公式，得y＝x＋14.
由三角形的三边的关系，得4＜x＜14.
变式训练
知3－练
感悟新知
(2)当 x=6 时，求 y 的值 .
(3)当 y=19.5 时，求 x的值．
解：当x＝6时，y＝6＋14＝20.
当y＝19.5时，x＋14＝19.5，所以x＝5.5.
函数
函数
自变量的取值范围
函数值
列表法
关系式法
图象法(共47张PPT)
4.3 一次函数的图象
第四章 一次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
函数的图象
正比例函数的图象和性质
一次函数的图象和性质
知识点
函数的图象
知1－讲
1
1. 函数的图象：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
对应
函数
描点
自变量
函数值
横坐标
纵坐标
组成的
图形
函数的
图象
感悟新知
2. 画函数图象的一般步骤
知1－讲
步骤 内容 注意
列表 列表给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌
描点 以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的各点 描点时取点越多，图象就越准确
感悟新知
续表
知1－讲
步骤 内容 注意
连线 按照各点横坐标由小到大的顺序把这些点依次连接起来 要用平滑的线将所描的点顺次连接起来
知1－讲
特别提醒
函数图象与函数关系式之间的对应关系：
1. 函数图象上任意点的坐标(x，y)均满足该图象对应的函数关系式，即函数图象是由满足该函数关系式的所有点组成的图形；
2. 满足函数关系式的任意一对x，y 的值所对应的点(x，y)一定在该函数图象上。
知1－练
(1) 画出函数y＝2x－1的图象；
(2)判断点(5，9)，(7，15)是否在此函数的图象上.
例1
考向：利用函数的图象与点的坐标间的关系解相关问题
知1－练
(1)画出函数y＝2x－1的图象；
解题秘方：画函数图象的一般步骤：列表→ 描点→ 连线；
解：列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … －5 －3 －1 1 3 …
取点时，一般先取横坐标为 0 的点，再取该横坐标左右对称的其他点 .
知1－练
描点、连线就得到函数y＝2x－1的图象(如图4-3-1).
知1－练
(2)判断点(5，9)，(7，15)是否在此函数的图象上.
解题秘方：判断一个点是否在函数图象上的方法是将点的坐标代入函数表达式，看是否满足该函数表达式 .
解：当x＝5时，y＝2×5－1＝9，所以点(5，9)在此函数的图象上.
当x＝7时，y＝2×7－1＝13 ≠ 15, 所以点(7，15)不在此函数的图象上.
知1－练
感悟新知
1-1. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 y=－x+2的图象 .
解：画出的图象如下．
变式训练
(2)若点P(a，2)在函数y=-x+2 的图象上，则a=_______。
0
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知2－讲
知识点
正比例函数的图象和性质
2
1.正比例函数的图象及其画法
图象 正比例函数 y=kx的图象是一条经过原点(0，0)的直线，我们称它为直线 y=kx
特别解读： 有些正比例函数的图象因其自变量取值范围的限制， 并不一定是一条直线， 可能是一条射线、 一条线段或一些点
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1.用两点法画函数图象时，因为图象过原点，所以(0，0)这点必选，而(1，k) 这点因函数关系式而定，选取时，最好使所选点的横、纵坐标为整数，这样比较容易描点 .
2.如果某函数图象是直线且经过原点( 坐标轴除外 )，那么它对应的函数是正比例函数 .
感悟新知
知2－讲
续表
画法 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 y=kx 的图象 . 一般选(0，0)和(1， k)两点比较简便
特别解读：正比例函数 y=kx中， |k| 越大，直线与 x 轴相交所成的锐角越大，直线越陡； |k| 越小，直线与 x 轴相交所成的锐角越小，直线越缓
感悟新知
知2－讲
2.正比例函数的性质
类别 k>0 k<0
图象
知2－讲
特别提醒
对于正比例函数y=kx，k的符号、图象所经过的象限、函数的增减性这三者，知其中一者，则可知其他两者 .
知2－讲
续表
k>0 k<0
图象形状 过原点，从左向右是上升的直线(↗) 过原点，从左向右是下降的直线(↘)
经过的象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
知2－讲
特别解读： y=kx中的 |k| 越大，直线与x 轴的夹角(锐角)就越大， y 的值随 x 值的增加而增加(或减小)得越快 .
知2－练
在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝5x和y＝x的图象.
解题秘方：按“两点法”找(0，0)和(1，k)作图.
解：列表：
x 0 1
y＝5x 0 5
y＝x 0 1
描点、连线，如图4-3-2.
例2
考向1：画正比例函数的图象
知2－练
2-1. 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y=－x，y=－0.6x的图象.
解：如图所示.
变式训练
知2－练
考向2：利用正比例函数的图象和性质比较函数值的大小
已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，点B (－2，y2)，则y1______y2(填“>”“<”或“=”).
＞
例3
解题秘方：正比例函数中比较函数值大小的方法：
(1)求值比较法；(2)用“形”上的点的位置比较“数”的大小；(3)利用函数的增减性比较大小 .
知2－练
解：方法一 把点A、B的坐标分别代入y＝3x，
当x＝－1 时，y1＝3×(－1)＝－3；
当x＝－2 时，y2＝3×(－2)＝－6.
因为－3>－6，所以y1>y2.
方法二 画出正比例函数y＝3x的图象，
在函数图象上标出点A、B，如图4-3-3所示.
因为y1在y2的上方，所以y1>y2.
知2－练
方法三 根据正比例函数的增减性比较函数值的大小. 因为k＝3>0，所以y随x的增大而增大，
因为－1>－2，所以y1>y2.
知2－练
3-1. 如图已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y=－2x 的图象上，若x1A. y1>y2 B. y1C. y1=y2 D. y1 ≥ y
A
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知3－讲
知识点
一次函数的图象和性质
3
1.一次函数的图象及其画法
图象 一次函数 y=kx+b的图象是一条直线，它与正比例函数y=kx 的图象相互平行，我们称它为直线 y=kx+b
感悟新知
知3－讲
续表
画法
(2) 平移法： 一次函数 y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx沿 y 轴向上( b>0)或向下( b<0)平移｜ b｜ 个单位得到；反之，正比例函数y=kx的图象也可以通过沿y 轴平移一次函数y=kx+b 的图象得到
感悟新知
知3－讲
2.一次函数的图象和性质
一次函数y＝kx＋b的图象和性质与k，b 的符号间的关系：
k，b 的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b＝0 b>0 b<0 b＝0
图象的 位置
知3－讲
续表
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点
经过的 象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限
知3－讲
感悟新知
特别提醒
1.由 k，b 的符号可以确定直线y=kx+b(k，b为常数，k ≠ 0)所经过的象限；反之，由直y=kx+b(k，b 是常数，k ≠ 0)所经过的象限也可以确定 k，b 的符号 .
2. k 决 定 一 次 函 数y=kx+b(k，b 为常数，k ≠ 0)的增减性，b 决定函数图象与 y 轴交点的位置 .
感悟新知
知3－讲
3. 一次函数图象的平移规律
原直线表达式 平移方式 平移后的新直线表达式 简记
y＝kx＋b 向上平移n (n>0)个单位 y＝kx＋b＋n 上加下减
向下平移n (n>0)个单位 y＝kx＋b－n 向左平移n (n>0)个单位(拓展) y=k(x+n)+b 左加右减
向右平移n (n>0)个单位(拓展) y=k(x－n)+b
知3－讲
感悟新知
特别解读
一次函数的增减性，只取决于k 的符号，与b无关。
感悟新知
知3－讲
拓展：同一平面直角坐标系中两直线(l1：y =k1x+b1
(k1 ≠ 0)，l2:y =k2x+b2(k2 ≠ 0) )的位置关系：
k1，k2，b1，b2 的关系 l1 与l2 的关系
k1 ≠ k2 l1 与l2 相交
k1 ≠ k2，b1=b2 l1 与l2 相交于y 轴上的同一点(0，b1)或(0，b2)
k1=k2，b1 ≠ b2 l1 与l2 平行
k1=k2，b1=b2 l1 与l2 重合
知3－讲
感悟新知
拓宽视野
若k1，k2互为相反数，且b1 =b2 ，则l1 与l2关于y 轴对称。
知3－练
[母题 教材P92随堂练习T1]在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象：
(1)y1＝2x－1；(2)y2＝2x；(3)y3＝2x＋2.
然后观察图象，你能得到什么结论？
例4
考向：利用一次函数的图象和性质解决问题
题型1 “两点法”在画一次函数图象中的应用
解题秘方：紧扣一次函数图象的画法作图.
知3－练
解：列表如下：
x 0 1
y1 －1 1
x 0 1
y2 0 2
x 0 1
y3 2 4
描点、连线，即可得到它们的图象，
如图4-3-4.
知3－练
从图象中我们可以看出：它们是一组互相平行的直线，因为这组函数的表达式中k的值都是2.
结论：一次函数中的k值相等(b值不相等)时，其图象是一组互相平行的直线. 它们可以通过互相平移得到.
知3－练
感悟新知
4-1.填表，并在如图的平面直角坐标系中画出 一 次 函数 y=x+2 的图象 .
(1)列表：
(2)描点、连线：
1
x －1 0
y=x+2 ________ ________
2
解：如图．
变式训练
知3－练
已知点(－2，y1)，(－ 1，y2)，(1，y3)都在直线y=2x-3 上，则y1，y2，y3的值的大小关系是 ____________。
例5
题型2 一次函数的性质在比较函数值大小中的应用
思路导引：
知3－练
答案：y 3>y 2>y1
解：因为函数y =2 x-3 中，k =2>0，所以y 的值随x 值的增大而增大。
因为点(－2，y1)，(-1， y2)，(1 ， y3 )都在直线y =2 x － 3 上，且-2<-1<1，所以y 3 > y 2>y1。
知3－练
感悟新知
5-1. [模拟·扬州] 在函数y=(－ k2 － 1)x+3 的图象上有A(1， y1 )，B(-1， y2 )，C(－ 2， y3 )三个点，则y1 ， y2 ， y3的大小关系用“<”连接为 ___________。
y1< y2< y3
变式训练
知3－练
已知一次函数y=kx－1 (k ≠ 0)，若y 随x 的增大而减小，则它的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
例5
题型3 一次函数的图象和性质的综合
解题秘方：先根据一次函数的增减性得出k 的正负，再结合b 的值判断函数图象的位置。
知3－练
答案：A
解：因为一次函数y=kx－1 (k ≠ 0)，y 随x 的增大而减小，所以k < 0。
所以图象一定经过第二、四象限。
因为b= － 1，所以该一次函数的图象一定过第二、三、四象限，不经过第一象限。
知3－练
感悟新知
6-1. 已知直线y=kx +b (k，b 是常数)经过点(1，1)，且y 随x 的增大而减小，则b 的值可以是 _________________ (写出一个即可)。
2(答案不唯一)
变式训练
知3－练
在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－3x－2 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式为( )
A. y＝－3x－9 B. y＝－3x－2
C. y＝－3x＋2 D. y＝－3x＋9
例7
题型4 利用一次函数图象的平移求函数表达式
知3－练
解题秘方：紧扣“平移规律：上加下减、左加右减”进行求解.
解：将直线y＝－3x－2 向左平移1 个单位得
直线y＝－3(x＋1)－2，即y＝－3x－5，
再向上平移3 个单位，即将直线y＝－3x－5 向上平移3个单位，得直线y＝－3x－5＋3，即y＝－3x－2.
答案：B
左加右减(只改变x)
上加下减(只改变b)
知3－练
感悟新知
7-1.直线 y=－2x+b 过点(2，1)，将它向下平移 2 个单位后所得直线的表达式是________________ .
y＝－2x＋3　
变式训练
一次函数的图象
函数图象
点的坐标与表达式
图象之间的关系
正比例函数
一次函数
画法
性质

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