资源简介

(共33张PPT)
*5.5 三元一次方程组
第五章 二元一次方程组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
三元一次方程(组)及其解的概念
三元一次方程组的解法
列三元一次方程组解决实际问题
知1－讲
感悟新知
知识点
三元一次方程（组）及其解的概念
1
1. 三元一次方程(组)的概念
概念 必备条件
三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫做三元一次方程 (1)是整式方程；
(2)含有三个未知数；(3)一次方程
三元一次方程组 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组 (1)是整式方程；
(2)含三个未知数；(3)三个一次方程
感悟新知
知1－讲
特别提醒
易误认为三元一次方程组中每个方程必须是三元一次方程，组成三元一次方程组中的某个方程可以是一元一次方程、二元一次方程或三元一次方程.实际上，只需方程组中共有三个未知数即可 .
感悟新知
2.三元一次方程组的解：
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解 .
知1－讲
知1－练
感悟新知
下列方程组中，是三元一次方程组的是 ______ (填序号)
① ②③④
例1
考向：利用三元一次方程组及其解的定义解决问题
题型1 三元一次方程组的定义在识别中的应用
知1－练
感悟新知
解题秘方：满足三元一次方程组的条件是：（1）方程组中一共含有三个未知数；（2）含未知数的项的次数都是1；（3）方程组中共有三个整式方程。
知1－练
感悟新知
解：
答案：①
序号 理由 判断
① 符合三元一次方程组的定义 是
② 只有两个方程，且 不是整式方程 否
③ 含有四个未知数 否
④ 方程xz=2 中的xz 项的次数是2 否
知1－练
1-1. 下列方程组不是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
B
变式训练
知1－练
感悟新知
题型2 三元一次方程组的解的定义在判断方程组的解中的应用
知1－练
感悟新知
下列方程组中，解为的方程组是( )
A. B.
C. D.
例2
知1－练
感悟新知
解题秘方：三元一次方程组的解的验证方法：把已知的数值代入方程组中的每一个方程，只有同时满足三个方程，才是方程组的解。
知1－练
感悟新知
解：把分别代入四个选项一一验证即可。对于选项A ，x+y+z= 1 + 1 + 2 = 4 ，2x+yz = 2 × 1 + 12 = 1 ，3x+2 y4z=3×1+2×14×2=-3，三个方程均成立。代入其他三个选项中均有不成立的方程。
答案：A
知1－练
2-1. 下三元一次方程组的解是( )
A. B. C. D.
D
变式训练
感悟新知
知2－讲
知识点
三元一次方程组的解法
2
1. 解三元一次方程组的思路：解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”—把“三元”化“二元”，再化为“一元”。
感悟新知
知2－讲
2. 解三元一次方程组的一般步骤
(1)消元：利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两个方程组，分别消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个含有最后一个未知数，且系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)求解：解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)写解：将求得的三个未知数的值用“{”联立在一起。
知2－讲
特别提醒
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该根据方程组中各方程的特点选择最为简便的解法，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元.
知2－练
[母题 教材P135例题]解方程组：
(1) (2)
例3
不含未知数z
考向：利用解三元一次方程组的一般步骤解三元一次方程组
解题秘方：方程组中的“消元”技巧
(1)当方程组中含某个未知数的项的系数成整数倍关系或相对较简单时，可先消去这个未知数；
(2)当某个方程中缺少含某未知数的项时，可以先从另外两个方程中消去这个未知数。
知2－练
解：① ×2＋②，得5x＋8y＝7. ④
解由③与④组成二元一次方程组解得
把x＝3，y＝－1 代入①，得3＋3×(－1)＋2z＝2，解得z＝1.
所以原方程组的解是
(1)
消去未知数z
解关于X，
y的方程组
写出方程组的解
知2－练
解：①＋③，得3x＋5y＝11；④
③×2＋②，得3x＋3y＝9，即x＋y＝3. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组解得
把x＝2，y＝1 代入③，得2＋2－z＝5，所以z＝－1.
所以原方程组的解是
(2)
知2－练
3-1. 解下列方程组：(1)
变式训练
知2－练
知2－练
(2)
知2－练
知3－讲
知识点
列三元一次方程组解决实际问题
3
列三元一次方程组解决实际问题的步骤
(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系；
(2)找出能够表达应用题全部含义的三个相等关系；
(3)根据相等关系列出方程，建立方程组；
(4)解方程组求出未知数的值；
(5)写出答语，包括单位名称.
知3－讲
特别提醒
1. 一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组.
2. “设” “答”两步都要写清单位名称，应该注意单位是否统一.
知3－练
某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶途中有一坡度均匀的小山. 该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h. 假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
例3
考向：利用三元一次方程组解决问题
知3－练
解题秘方：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间+ 平路时间+ 下坡时间＝2.3 h.
知3－练
解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的
长度分别是x km，y km，z km.
由题意，得解得
所以，从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km.
知3－练
感悟新知
4-1.小明所带的钱只能购买如图三件物品中的两件 . 已知毛笔与砚台的价格之和为 118 元，毛笔与笔洗的价格之和为 108 元，砚台与笔洗的价格之和为 96 元 . 求毛笔、砚台、笔洗的单价分别为多少？
变式训练
知3－练
三元一次方程组
三元一次
方程组
建立三元
一次方程
组的模型
应用
解法
消元
二元一次
方程组(共27张PPT)
5.2 二元一次方程组的解法
第五章 二元一次方程组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
用代入消元法解二元一次方程组
用加减消元法解二元一次方程组
知识点
用代入消元法解二元一次方程组
知1－讲
1
1.代入消元法:将方程组中其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法。
消元：“二元”变“一元”
知1－讲
2.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤
步骤 具体做法 目的 注意事项
(1)变形 选取一个二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)(a，b 是常数，a ≠ 0)的形式 一般选未知数系数比较简单的方程变形
(2)代入 把y＝ax＋b(或 x＝ay＋b)代入另一个方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 变形后的方程只能代入另一个方程(或另一个方程变形后的方程)
知1－讲
续表
步骤 具体做法 目的 注意事项
(3)求解 解消元后的一元一 次方程 求出一个未知数的值 去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号
(4)回代 把求得的未知数的 值代入步骤(1)中变形后的方程 求出另一个未知数的值 一般代入变形后
的方程
(5)写解 把两个未知数的值 用大括号联立起来 表示为 的形式 用“｛”将未知数的值联立起来
知1－讲
特别提醒
1. 将方程组中的一个二元一次方程写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，是用代入消元法解二元一次方程组的前提和关键，其方法就是利用等式的性质将其中一个方程变形为y=ax+b(或x=ay+b)的形式，其中a，b 为常数，a≠0。
2. 用含一个未知数的式子表示另一个未知数后，应代入另一个方程求解，否则会造成“循环代入”，导致求不出解.
知1－练
[母题教材P117 随堂练习T1]用代入消元法解下列方程组：(1)[中考·浙江] (2)
例1
考向：利用代入消元法解二元一次方程组
知1－练
解题秘方：选取变形方程的原则：
1. 含未知数项的系数为1 或 1 的方程；
2. 常数项为0 的方程；
3. 若含未知数的项的系数都不为1 或1，则选取系数绝对值较小的方程。
知1－练
解：由①，得y=2x-5。③
把③代入②，得4x+ 3(2x－ 5)= － 10 .
解这个方程，得x＝ .
将x= 代入③，得y＝－4.
所以这个方程组的解是
(1)
变形(用含x 的式子表示y)
代入(消去y)
求解(求出x 的值)
回代(求出y 的值)
写解
知1－练
解：将原方程组整理为
由①，得3y＝2x－1. ③
把③代入②，得4x－(2x－1)＝－5.
解这个方程，得x＝－3.
把x＝－3 代入③，得3y＝2×(－3)－1.
解这个方程，解得y＝－.所以这个方程组的解是
(2)
如果方程组中某一未知数的系数成倍数关系或相同，那么可用整体代入法先消去这个未知数，再求解.
知1－练
1-1. [中考·株洲] 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到(　　)
A. x＋2x－1＝7
B. x＋2x－2＝7
C. x＋x－1＝7
D. x＋2x＋2＝7
B
变式训练
知1－练
1-2. 用代入消元法解下列方程组：
(1)
知1－练
(2)
知2－讲
知识点
用加减消元法解二元一次方程组
2
1. 加减消元法：通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法。
知2－讲
2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤
步骤 具体做法 目的 注意事项
(1)变形 根据绝对值较小的未知数的系数的最小公倍数，给方程的两边都乘适当的数 使该未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数 给某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘
知2－讲
续表
步骤 具体做法 目的 注意事项
(2)加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消去一个未知数，将二元一 次方程组转化为一元一次方程 把两个方程相加(减)时，一定要把两个方程两边分别相加(减)
知2－讲
续表
步骤 具体做法 目的 注意事项
(3)求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值
(4)回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程 求出另一个 未知数的值 回代时选择系数较简单的方程
(5)写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为 的形式 用“｛”将未知数的值联立起来
知2－讲
特别提醒
1. 两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，解方程组应考虑用加减消元法.
2. 如果两个未知数中，同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，我们应设法将其中一个未知数的系数的绝对值转化为相等关系.
3. 用加减消元法时，一般选择系数比较简单(同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系)的未知数作为消元对象.
知2－练
[母题教材P118 随堂练习T1 ]用加减消元法解下列方程组：(1)(2)
(3)
考向： 利用加减消元法解二元一次方程组
例2
含未知数y 的系数互为相反数
系数成整数倍
知2－练
解题秘方：(1)中未知数y 的系数互为相反数，两个方程相加就可消去y。(2)中方程①中y 的系数的绝对值是方程②中y 的系数的绝对值的3 倍，可把方程②的两边都乘3，与方程①相加，从而消去y。(3)中x，y 的系数的绝对值的最小公倍数分别为12，6，选择消去系数较简单的，即消去y。
知2－练
解：① + ② , 得4x=8，解得x=2。
把x=2 代入①，得2 +y=3，解得y=1。
所以这个方程组的解是
(1)
两方程相加消去y，求出x的值
回代(求出y 的值)
写解
知2－练
(2)
解：①×3，得51x－9y＝222. ③
① + ③，得5 9x=295 。解得x=5。
把x=5 代入①，得8×5+9y=7 3 ，
解得y= 。
所以原方程组的解是
变形(能用加减法消元)
消元(求出x 的值)
回代(求出y 的值)
写解
知2－练
(3)
解：①×2 ，得8x+6y=6 ，③
②×3 ，得9x+6y=15。④
④ - ③ ，得x=9。
把x=9 代入①，得4×9+3y=3，
解得y= －11 。
所以原方程组的解是
变形(能用加减法消元)
两方程相减消去y，求出x 的值
回代(求出y 的值)
写解
知2－练
2-1. 用加减消元法解下列方程组：
(1) (2)
变式训练
知2－练
解：①＋②，得6x＝12，解得x＝2.
把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，解得y＝1.
所以原方程组的解为
(1)
知2－练
(2)
解：①×3，得6x＋9y＝9. ③
②×2，得6x＋4y＝14. ④
③－④，得5y＝－5，解得y＝－1.
把y＝－1代入①，得2x＋3×(－1)＝3
解得x＝3.
所以这个方程组的解为
二元一次方程组的解法
解二元一
次方程组
消元
代入
消元法
加减
消元法
转化
一元一次方程(共32张PPT)
5.1 认识二元一次方程组
第五章 二元一次方程组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二元一次方程
二元一次方程组
二元一次方程的解
二元一次方程组的解
知识点
二元一次方程
知1－讲
1
定义 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程
条件 (1)必须是整式方程(分母中不含未知数)；
(2)方程中含有两个未知数(二元)；
(3)含有未知数的项的次数都是1(一次)
一般形式 ax+by=c( a， b， c 为常数，且 ab ≠ 0)
示例 x－2y+1=0， x+y=5
知1－讲
特别提醒
“所含未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1， 例如2xy＋1＝0 不是二元一次方程.
知1－练
有下列方程： ① 2x-5y；② 2(x+2y)=4y；③ 3x － 4y=5z；④ xy-7y=3； ⑤ 6x－1= ； ⑥ x2+2y=3x； ⑦+3y=1；⑧=6. 其中二元一次方程有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
例1
考向：利用二元一次方程的定义识别二元一次方程
先化简，后判断
不是整式
知1－练
解题秘方：一看原方程是不是整式方程；二看是否只含有两个未知数；三看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1。
知1－练
解：
序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
判 断 条 件 是否为整式方程 × √ √ √ √ √ × √
化简后，是否含有两个未知数 × × √ √ √
含未知数的项的次数是否都为1 × √ × √
结论 × × × × √ × × √
答案：B
知1－练
1-1. 下列四个方程是二元一次方程的是( )
A. xy－x＝8
B. 3x＋1＝2x－y
C. ＋2y＝5
D. x2－y2＝1
B
变式训练
知1－练
1-2. 若方程3x＋4y＝my＋10 是关于x，y的二元一次方程，则m的取值范围是________.
m≠4
感悟新知
知2－讲
知识点
二元一次方程组
2
定义 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的
一组方程，叫做二元一次方程组
条件 (1)两个方程都是整式方程；(2)共含两个未知数；(3)两个方程都是一次方程
示例 方程 x+y=2 和 2x－y=4 中， x， y 所代表的对象分别相同，因而 x， y 必须同时满足方程 x+y=2 和 2x－y=4，把它们联立起来，得
知2－讲
感悟新知
特别提醒
二元一次方程组的 “二元”“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数，只要共同含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程都是二元一次方程组 .
知2－练
有下列方程组：
① ② ③
④ ⑤
其中二元一次方程组有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
例2
考向：利用二元一次方程组的定义解决问题
知2－练
思路导引：
知2－练
答案：A
解：①方程组中第一个方程含未知数的项xy 的次数不是1；②方程组中第二个方程不是整式方程；③方程组中共有
3个未知数. 只有④满足，④中的π是常数. ⑤方程组中第
二个方程含未知数的项 x2， y2 的次数都为 2. 所以二元
一次方程组有 1 个 .
知2－练
2-1. 下列方程组不是二元一次方程组的是_______.(填序号)
①②
③④
②③④
变式训练
感悟新知
知3－讲
知识点
二元一次方程的解
3
定义 使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解
示例 x=6， y=2 是方程 x+y=8 的一个解，记作
判断方法 判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值代入方程，看等式是否成立
知3－讲
感悟新知
特别提醒
1.二元一次方程的解都是成对的一组数，一般用“ ”联立；
2.二元一次方程只要给定其中的一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解，如果对未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个解 .
知3－练
感悟新知
二元一次方程2x+y=4 有无数个解，下列四组数值中不是该方程的解的是( )
A. B. C. D.
例3
考向：利用二元一次方程的解的定义解决问题
题型1 二元一次方程的解的定义在判断方程解中的应用
知3－练
感悟新知
思路导引：
知3－练
感悟新知
解：当x=3，y=2 时， 左边=2×3 2=4= 右边,
所以是该方程的解；当x=2，y=0 时，左边2×2+0=4=右边，所以是该方程的解；当x=1，y=1 时，左边=2×1+1=3 ≠ 右边，所以不是该方程的解；当x=0，y=4 时，左边=2×0+4=4= 右边，所以是该方程的解。
答案：C
知3－练
感悟新知
3-1.请判断下面给出的x，y 的值是不是方程3x+2y=5 的解：
(1) (2) (3)
变式训练
知3－练
感悟新知
知3－练
感悟新知
已知是关于 m，n 的二元一次方程 3m+an=18 的一个解．
(1)求 a 的值；
(2)请用含有 m 的代数式表示 n.
例3
题型2 二元一次方程的解的定义在求字母值中的应用
解题秘方：牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
知3－练
感悟新知
解：将代入 3m+an=18，得 3× 2+3a=18，
解得 a=4．
(1)求 a 的值；
(2)请用含有 m 的代数式表示 n.
因为a=4， 所以原方程可变为 3m+4n=18，
移项，得4n=18 － 3m，所以n= ．
知3－练
感悟新知
4-1.已知是关于 x，y 的方程 mx－ny=5的一个解，则 7－m+2n=( )
A．－12 B．－2
C．2 D．12
C
变式训练
感悟新知
知4－讲
知识点
二元一次方程组的解
4
定义 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解
示例 既是方程 x+y=5 的一个解，又是方程 x－y=3 的一个解，所以 是方程组 的解
判断方法 判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解，否则就不是这个方程组的解
知4－讲
感悟新知
特别提醒
1.方程组的解一定是方程组中每个方程的解，而方程组中某个方程的解不一定是方程组的解；
2.二元一次方程组一般只有一组解，有时也可能无解或有无数组解.
感悟新知
知4－练
[母题 教材P113随堂练习T3 ]请判断下列各组数值是不是二元一次方程组 的解 .
(1) (2)
例5
考向：判断二元一次方程组的解
知4－练
感悟新知
思路导引：
知4－练
感悟新知
解：(1)把代入方程组，发现不满足方程②，所以不是原方程组的解；
(2) 把代入方程组，发现满足方程①②，所以是原方程组的解．
知4－练
感悟新知
5-1.若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为( )
A.B．C．D．
B
变式训练
认识二元一次方程组
二元一次
方程
组成
解
二元一次
方程组(共38张PPT)
5.3 二元一次方程组的应用
第五章 二元一次方程组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
列二元一次方程组解实际问题
列二元一次方程组解古算问题
列二元一次方程组解增收节支问题
列二元一次方程组解行程问题
知1－讲
感悟新知
知识点
列二元一次方程组解实际问题
1
1. 列二元一次方程组解实际问题的基本思路
感悟新知
知1－讲
特别提醒
设未知数的方式有两种：一种是直接设未知数，问什么，设什么，列出二元一次方程组；另一种是间接设未知数，所设不是所求，而是一个中间量，通过中间量，得到所求的未知量 .
感悟新知
2. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤：
(1)审：认真审题，明确已知量、未知量，理解题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系；
(2)设：设未知数，可直接设，也可间接设；
(3)列：根据等量关系列方程组；
(4)解：求出所列方程组的解；
(5)答：写出答案，包括单位名称
知1－讲
“设”“答”两步都要写清单位名称。
列方程组时，方程中不出现单位
知1－练
感悟新知
某中学为了奖励在学校《诗词大会》上获奖的同学，计划购买甲、乙两种奖品共 20 件，其中甲种奖品每件
40 元，乙种奖品每件 30 元 . 如果购买甲、乙两种奖品共花费 650 元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件 .
例1
考向：列二元一次方程组解实际问题
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思路导引：
解：设甲种奖品购买了 x 件，乙种奖品购买了y 件，
由题意，得解得
所以，甲种奖品购买了 5 件，乙种奖品购买了 15 件 .
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感悟新知
1-1. [ 中考· 吉林 ] 糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰 糖制作而成 . 现将一些山楂分别串在若干根竹签上 . 如果每根竹签串 5 个山楂，还剩余 4 个山楂；如果每根竹签串 8 个山楂，还剩余 7 根竹签 . 这些竹签 有多少根？山楂有多少个？
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知2－讲
知识点
列二元一次方程组解古算问题
2
古算问题的文字一般用古文叙述，弄清题意有一定困难，所以要先把题目用通俗的文字叙述，然后找出题目中的等量关系，列出方程组求解。
知2－讲
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特别提醒
解古算题时，理解题目叙述的意思是关键，然后把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系 .
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[母题 教材P120例1 ]我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲、乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上 .乙说得甲九只，两家之数相当.” 翻译成现代文，其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计.甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍 .” 乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱两家的羊就一样多.”求甲、乙各有多少只羊？
例2
知2－练
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思路导引：
解：设甲有 x 只羊，乙有 y 只羊，
由题意，得
解这个方程组，得
所以，甲有 63 只羊，乙有 45 只羊 .
知2－练
2-1. [中考·长春]《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”。下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400 钱，会剩余3400 钱；每人出300 钱，会剩余100 钱。合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题。
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知3－讲
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知识点
列二元一次方程组解增收节支问题
3
在列方程组解有关经济问题时，应理解“增加了”“减少了”“增加到”“减少到”“翻一番”等词的意义，并掌握下列有关公式：
(1) 销售问题，商品利润= 销售价格- 商品进价；
商品利润率=× 100 % 。
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(2)储蓄问题，利息= 本金×利率×期数；
本息和= 本金+ 利息。
(3) 增长(降低)率问题，
增长率=×100％；
降低率=×100％
知3－讲
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增长后的量= 增长前的量×(1 + 增长率)；
下降后的量= 下降前的量×(1 － 降低率)。
提示为了厘清题目中的各个量之间的关系，常采用列表分析法，列表时，常在最左边一栏和最上面一行中填上一些项目名称，依次填入表格内容。
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拓宽视野
销售问题中的其他常用公式：
1.售价=标价×(打n 折销售时)；
2. 售价= 进价+ 利润；
3. 售价= 进价×(1+利润率)；
4. 利润= 进价× 利润率。
知3－讲
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速记口决
找准问题关键词，列出等量关系式，复杂问题常列表，检查方程及题意。
知3－讲
感悟新知
小刚家去年种芒果的收入扣除各项支出后结余5 000 元，今年他家芒果又喜获丰收，收入比去年增加了20%，由于实行了科学管理，今年的支出比去年减少了5%，因此今年结余比去年多1 750 元，求小刚家今年种植芒果的收入和支出各是多少元。
例3
考向：列二元一次方程组解增长(降低)率问题
知3－练
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去年 今年
收入/ 元 x (1+20%) x
支出/ 元 y (1－5%) y
结余/ 元 5 000 5 000+1 750
解题秘方：列表格分析数量关系。
知3－练
感悟新知
解：设去年小刚家种植芒果的收入和支出分别为
x 元、y 元，根据题意，得
解这个方程组，得
因此，今年的收入为(1+20%)x=1.2×80 00=9 600(元)，
今年的支出为(1-5%)y=0.95×3 000=2 850 (元) 。
所以，小刚家今年种植芒果的收入为9 600 元，支出为 2850 元。
间接设未知数
知3－练
感悟新知
3 -1. [ 模拟·合肥 ]某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润为 200 万元的目标，经 过 努力，实际总销售利润为 225 万元，其中线下销售利润比原计划增长 5%，线上销售利润比原计划增长15%，则该超市去年实际达成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？
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知4－讲
知识点
列二元一次方程组解行程问题
4
行程问题的三种基本类型
(1) 相遇问题
相遇问题 直行相遇问题 环形相遇问题
图示
等量关系 v 甲 t+v 乙t=s总 (s环形周长) 感悟新知
知4－讲
(2)追及问题
追及问题 直行追及问题 环形追及问题
图示
等量关系 v 快t－v 慢t = s相距 (s 环形周长) 感悟新知
知4－讲
(3)航行问题
航行问题 顺水航行 逆水航行
图示
速度关系 v 顺水=v 静水+v 水 v 逆水=v 静水－v 水
知4－练
例4
甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆摩托车同
时由甲、乙两地相向而行，h 后相遇。相遇后，摩托车继续前进，汽车在相遇处停留1h 后调转车头原速返回，汽车再次出发 h 后追上摩托车，此时汽车、摩托车各行驶了多少千米？
考向：列二元一次方程组解行程问题
题型1 相遇(追及)问题
解题秘方：画线段示意图(如图5-3-1)寻找等量关系。
知4－练
解：画设汽车行驶的速度为x km/h，摩托车行驶
的速度为y km/h。
根据题意，得解得
90 ×(+)= 165(k m)，30 ×( + 1 +)= 85 (km)。
所以，此时汽车行驶了165 km ，摩托车行驶了85 km 。
知4－练
4-1. 某中学新建的塑胶操场跑道的一圈长为400 m. 甲、乙两名运动员从同一起点同时出发，相背而跑，40 s 后首次相遇；从同一起点同时出发，同向而跑，200 s 后甲首次追上乙. 求甲、乙运动员的速度.
变式训练
知4－练
知4－练
例5
A，B两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
题型2 航行问题
解题秘方：解本题的关键是找到各速度之间的关系：顺速＝静速＋水速，逆速＝ 静速－水速，再结合公式“路程＝ 速度×时间”列方程组求解.
知4－练
解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为
y km/h.
根据题意，得解这个方程组，得
所以，这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为 3 km/h.
知4－练
5-1. 一艘轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h，从乙地到甲地逆流航行需6 h，那么一只木筏由甲地漂流到乙地需多长时间？
变式训练
知4－练
知4－练
二元一次方程组的应用
增收节支
问题
列二元一次方程
组解决实际问题
古算问题
步骤
用通俗的文
字叙述题目
审
设
列
解
答
行程问题(共37张PPT)
5.4 二元一次方程与一次函数
第五章 二元一次方程组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二元一次方程与一次函数的关系
二元一次方程组与一次函数的关系
用二元一次方程组确定一次函数的表达式
在实际问题中求解一次函数的表达式
知1－讲
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知识点
二元一次方程与一次函数的关系
1
1. 二元一次方程与相应一次函数的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
因为二元一次方程的解与其对应一次函数图象上点的坐标之间的关系是一一对应的，所以可以实现方程与函数之间的相互转化，这体现了数形结合的思想。例如，以二元一次方程kx－y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上;一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是关于x,y的二元一次方程kx－ y+b=0的解。
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2. 二元一次方程与一次函数的区别与联系
知1－讲
二元一次方程 一次函数
区别 x ， y 的含义 x， y 均为未知数 x， y 均为变量
表示方式 只能用一个等式表示 x， y 的关系 可用一个等式、表格或图象表示 x， y 的关系
从数的角度 有无数个解 有无数对 x， y 的值
从“形”的角度 图象 (即直线 ) 上有无数个点
联系 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线
一个二元一次方程对应着平面上的一条直线
知1－练
以二元一次方程2x－y＝1 的解为坐标的点组成的图象画在平面直角坐标系中是图5-4-1 中的( )
例1
考向：利用二元一次方程与一次函数的关系确定图象
知1－练
思路导引：
知1－练
答案：D
解：因为以二元一次方程2x－y＝1的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，所以这个一次函数的表达式为2x－y＝1 的变形，即y=2x －1。
对于一次函数y=2x-1，k=2>0，b= －1<0，所以一次函数
y=2x-1 的图象过第一、三、四象限。
知1－练
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1-1.下列四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y=2 的解的是( )
C
变式训练
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知2－讲
知识点
二元一次方程组与一次函数的关系
2
二元一次方程组与对应的一次函数的关系
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标， 相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。
感悟新知
知2－讲
二元一次方程组的
解对应着平面上两
条直线的交点
知2－讲
拓宽视野
二元一次方程组的解的个数与两条直线交点个数的关系：
1. 方程组只有一组解 两条直线有一个交点(相交)；
2. 方程组无解 两条直线无交点(平行)；
3. 方程组有无数组解 两条直线是同一条直线(重合).
知2－练
考向：利用二元一次方程组与一次函数的关系求方程组的解
知2－练
[母题 教材P129随堂练习T1] 如图5-4-2，已知
一次函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是( )
A. B.
C. D.
例2
思路导引：
知2－练
解：由图可知一次函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P
(－3，1)，即x= －3，y=1 同时满足两个一次函数的表达式。
所以关于x，y 的方程组
的解是
答案：C
知2－练
知2－练
感悟新知
2-1.如图， 直线 y=－x +3 与 y = m x + n 交点的横坐标为 1，则关于 x， y 的二元一次方程组的解为( )
A. B. C. D.
C
变式训练
知3－讲
感悟新知
知识点
用二元一次方程组确定一次函数的表达式
3
1. 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。
知3－讲
感悟新知
2. 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，其一般步骤如下：
(1)设：设出函数表达式为y=kx+b；
(2)代：把已知条件代入，得到关于k， b 的方程组；
(3)解：解方程组，求出 k， b 的值；
(4)写：写出其表达式。
特别提醒
1. 利用二元一次方程组求一次函数表达式，关键是找出两对对应值或图象上两个点的坐标.
2. 将求函数表达式中待定字母k，b的值转化为求以k，b为未知数的二元一次方程组的解.
知3－讲
知3－练
已知一次函数的图象经过A(－2， － 3)，B (1，3) 两点，求这个一次函数的表达式。
例3
考向：利用二元一次方程组求一次函数的表达式
解题秘方：利用待定系数法求出函数表达式。
解：设所求的一次函数的表达式为y=kx+b。
由题意，得解得
所以这个一次函数的表达式为y = 2 x + 1 。
知3－练
3-1. [中考·陕西] 根据下表中一次函数的自变量x与函数值y的对应值，可得p的值为( )
A. 1 B. －1 C. 3 D. －3
x －2 0 1
y 3 p 0
变式训练
A
知3－练
知4－讲
知识点
在实际问题中求解一次函数的表达式
4
1. 利用一次函数的表达式解决实际问题的思路
注意确定函数表达式时，注意自变量的取值范围。
通过求一次函数的表达式解决实际问题
2.一次函数性质的应用主要有两种类型：
(1)给出了一次函数表达式，直接利用一次函数的性质解决问题；
(2)只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出表达式，进而利用一次函数的性质解决问题.
知4－讲
特别提醒
在解决实际问题时，要用函数的观点看待问题，并将其转化为二元一次方程组解决，体现了方程思想和转化思想在实际问题中的应用.
知4－讲
世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(°F)计量法，两种计量法之间有如下的对应关系：
x/℃ 0 10 20 30 40 50
y/°F 32 50 68 86 104 122
例2
考向：利用一次函数的模型解生活中的实际应用题
知4－练
(1)猜想y与x之间的函数关系；
(2)确定y与x之间的函数表达式，并加以检验；
(3)0°F时的温度对应多少摄氏度？
知4－练
解题秘方：由表格中的数据可知， x 每增加 10， y 增加 18，则 y 是 x 的一次函数，根据表格中的数据，用待定系数法求出函数表达式，然后将 y=0 代入求出对应摄氏度 .
知4－练
(1)猜想y与x之间的函数关系
解：观察表格中的对应数据的特征可知：摄氏温度每增加10℃，华氏温度就增加18°F，因此猜想y与x之间是一次函数关系.
知4－练
(2)确定y与x之间的函数表达式，并加以检验
解：设y＝kx＋b(k ≠ 0)，把x＝0，y＝32和x＝10，y＝50 代入，得解得所以y＝x＋32. 经检验，其他几对x，y的值均能满足上述表达式，所以y与x之间的函数表达式为y＝x＋32.
知4－练
(3)0°F时的温度对应多少摄氏度？
解：当y＝0时，x＋32＝0，解得x＝－ .
所以0°F 时的温度对应－℃ .
知4－练
4-1. [期末·西安西咸新区] 某水果商店推出一款水果拼盘套餐受到广大消费者的喜爱，每天销售量y(单位：盒)与销售单价x(单位： 元/ 盒) 之间存在一次函数关系(如表所示)。
销售单价x/ (元/盒) 40 50 60
销售量y/ 盒 220 200 180
变式训练
知4－练
已知水果拼盘套餐的成本为30 元/ 盒。
(1)求出y 与x 的函数关系式；
(2)当销售单价为65元/ 盒时，求当天的销售利润。(销售利润=销售额－成本)
知4－练
(1)求出y 与x 的函数关系式；
知4－练
(2)当销售单价为65元/ 盒时，求当天的销售利润。(销售利润=销售额－成本)
知4－练
二元一次方程与一次函数
一次函数
解二元一
次方程组
确定
两个
关系
与二元一
次方程
与二元一
次方程组

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