资源简介

(共16张PPT)
1.3 勾股定理的应用
第一章 勾股定理
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
勾股定理的实际应用
知1－讲
感悟新知
知识点
确定几何体上的最短路线
1
1.利用勾股定理解决有关高度、宽度、长度、距离等问题
感悟新知
知1－讲
特别提醒
将实际问题转化成数学问题，再转化到直角三角形中，利用勾股定理解决问题。
感悟新知
步骤 具体操作 图示
①取点 在∠ C 两边上分别取点A，B，并连接AB
②测量 测量AC，BC，AB 的长 ③计算 计算AC2+BC2 和AB2 的值 ④判断 若AC2+BC2=AB2，则△ ABC 是直角三角形，且∠ C=90°；若AC2+BC2 ≠ AB2，则∠ C ≠ 90°
2. 直角的判断
知1－讲
感悟新知
知1－练
[期中·常州武进区] 2024 年第13 号台风“贝碧嘉”于9 月16 日17 时前后经过常州，给当地造成了巨大损失。如图1-3-1，一棵垂直于地面并且高9 m的树被台风折断，树顶A 落在离树底部C的6 m 处，求这棵树在离地面多高处被折断。
例1
考向：利用勾股定理解决实际问题
题型1 勾股定理在解决实际问题中的应用
知1－练
感悟新知
解题秘方：根据图示知大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，利用勾股定理建立方程即可求解。
知1－练
感悟新知
解：设这棵树在离地面x m 高处被折断，即BC=x m，所以AB= (9-x) m。
因为∠ ACB=90°，
所以由勾股定理得，AC2+BC 2=AB2，即62+x2=(9-x)2，
解得x=2.5。
故这棵树在离地面2 . 5 m 高处被折断。
知1－练
感悟新知
1-1.学过勾股定理后，李老师和“几何小分队” 的 队员们到操场上测量旗杆 AB 的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长 2 m；
② 将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离 CD 为 1 m，到旗杆的距离 CE 为 9 m(如图) .
根据以上信息，求旗杆AB 的高度 .
变式训练
知1－练
感悟新知
解：设AB＝x m，则易得AE＝(x－1)m，
AC＝(x＋2)m.
在Rt△ACE中，根据勾股定理，
得AC2＝AE2＋CE2，
所以(x＋2)2＝(x－1)2＋92，解得x＝13.
故旗杆AB的高度为13 m.
感悟新知
知1－练
小明家新买了一个鱼缸，如图1-3-2 所示，小明想要检测鱼缸的边DA 是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，量得DA 长60 厘米，AB 长80 厘米，点B，D 之间的距离是100 厘米，边DA 垂直于
边AB 吗？为什么？
例2
题型2 判断是否垂直
知1－练
感悟新知
解题秘方：计算出DA2+AB2 的值，看是否与BD2 的值相等。若相等，则边DA 垂直于边AB，否则，不垂直。
知1－练
感悟新知
解：边DA 垂直于边AB。理由如下：
如图1 - 3 - 2 ，连接BD。
因为DA2+AB2=602+802=10 000，BD2=10 000，
所以DA2+AB2=BD2，
所以△ ABD 是直角三角形，
且∠ DAB= 9 0 ° 。
所以边DA 垂直于边AB。
知1－练
感悟新知
2-1.如图是一把折尺， 现只给你一把刻度尺， 你能否检验∠ P 是不是直角？ 简述你的做法， 并说明理由。
变式训练
知1－练
感悟新知
勾股定理的应用
勾股定理的应用
建模
几何问题
实际问题
转化(共31张PPT)
1.1 探索勾股定理
第一章 勾股定理
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
勾股定理
勾股定理的验证
勾股定理的简单应用
知1－讲
感悟新知
知识点
勾股定理
1
文字语言 图示 符号语言 变式
直角三角形 两直角边的 平方和等于 斜边的平方 如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c a2=c2-b2，
b2=c2-a2
1. 勾股定理
确定了直角三角形三边的数量关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角 三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2. 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范。
知1－讲
感悟新知
条件 结论 注意
Rt △ ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c ∠A =90° b2+c2=a2 (a为斜边长) ① Rt △ ABC 中，斜边的长不一定是c；
② 应用勾股定理时若没有明确哪个角是直角，则需分情况讨论
∠B =90° a2+c2=b2 (b为斜边长) ∠C =90° a2+b2=c2 (c 为斜边长)
2.找准条件灵活应用勾股定理
知1－练
考向： 利用勾股定理求直角三角形的边
题型1 勾股定理在斜边确定的三角形中的应用
[母题 教材P8习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C＝90° .
(1)已知a＝3，b＝4，求c；
(2)已知c＝13，a＝5，求b.
解题秘方：应用勾股定理首先根据直角所对的边是斜边确定公式中的c，然后紧扣勾股定理公式及其变形公式解答。
例1
知1－练
解：因为∠C＝90°，a＝3，b＝4，
所以由勾股定理得c2＝a2＋b2＝32＋42＝25.
所以c＝5.
(1)已知a＝3，b＝4，求c；
知1－练
解：因为∠C＝90°，c＝13，a＝5，
所以由勾股定理得b2＝c2－a2＝132－52＝144.
所以b＝12.
(2)已知c＝13，a＝5，求b.
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75，求 a， b.
解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x.
由勾股定理得a2＋b2＝c2，
则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)．
所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
变式训练
知1－练
如图1-1-1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，
BC＝4，CD⊥AB，垂足为D. 求CD的长.
思路导引：
例 2
题型2 勾股定理在几何图形中求线段长的应用
知1－练
解：因为∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
所以AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52. 所以AB＝5.
因为CD⊥AB，
所以S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，
即AB·CD＝AC·BC.
所以CD＝＝＝.
知1－练
感悟新知
方法点拨：
面积法是几何题解法中的一种基本方法，也称为等面积法。比如：若直角三角形两条直角边长分别为a，b，求斜边上的高，这一问题就需要借助面积法，即用两种方式表示直角三角形的面积：(1)斜边乘斜边上的高除以2；(2)两直角边乘积的一半，从而建立等量关系，解出未知量.
知1－练
感悟新知
2-1. 如图， 在四边形ABCD 中， ∠ D=∠ ACB=90 °，AD=8，CD=6， 且四边形ABCD 的面积为49，则AB2= _________ 。
125
变式训练
知2－讲
知识点
勾股定理的验证
2
1. 常用验证法
验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法(以后将学到)，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系验证。
知2－讲
2. 著名验证法举例
方法 图形 说明
赵爽弦图
知2－讲
特别提醒
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式的性质变换验证结论成立。 即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导结论。
知2－讲
续表
方法 图形 说明
伽菲尔德 总统拼图
知2－讲
续表
方法 图形 说明
毕达哥拉 斯拼图
感悟新知
[母题 教材P6阅读、思考] 意大利著名画家达·芬奇用如图 1-1-2 所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为 S1，图②中空白部分的面积为 S2．
例3
考向：利用拼图法验证勾股定理
知2－练
知2－练
感悟新知
解题秘方：探索勾股定理的关键是找面积相等：①根据直角三角形以及正方形构造图形；②用代数式表示出图形面积S1，S2；③根据面积相等列出等式；④推导出勾股定理。
知2－练
感悟新知
(1)请用含 a， b， c 的代数式分别表示 S1， S2；
解：图①中空白部分的面积
S1=a 2+b 2+2× ab=a 2+b 2+ab，
图 ② 中空白部分的面积 S2=c 2+2× ab=c 2+ab.
知2－练
感悟新知
(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理．
解：由 S1=S2，得 a2+b2+ab=c2+ab，
所以 a 2+b 2=c 2．
知2－练
感悟新知
3-1. [月考·太原晋源区] 如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点E 在CD 上，DE=b，AE=c，延长CB至点F，使BF=b，连接AF。试利用此图说明勾股定理。
变式训练
知2－练
感悟新知
感悟新知
知3－讲
知识点
勾股定理的简单应用
3
运用勾股定理解决实际问题的一般思路
若所求线段不在
直角三角形中，
常作辅助线构造
直角三角形
知3－讲
感悟新知
特别解读
勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之一，应用勾股定理需先找出或构造直角三角形（需作三角形的高）。
知3－练
感悟新知
如图 1-1-3，有两棵树，一棵高 10 m，另一棵高 4 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的直线距离是 10 m，求两树相隔的距离．
例4
考向： 利用勾股定理解决实际问题
知3－练
感悟新知
解题秘方：通过“作垂线”构造直角三角形是利用勾股定理解决实际问题常用的添加辅助线的方法．
知3－练
感悟新知
解：如图 1-1-3，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E.
由题意知，AB=10 m， CD=4 m， AD=10 m，
易知 BE=CD=4 m，所以 AE=10 － 4=6(m) .
在 Rt △ AED 中，由勾股定理得
DE 2=AD 2 － AE 2=10 2 － 6 2=8 2，
所以 DE =8 m. 所以易得 BC=DE=8 m.
所以两树相隔的距离为 8 m．
知3－练
感悟新知
4-1.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆 AB 的底端 B 处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到点 D 处，发 现 此 时点 D 到 旗 杆AB 的水平距离为 8 m，点 D到地面的距离 CD为 2 m，则 旗 杆 AB 的高度为( )
A．23 m B．17 m
C．15 m D．10 m
B
变式训练
探索勾股定理
勾股定理
直角三角形
应用
几何应用
实际应用
验证
拼图法
面积法
条件
三边平方关系
结论(共21张PPT)
1.2 一定是直角三角形吗
第一章 勾股定理
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
直角三角形的判定
勾股数
知1－讲
感悟新知
知识点
直角三角形的判定
1
1. 直角三角形的判定条件
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形。
默认c为最长的边长
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1.这是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中”“直角边” “斜边”，因为还没有确定是直角三角形 .
2. a2+b2=c2只是一种表现形式，满足a2=b2+c2 或b2=a2+c2的也是直角三角形，只是这时a 或 b为斜边 .
知1－讲
感悟新知
2.利用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形的步骤
知1－讲
感悟新知
3.归纳： 勾股定理与直角三角形的判定条件的区别与联系
类别 勾股定理 直角三角形的判定条件
区别 勾股定理以“直角三角形”为条件， 得到数量关系“a2 +b2=c2”，以“形”定“数” 直角三角形的判定条件以“三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2=c2”为条件，得到这个三角形是直角三角形，以“数”定“形”
联系 (1)都与“三角形的三边关系a2 +b2=c2”有关； (2)都与“直角三角形”有关 感悟新知
知1－讲
拓宽视野
当两短边的平方和大于最长边的平方时，该三角形为锐角三角形；当两短边的平方和小于最长边的平方时，该三角形为钝角三角形。
知1－练
判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.
(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；
(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；
(3)一个三角形的三边长a，b，c满足a∶b∶c＝3∶4∶5.
例1
考向：利用直角三角形的判定方法进行判断
知1－练
解题秘方：
判定类型 判定方法
由角判定(定义法) 有一个内角是直角的三角形是直角三角形
由边判定 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形
(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；
(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；
知1－练
解：在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠B＝180°－∠A－∠C=180°－25°－65 °=90°. 所以△ABC是直角三角形.
在△ABC中，因为AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2，
所以△ABC是直角三角形，且∠C为直角.
知1－练
解：设a＝3x(x>0)，则b＝4x，c＝5x，
因为(3x)2＋(4x)2＝25x2＝(5x)2，即a2＋b2＝c2，
所以这个三角形是直角三角形.
(3)一个三角形的三边长a，b，c满足a∶b∶c＝3∶4∶5.
设出参数表示三边长
知1－练
1-1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠B＝∠C－∠A
B. a2＝(b＋c)(b－c)
C. ∠A∶∠B∶∠C＝5 ∶4∶3
D. a∶b∶c＝5∶4∶3
C
变式训练
感悟新知
知2－讲
知识点
勾股数
2
1. 勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17 等。
勾股数应具备两个条件：
(1)这三个数均为正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方。
感悟新知
知2－讲
2.判断勾股数的方法
(1)判断三个数是否都是正整数；(2)若是，确定出最大数，并计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和；(3)进行比较，若相等，则是勾股数，否则不是。
知2－讲
感悟新知
特别提醒
(1) 若一组数为勾股数，则各数的相同整数倍得到的数仍为勾股数，即若 a，b，c为勾股数，则 ka，kb，kc(k 为正整数)也是勾股数；
(2) 若 m ＞ n，且 m，n 为正整数，则 m2 － n2，2mn，m2+n2 是一组勾股数 .
感悟新知
知2－练
下列各组数是勾股数的是_________ (填序号) .
① ， ， ；② 1.5，2，2.5；
③ 6，8，10；④ 7，24，25；⑤ 32，42，52.
例2
③④
考向：利用勾股数的定义识别勾股数
知2－练
感悟新知
解题秘方：判断勾股数时，不能只验证所给条件是否满足最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，还要注意勾股数是正整数这一条件。
知2－练
感悟新知
解：
① ② ③ ④ ⑤
是否为正整数 × × √ √ √
两个较小数的平方和是否等于最大数的平方 × √ √ √ ×
结论 × × √ √ ×
知2－练
感悟新知
2-1.以 3，4，5 为 边 长的三角形是直角三角形，称 3，4，5 为勾股数组，记为(3，4，5). 类似地，还可得到下列勾股数组：(5，12，13)，(7，24，25)等 .
(1)根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组；
解：第四组勾股数组为(9，40，41)．
变式训练
知2－练
感悟新知
(2)用含 n(n 为正整数)的等式描述上述勾股数组的规律，并说明理由 .
解：(2n＋1)2＋(2n2＋2n)2＝(2n2＋2n＋1)2.理由如下：
因为(2n＋1)2＋(2n2＋2n)2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，(2n2＋2n＋1)2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，
所以(2n＋1)2＋(2n2＋2n)2＝(2n2＋2n＋1)2.
一定是直角三角形吗
直角三角
形的判定
数 结
形 合
作用
勾股数
判定直角

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