资源简介

(共102张PPT)
2.2 平方根与立方根
第二章 实数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
算术平方根
() 2 (a ≥ 0)与 的性质
平方根
立方根
估算
用计算器求算术平方根和立方根
知1－讲
感悟新知
知识点
算术平方根
1
算术平 方根 内容 示例
定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为32=9，所以9
的算术平方根是3。
感悟新知
算术平方根 内容 示例
表示方法
性质
知1－讲
注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式
非负数才有算术平方根
一个数的算术平方根是非负数
初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0)
感悟新知
知1－讲
特别解读
1. 负数没有算术平方根，所以当 有意义时，a一定是一个非负数，即a ≥ 0.
2. 如果一个负数的平方等于a，那么a 的算术平方根是这个负数的相反数.
3. 算术平方根等于它本身的数只有0，1。
知1－练
[母题 教材P31例1 ]求下列各数的算术平方根：
(1)64；(2)2；(3)1.96；(4)；(5)7.
例1
考向：利用算术平方根的定义解决问题
题型1 求一个数的算术平方根
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的非负数，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根。
(1)64；
(2)2；
知1－练
解：因为82＝64，所以64的算术平方根是8，即＝8.
因为()2＝＝2，
所以2的算术平方根是，即＝.
(3)1.96；
(4)；
(5)7.
知1－练
解：因为1.42=1.96，所以1.96的算术平方根是1.4，即=1.4；
因为＝9，9的算术平方根是3，
所以的算术平方根是3；
7的算术平方根是.
不要误认为是求81 的算术平方根
知1－练
感悟新知
1-1. 下列说法中，正确的是( )
A. 4 的算术平方根是
B. 0 的算术平方根是0
C. = 5
D. 16 的算术平方根是4
B
变式训练
知1－练
感悟新知
1-2. [中考·滨州]一块面积为5 m2 的正方形桌布，其边长为 ________。
m
知1－练
已知a的算术平方根是3，b的算术平方根是4，求a＋b的算术平方根.
例2
题型2 已知算术平方根求值
解题秘方：先根据算术平方根的定义求出a，b 的值，再求出a+b 的值，最后根据算术平方根的定义得出结果。
知1－练
解：因为a的算术平方根是3，所以a＝32＝9.
因为b的算术平方根是4，所以b＝42＝16.
所以a＋b＝9＋16＝25，
因为52=25.
所以25 的算术平方根是5，即a＋b的算术平方根是5.
知1－练
2-1. 已知＝5，＝4，求 的值.
变式训练
感悟新知
知2－讲
知识点
() 2 (a ≥ 0)与 的性质
2
类别 性质 举例
a 为任意数， 是先平方再开方
注意：将a 写成()2 时，a 必须是非负数。
知2－讲
感悟新知
特别提醒
因为a≥0， ()2 是先开方，再平方，所以 ()2 =a也可以逆用，如5= ()2 。
知2－练
考向：利用()2 (a ≥ 0)与 的性质解决问题
求下列各式的值：
(1) ()2 ； (2) ()2；
(3) ； (4) (x>2)。
例3
解题秘方：运用 =|a| 化简时，一定要先判断出a 的符号，再化简。
知2－练
(1) ()2 ；
(2) ()2；
解：()2 ＝9;
()2 ＝()2 ＝5.6;
知2－练
(3) ；
(4) (x>2)。
解： ＝|＝;
因为x>2，所以2 x<0，
故 =|2 x|= (2 x)=x-2。
3-1. 求下列各式的值：
(1) ()2 ； (2) ；
(3) ； (4) (a<4).
变式训练
知2－练
(1) ()2 ；
(2) ；
(3) ；
(4) (a<4).
解：()2 ＝7；
＝ ＝5；
＝|－7|＝7；
因为a<4，所以a－4<0，
故＝|a－4|＝－(a－4)＝4－a.
知2－练
感悟新知
知3－讲
知识点
平方根
3
平方根 内容 示例
定义 一般地，如果一个数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个数x 就叫作a 的平方根 (也叫作二次方根)
1. 平方根
平方根 内容 示例
表示方法
性质 (1)一个正数有两个平方根； (2)0 只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根
知3－讲
感悟新知
感悟新知
方法点拨
求一个正数的平方根的方法：
先找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，它们互为相反数，因而这两个数均为这个正数的平方根。如果这个正数为带分数，一般先将其转化为假分数；如果这个正数为小数，一般先将其转化为分数。如果正整数a不能写成有理数的平方的形式，则可以将a 的平方根表示成± 的形式。
知3－讲
名称 关系 算术平方根 平方根
区别 定义不同 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 就叫作a的算术平方根。0 的算术平方根是0 一般地，如果一个数x 的平方等于a, 即x2=a，那么这个数x 就叫作a 的平方根(也叫作二次方根)
个数不同 一个正数的算术平方根只有一个 一个正数有两个平方根，它们互为相反数
知3－讲
辨析：平方根与算术平方根的区别与联系
感悟新知
名称 关系 算术平方根 平方根
区别 表示方法不同
结果不同 正数的算术平方根一定是正数 一个正数的平方根有两个，一正一负，它们互为相反数
联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那个 存在条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根；0 的平方根与算术平方根都是0 感悟新知
感悟新知
知3－讲
2. 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方，a 叫作被开方数。
注意：(1)开平方时，被开方数a 必须是非负数，即a ≥ 0；
(2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。
感悟新知
知3－讲
示例
感悟新知
知3－讲
3. 开平方与平方根、平方的关系
(1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。
(2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。例如：因为(±) 2= ，所以±=± 。
感悟新知
知3－讲
注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。
知3－练
求下列各式的值：
(1)121； (2) 0.006 4；(3)2；(4)－(－4)3；(5).
例3
考向：利用平方根的定义和性质解决问题
题型1 求一个数的平方根
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根的定义确定。
(1)121；
(2) 0.006 4；
解：因为(±11)2＝121，
所以121的平方根是±11，即± =±11.
因为(±0 .08)2= 0 .006 4，所以0.006 4 的平方根是±0 .0 8，即± =±0 .0 8；
知3－练
(3)2；
因为2＝， (±)2＝，
所以2的平方根是±，即± =±=±;
知3－练
(4)－(－4)3；
(5).
解：因为－(－4)3=64， (±8)2=64，
所以－(－4)3的平方根是±8，即± =±8.
＝7， (±)2＝7，
所以的平方根是±.
知3－练
4-1. 下列说法中, 不正确的是( )
A. －11是121的一个平方根
B. 11是121的一个平方根
C. 121的平方根是11
D. 121的算术平方根是11
C
变式训练
知3－练
4-2. 求下列各数的平方根：
(1)1；
(2) 10－10 ；
解：因为(±1)2＝1，所以1的平方根是±1，即±＝±1；
因为(±10－5)2＝10－10，所以10－10的平方根是±10－5，即±＝±10－5
知3－练
(3)1；
(4)(－3)2.
因为(－3)2＝9， (±3)2＝9，
所以(－3)2的平方根是±3，即±＝±3。
知3－练
感悟新知
[母题 教材P33例4] 求下列各式的值：
(1) ；(2)±；(3) ；
(4) － ；(5) .
例4
题型2 利用开平方与平方的互逆运算关系求值
知3－练
感悟新知
解题秘方：首先观察式子的结构特点，然后将被开方数化成 a 2，再利用 =|a| 求值 .
知3－练
(1) ；
(2)±；
＝ ＝ 12；
知3－练
± ＝± ＝±＝± ；
(3) ；
(4) － ；
(5) .
解： ＝ | － 3 | ＝3；
－ ＝ － ＝0.9 －0.2 ＝ 0.7；
＝ ＝ ＝5.
被开方数42+32 是一个整体，先将 42+32 化简，再化为 a2 的形式 .
知3－练
5-1. 求下列各式的值.
(1) = ________；
(2)－ = ________；
(3)±= ________；
(4)= ________.
变式训练
知3－练
已知2a－1 与－a＋2 是m的平方根，求m的值.
例 6
题型3 利用平方根的性质求字母的值
解题秘方：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值。
知3－练
解：根据题意，分以下两种情况：
当2a－1＝－a＋2 时，a＝1，
所以m＝(2a－1)2＝(2×1－1)2＝1；
当(2a－1)＋(－a＋2)＝0 时，a＝－1，
所以m＝(2a－1)2＝［2×(－1)－1］2＝(－3)2＝9.
故m的值为1 或9.
知3－练
解法提醒：正数有两个 平方 根 , 它们互为相反数，列方程先求出 a，再根据平方根的定义求这个正数的值 . 已知 a，b 是m 的平方根，则有 a=b 或 a+b=0.
知3－练
6-1. 已知一个正数x的平方根是2a－3 与5－a，求a的值及的算术平方根.
变式训练
知3－练
知4－讲
感悟新知
知识点
立方根
4
立方根 内容 示例
定义 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(也叫做三次方根) .
1. 立方根的概念
感悟新知
立方根 内容 示例
表示方法
知4－讲
a可以是正数，负数或0
指数3不能省略
感悟新知
特别解读
知4－讲
感悟新知
2. 立方根的性质
(1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。
(2) 三个重要公式
①( ) 3=a；
② = a ；
③ = － .
因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a
因为a3 的立方根为a，所以= a
利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2
知4－讲
感悟新知
特别解读
1. 立方根是它本身的数只有0 和±1。
2 . 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数。
知4－讲
感悟新知
(3)平方根与立方根的比较
名称 区别 平方根 立方根 被开方数的取值范围不同 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根
0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法
知4－讲
感悟新知
特别解读
1. 开立方时，被开方数可以是正数、负数、0。
2. 立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算。
知4－讲
感悟新知
3. 开立方：求一个数a 的立方根的运算，叫作开立方，a 叫作被开方数。
开平方与开立方的不同点与相同点
开平方 开立方
不 同 点 运算符号
被开方数 非负数 任意数
个数 0 的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个
相同点 开平方和开立方都与相应的乘方运算互为逆运算
知4－讲
[母题 教材P35例5] 求下列各数的立方根：
(1)－125；(2)2；(3) 0.512； (4)－2.
例1
考向：利用立方根的定义和性质解决问题
题型1 求一个数的立方根
解题秘方：求一个数的立方根就是要找到某一个数，使它的立方等于这个数，再求立方根。
知4－练
(1)－125；
(2)2；
解：因为(－5)3=－125，
所以－125 的立方根是－5，即3=－5.
因为2＝，而()3＝ ，
所以2的立方根是，即3＝.
先将带分数化为假分数，然后再求其立方根.
知4－练
(3) 0.512；
(4)－2.
解：因为0.83=0.512，所以0.512 的立方根是0 .8，即= 0 .8；
－2 的立方根是 .
知4－练
7-1. 求下列各数的立方根：
(1)－343；
(2)1.331；
解：因为(－7)3＝－343，所以－343的立方根是－7, 即 ＝－7；
因为1.13＝1.331，所以1.331的立方根是1.1，即 ＝1.1；
变式训练
知4－练
(3)109；
(4)4.
解：因为(103)3＝109，所以109的立方根是103，即 ＝103；
知4－练
题型2 已知立方根和平方根求值
已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根.
解题秘方：根据立方根和平方根的定义求解即可 .
例8
知4－练
解：因为x－2的平方根是±2，所以x－2＝4.
所以x＝6.
因为2x＋y＋7的立方根是3，所以2x＋y＋7＝27.
把x＝6代入，解得y＝8，所以x2＋y2＝62＋82＝100.
所以x2＋y2的算术平方根为10.
知4－练
感悟新知
8-1.已知 7a+1 的立方根是 ，8a+b － 2 的平方根是 ±2.
(1)求 a，b 的值 ；
变式训练
知4－练
知1－练
感悟新知
(2)求 － 8a+3b+3 的平方根 .
知4－练
感悟新知
给出下列说法：①正数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③ =a；④任何数都可以开立方，但只有非负数才能开平方；⑤一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根 . 其中不正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①⑤
例3
题型3 利用立方根的性质进行判断
知4－练
感悟新知
解题秘方：依据平方根和立方根的定义和性质求解即可。
知4－练
解：①正数的立方根有1 个，故原说法不正确；② 负数有立方根，故原说法不正确；③ =a, 故原说法正确；④ 任何数都可以开立方，但只有非负数才能开平方，故原说法正确；⑤一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根，故原说法正确。
故本题不正确的说法有：① ②。
答案： A
感悟新知
知4－练
感悟新知
9-1. －a2 的立方根的值一定为( )
A. 非正数
B. 负数
C. 正数
D. 非负数
A
变式训练
知4－练
已知3和3互为相反数，且x≠0，y≠0，求的值.
例4
题型4 利用立方根的性质求值
解题秘方：根据立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，建立x与y之间的等量关系求解.
知4－练
解：因为3和 3互为相反数，
所以3y－1和1－2x互为相反数，
即(3y－1)＋(1－2x)＝0.
所以3y＝2x.
又因为x ≠ 0，y ≠ 0，所以＝.
知4－练
10-1. 若3与3互为相反数, 求的值(y ≠ 0).
变式训练
知4－练
感悟新知
[母题 教材P35例6] 求下列各式的值：
(1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5)() 3.
例5
题型5 开立方计算
知4－练
感悟新知
解题秘方：将被开方数写成三次方的形式，然后利用 =a 直接开方，带有负号的要注意符号；被开方数是带分数的，首先化为假分数，再把它写成三次方的形式，最后开立方 .
知4－练
(1) ；
(2)
解： ＝ ＝3；
＝ ＝
知4－练
(3) ；
(4) ；
(5)() 3.
解： ＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ －
() 3 ＝ －8.
知4－练
感悟新知
11-1.求下列各式的值：
(1)－ ；
(2) ；
(3) .
变式训练
知4－练
知识点
估算
5
1. 估算无理数的大小
对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。
感悟新知
知5－讲
“精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。
感悟新知
知5－讲
感悟新知
特别提醒
无理数的估算一般采用夹逼法，“夹”就是从两边确定取值范围； “逼”就是一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确度。
知5－讲
2. 用估算法比较两个数的大小
(1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。
(2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a>b ≥ 0，则 > ，a2>b2；② 若a>b, 则 > ；③ 若ba2。
感悟新知
知5－讲
感悟新知
拓展视野
比较两个无理数大小的常用方法
1. 估算法：先估算出所给无理数的近似值， 再比较。
2. 作差法：若 － >0，则 > ；若 － < 0,则 < 。
知5－讲
感悟新知
3. 乘方法：把含根号的两个无理数同时乘方(一般平方或立方)， 比较乘方后的数的大小，同时考虑符号确定大小即可。
4. 放缩法：将其中一个数(或两个数)放大或缩小，再比较。
5. 作商法等。
知5－讲
考向：利用估算解决问题
题型1 估算无理数的大小
[母题 教材P37随堂练习T1] 估算下列各数的大小：
(1) (结果精确到 0.1)；
(2)3(结果精确到 1).
解题秘方：先看估算的是算术平方根还是立方根，然后确定其整数部分，再按精确度的大小确定其小数部分。
例12
结果要精确到 0.1，要估
算到0.01，然后四舍五入到0.1.
知5－练
解：因为 3 2=9，4 2=16，所以 3 ＜ ＜ 4.
所以 12.5 的整数部分是 3.
因为 3.5 2=12.25，3.6 2=12.9 6，
所以 3.5 ＜ ＜ 3.6.
因为 3.53 2=12.460 9，3.54 2=12.531 6，
所以 3.53 ＜ ＜ 3.54. 所以 ≈ 3.5.
(1) (结果精确到 0.1)；
知5－练
解：因为143＝2 744，153＝3 375，
所以14<3<15，
又因为 14.9 3 ≈ 3 308，
所以 14.9 ＜ 3＜ 15，所以 3≈ 15.
(2)3(结果精确到 1).
知5－练
感悟新知
方法点拨：估算 (a ≥ 0)时，可以采用“夹逼法”，首先确定 的整数部分，根据算术平方根的定义，有 m 2< a 知5－练
感悟新知
12-1. 的值在( )
A.1与 2 之间
B.2 与 3 之间
C.3 与 4 之间
D.5 与 6 之间
C
变式训练
知5－练
感悟新知
12-2.根据表格估算≈ _________.(精确到0.1)
2.4
x x3
2.2 10.648
2.3 12.167
2.4 13.824
2.5 15.625
2.6 17.576
知5－练
题型2 利用估算法比较两个数的大小
[母题 教材P38习题T9]比较下列各组数的大小：
(1)与4；(2)与；(3)与3－.
解题秘方：根据各小题不同的特征选择恰当的方法进行比较。
例2
知5－练
(1)与4；
(2)与；
解：因为12<16，所以<4.
因为 <2，所以<1. 所以 < .
平方法
知5－练
解：因为－1.5<－ <－1.4，
所以3－1.5<3－<3－1.4，即1.5<3－<1.6.
因为1.7<<1.8，所以 >3－.
(3)与3－.
估算法
知5－练
感悟新知
13-1. [ 石家庄·期中 ] 下列式子成立的是( )
A． ＞2.5 B. ＜
C. ＜ 3.85 D. －1＜
D
变式训练
知5－练
知识点
用计算器求算术平方根和立方根
6
1.求正数的算术平方根
大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按 键，然后按数字键，再按 键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根.
知6－讲
感悟新知
特别提醒
用计算器求算术平方根或立方根时，计算器显示的数值，许多都是近似值，要根据题目要求的精确度确定结果.
开方运算按键方法 :
(1)先按“开方键”;
(2)后按“被开方数”;
(3)再按“等号”键 .
知6－讲
感悟新知
2. 求一个数的立方根
(1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果；
(2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果.
知6－讲
感悟新知
特别提醒
利用计算器进行较复杂的计算时，关键还是要弄清按键的顺序，尤其一些特殊情况下的输入, 根号下含有的运算部分必须加括号。
知6－讲
感悟新知
特别说明
不同型号的计算器按键的顺序可能不同， 使用计算器时，一定要按说明书操作。
知6－讲
[母题 教材P38习题T10]利用计算器求下列各式的值( (2)~(5)结果精确到0.0 01)：
(1)； (2)；(3) ；(4) ；
(5) - 。
例14
考向：利用计算器求算术平方根或立方根
解题秘方：紧扣用计算器开平方的按键顺序进行操作.
知6－练
(1)；
(2)(结果精确到0.01).
解：依次按键 ，
显示99. 所以＝99.
依次按键 ，
显示3.316 624 79. 所以 ≈3.317.
知6－练
(3) ；
(4) ；
解：依次按键 ，
显示4 .6 41 588 8 3 4，所以≈ 4.6 4 2；
依次按键 ，
显示3.316 624 79. 所以 ≈ 2.368；
知6－练
(5) - 。
解：依次按键 ，
显示0 .74 8 343 3 01，所以- ≈ 0 .748；
知6－练
感悟新知
14-1.用计算器进行计算，依次按键
，其结果是 __________.
96
变式训练
知6－练
感悟新知
14-2.利用计算器计算 (结果精确到 0.01);
(1) ＋ 1；
(2) － 3.
知6－练
平方根与
立方根
平方根
定义
算术平方根
性质
估算
立方根(共69张PPT)
2.3 二次根式
第二章 实数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次根式的概念
二次根式的乘除法
二次根式的性质
最简二次根式
分母有理化(拓展点)
二次根式的加减法
二次根式的混合运算
知1－讲
感悟新知
知识点
二次根式的概念
1
概念
示例
感悟新知
知1－讲
特征
感悟新知
知1－讲
特别提醒
形如 b 的式子也是二次根式，表示的是 b 与 的乘积，如 表示 × ，但不可以写成 1 的形式；像 +1(a ≥ 0)这样的式子只是含有二次 根 式，但不是二次根式 .
知1－练
给出下列式子：
①；②3；③；④；⑤ .
其中一定是二次根式的是___________.(只填序号)
例1
考向：利用二次根式的定义解决辨识、求值问题
题型1 二次根式的定义在识别二次根式中的应用
解题秘方：二次根式应满足两个条件：① 含有二次根号“”；② 被开方数是非负数。
①③④
知1－练
解：①中含有二次根号，且被开方数(－2)2 是非负数，
故①是二次根式；
②中“3”是三次根号，不是二次根号，故②不是二次根式；
③中虽然＝3，但它的初始的外在形式符合二次根式的条件，故③是二次根式；
④中含有二次根号，且被开方数a2＋1大于0，故④是二次根式；
⑤被开方数－2a2－1 小于0，故⑤不是二次根式.
知1－练
感悟新知
1-1.下列一定是二次根式的是( )　
A. B.2
C. － D.
C
变式训练
知1－练
感悟新知
1-2. [ 中考· 江西 ] 若有意义，则 a 的值可以是(　　)
A. － 1 B.0
C.2 D.6
D
知1－练
若y＝＋＋2， 则xy＝_______.
解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性：“a ≥ 0， ≥ 0”进行解答.
9
例2
题型2 二次根式的双重非负性在求字母的值中的应用
知1－练
解：由二次根式的被开方数的非负性，
得 x － 3 ≥ 0，且3 － x ≥ 0，所以 x=3.
又因为y＝ ＋＋2，所以y＝2，
所以xy＝32＝9.
知1－练
感悟新知
2-1.已知 y= ＋ ＋ 3，则 2xy 的值为 ____________.
15
变式训练
知1－练
2-2. 已知实数x，y满足|x－4|＋＝0，则以x，y的值值为两边长的等腰三角形的周长是 ________。
20
感悟新知
知2－讲
知识点
二次根式的乘除法
2
语言叙述 符号表示
乘法法则 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变
除法法则 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变
感悟新知
知2－讲
法则推广
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 乘(除)法法则中被开方数a ，b 既可以是数，也可以是式子，但都必须是非负的(a 或b 作为除数时不能为0)。
2. 如果没有特别说明， 本章中的所有字母都表示正数。
3. 二次根式运算的结果是一个二次根式或一个整式。
知2－练
[母题 教材P42例1]计算：
(1)×；(2)；(3)÷
例3
考向：利用二次根式的乘除法法则进行计算
题型1 二次根式的乘除计算
解题秘方：紧扣二次根式乘除法法则进行计算.
(1)×；
(2)；
(3)÷.
知2－练
解：×＝＝＝14.
＝＝.
÷＝＝＝.
知2－练
解：＝＝＝ ＝3.
知2－练
3-1. 计算：
(1)× ；
(2)；
变式训练
解： ×＝ ＝
知2－练
(4)
题型2 二次根式的乘除计算与运算律、乘法公式结合
[母题 教材P42例2]计算：
(1)2×2； (2)(42 ；
(3) ( ( ；
解题秘方：合理运用运算律、乘法公式计算.
例4
知2－练
(1)2×2；
(2)(42 ；
解：2×2＝2 ×2 ××
＝ 2 ×2 × ＝4 .
(42 ＝ 2 ×4×112
＝ 32 1 ＝33 8 .
知2－练
(3) ( ( ；
(4)
解： ( ( ＝()2 22 =5 4=1
＝ ＝ ＝ =1.
知2－练
4-1.计算：
(1) 4 ÷2 ；
(2) (2 -1)2；
变式训练
知2－练
(3) ( +)× ；
(4) (2 )(22) × 。
知2－练
感悟新知
知3－讲
知识点
二次根式的性质
3
语言叙述 符号表示
积的算术平方根 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积
商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
知3－讲
感悟新知
注意：在二次根式的计算中，最后结果的被开方数（式）应不含开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。
知3－讲
感悟新知
特别提醒
公式中的a ，b 既可以是一个数，也可以是一个式子。积中各个因式必须都为非负数，若不是非负数，应将其化成非负数后再运用公式化简。
[母题 教材P43例3]化简：
(1) ； (2)；
(3) ； (4) (b ≥ 0，a>0).
例5
考向：利用二次根式的性质进行化简
解题秘方：紧扣二次根式的性质进行化简。
知3－练
(1) ；
(2)；
知3－练
解：＝ × ＝6 × 4＝24.
＝ ＝ × ＝5×8＝40.
不要写成 ＝ ×
(3) ；
(4) (b ≥ 0，a>0).
知3－练
解： ＝ ＝＝.
＝ =
5-1. 化简：
(1) ×0.81；
(2) (-4)×(-121)；
变式训练
知3－练
(3)；
(4) (b≥0，a>0).
知3－练
感悟新知
知4－讲
知识点
最简二次根式
4
1. 概念:一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式， 叫 做最简二次根式 . 例如2 ， 。
2. 满足的条件：(1)被开方数中不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式
感悟新知
化简二次根式的一般方法：
1. 如果被开方数是分数（包括小数和分数），先利用商的算术平方根的性质把它写成“分式”的形式，然后利用分母有理化进行化简；
2. 如果被开方数是整数或整式，利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来。
知4－讲
下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？对不是最简二次根式的进行化简.
(1)；(2)；(3) ；(4) ；(5)
例6
考向：最简二次根式的识别与化简
知4－练
知4－练
解题秘方：根据最简二次根式满足的条件判断，(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
解：(1) ，被开方数含能开得尽方的因数，因此它不
是最简二次根式。 = = × =3 。
(2) ，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式。
知4－练
(3) ，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次
根式。 = = == 。
(4) ，被开方数是小数，因此它不是最简二次根式。
== = = 。
知4－练
(5) ，13 2 112=48，48 含能开得尽方的因数，因此它不是最简二次根式。 = = =4 。
知4－练
6-1. 下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.
B
变式训练
知4－练
知4－练
6-2. 化简：
(1) ；
(2) ；
(3)。
知识点
分母有理化(拓展点)
5
1. 分母有理化的概念：通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化，即化去分母中的根号。
知5－讲
感悟新知
2. 分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。
知5－讲
二次根式的除法可以用化去分母中根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化。
感悟新知
3. 两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。
常用的互为有理化因式有： 与 ； ＋ 与－ ； ＋与 － ； ＋ c 与 － c 等。
知5－讲
感悟新知
感悟新知
把下列各式分母有理化。
(1) ； (2) ； (3)； (4)。
考向：利用分母有理化化简分母含二次根式的式子
例7
知5－练
解题秘方：观察各分母，乘以合适的有理化因式即可。
感悟新知
(1) ；
(2) ；
知5－练
解：＝ ＝ ＝ .
＝ ＝ ＝ .
感悟新知
(3)；
(4)。
知5－练
解：＝ ＝ ＝ ( ).
＝ ＝ ＝ ＝ 3－ 2
知5－练
感悟新知
变式训练
7-1.化简：
(1) ；
知5－练
感悟新知
(2) 。
感悟新知
知6－讲
知识点
二次根式的加减法
6
二次根式既可以进行乘除法的运算，也可以进行加减法的运算 .
法则 二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
实质 把被开方数相同的最简二次根式按照合并同类项的法则合并成一项
步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式；
(2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式；
(3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项
感悟新知
特别提醒
1.化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分.
2.整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式的运算中仍然适用 .
3.根号外的因式就是这个二次根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式 .
知6－讲
知6－练
[母题 教材P44例5]计算：
(1) 2 － +3；(2)－＋4 － ；(3)＋－( + ).
例8
考向：利用二次根式的加减法法则进行计算
知6－练
解题秘方：将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式；原式中若有括号，则要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并。
(1) 2 － +3；
解：2 － +3＝ 2×2－＋3×＝ 4－＋ ＝ 4.
知6－练
知6－练
(2)－＋4 － ；
解：－＋4 － ＝－＋4×－3
= － ＋2 － 3 = － 2 + ;
知6－练
(3)＋－( + ).
＋－( + ) = ＋ － －
= 3 ＋ － － = ＋
8-1. 计算：
(1)2－；
(2) － ＋ ；
(3)3－5＋7.
知6－练
变式训练
感悟新知
知7－讲
知识点
二次根式的混合运算
7
混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算
混合运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号的先算括号里面的
运算律 实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用
感悟新知
特别提醒
1.二次根式混合运算的结果应写成最简二次根 式 ( 或整式 ) 的形式 .
2.在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律 .
知7－讲
知7－练
计算：
(1) － × + ÷ ；
(2) × (1+ )+ (－ 1) (2+ )；
(3) (4－8＋)÷2.
例9
考向：利用二次根式的混合运算顺序及运算律进行计算
解题秘方：紧扣二次根式的混合运算顺序及运算律计算即可。
(1) － × + ÷ ；
解： － × + ÷ ＝3－ + ＝ 3－+ ＝ 3
知7－练
解： × (1+ )+ (－ 1) (2+ ) = + × +2 + ×－ 1×2 － 1× = +2+2 +2 － 2 =2 +2；
(2) × (1+ )+ (－ 1) (2+ )；
知7－练
解：(4－8＋)÷2＝(8－2＋4) ÷2＝10÷2＝5.
(3) (4－8＋)÷2.
先化简，再计算
知7－练
9-1. 计算：
(1) [中考·兰州] － × ；
变式训练
知7－练
(2) ×( －)；
知7－练
(3) (2 － ) 2 025×(2 ＋ ) 2 026 － (2 － 1) 2.
知7－练
二次根式
二次根式
性质
积的算术平方根
商的算术平方根
乘、除法
加、减法
运算
最简二次根式
最后结果(共38张PPT)
2.1 认识实数
第二章 实数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
生活中存在不是有理数的数
无理数的概念
实数的相关概念和性质
实数与数轴的关系
知1－讲
感悟新知
知识点
生活中存在不是有理数的数
1
在七年级上学期，我们学习了有理数。随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，现实生活中存在大量不是有理数的数。如图2-1-1，用剪拼的方法将两个边长为1 的小正方形拼成如图2-1-2 边长为a 的
大正方形，由拼法可知a2=2.
感悟新知
拼成的面积为 2 的大 正方形的面积在面积为 1 和面积为4 的两个正方形的面积之间，则它的边长也必然在 1 和 2 之间，既不是整数，也不是分数 .
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别提醒
若 x2=a，当 a 不能写成一个整数或一个分数的平方的形式时，x 不是有理数 .
知1－练
[新考法 数形结合法] 图2-1-3 是由五个边长为1的小正方形组成的图案，如果把它们剪拼成一个正方形
例1
考向：利用拼图解释无理数的产生
解题秘方：根据剪拼没有改变图形的面积，确定正方形的面积及边长，结合拼出的图形解释无理数的产生。
(1)所拼成的正方形的面积是多少？
(2)设拼成的正方形的边长为a，a应满足什么条件？
(3)a是整数吗？是分数吗？是有理数吗？
(4)请你讨论一下 a 在哪两个相邻整数之间 .
知1－练
解：所拼成的正方形的面积是5.
a应满足a2＝5.
a不是整数，不是分数，不是有理数.
a 在 2 和 3 之间.
(5)画出你所拼的正方形.
知1－练
所拼成的正方形如图2-1-3.
知1－练
1-1. 以下各正方形的边长不是有理数的是( )
A. 面积为25 的正方形
B. 面积为的正方形
C. 面积为8 的正方形
D. 面积为1.44 的正方形
C
变式训练
感悟新知
知2－讲
知识点
无理数的概念
2
1. 无理数的概念 无限不循环小数称为无理数 .
①小数；②位数无限;
③不循环，三者缺一不可
知2－讲
2.无理数的常见形式
(1)圆周率π 及一些含π 的数，如π， ，π-3 等；
(2)具有特定结构的数，如0 .989 889 888 988 8 8 9 …(相邻两个9 之间8 的个数逐次加1)；
(3)无理数与有理数的和、差，结果都是无理数，如π+2；
不是分数，是一个无理数
知2－讲
(4)无理数乘或除以一个不为0 的有理数，结果是无理数，如2π， 等；
(5)开方开不尽的数的方根(下节会学到)。
知2－讲
感悟新知
特别提醒
有理数和无理数的区别：
1.无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；
2.有理数可化为分数，无理数不能化为分数 .
知2－练
[母题 教材P27例题]下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，－ ，0，－，2.3，7.141 441 444 1…(相邻两个1之间4的个数逐次加1).
.
例2
考向：利用无理数的概念识别无理数
知2－练
感悟新知
解题秘方：识别无理数，不能只看形式，关键看它是不是无限不循环小数。
知2－练
解：有理数有:3.14，0，－，2.3；
无理数有: － ，7.141 441 444 1…(相邻两个1之间4的个数逐次加1).
.
知2－练
感悟新知
2-1. [中考·长沙]下列各数中，是无理数的是( )
A. B. π
C. -1 D. 0
B
变式训练
知2－练
感悟新知
2-1.下列说法正确的是( )
A．有理数只是有限小数
B． 是分数
C．无限小数是无理数
D．无理数是无限小数
D
知3－讲
感悟新知
知识点
实数的相关概念和性质
3
1. 实数: 有理数和无理数统称为实数.
在实数范围内，一个数
不是有理数就是无理数
感悟新知
2. 实数的分类
(1)按概念分类 (2)按正负性分类
知3－讲
感悟新知
特别解读
1. 0既不是正实数，也不是负实数 .
2. 引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩大到实数，今后我们研究问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行。
知3－讲
感悟新知
3. 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样.
知3－讲
感悟新知
表示 性质
相反数 实数 a 的相反数是 －a. a ， b 互为相反数←→ a＋b=0
绝对值 实数 a 的绝对值表示为 |a|.
倒数 (1)a ， b 互为倒数←→ ab=1
(2)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数
知3－讲
感悟新知
特别提醒
一个数的相反数是与其本身只有符号不同的数；正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；一个数的倒数与它本身的正负一致。
知3－讲
感悟新知
4. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。
知3－讲
求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
(1) π； (2) － 2 025； (3) 3.14 － π。
例3
考向：利用实数的性质求一个实数的相反数、倒数和绝对值
解题秘方：利用实数的性质求相反数、倒数和绝对值。
知3－练
(1) π；
(2) － 2 025；
解：π 的相反数是- π，倒数是，绝对值是π.
－2 025 的相反数是2 025，倒数是 － ，绝对值
是2 025。
知3－练
(3) 3.14 － π。
解： 3.14－ π 的相反数是π － 3.14，倒数是，绝对值是π-3.14。
3.14<π，故3.14- π<0
知3－练
感悟新知
3-1. [ 模拟·上海]绝对值最小的实数是 __________ 。
3-2. － π 的相反数是__________ ，|－ π|= __________。
0
变式训练
知3－练
π
π
感悟新知
知4－讲
知识点
实数与数轴的关系
4
1. 实数与数轴的关系：实数和数轴上的点是一一对应的.
“一一对应”包含两层含义：(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；(2)数轴上的每一个点都表示一个实数 .
知4－讲
例如：如图 2-1-4，直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点 O 从原点到达 O′点，数轴上O′点对应的数是 π .
知4－讲
特别提醒
1. 在数轴上表示无理数时 ,一般只能通过估算标出其大致位置 .
2. 借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数 .
知4－讲
2.实数的大小比较
(1)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。
(2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两
个负数比较大小，绝对值大的反而小。
知4－练
已知实数a 在数轴上的对应点的位置如图2-1-5 所示，
则a， － a， ，a2 的大小关系是( )
A. a< － a< C. － a< 例 4
考向：实数的大小比较
知4－练
解题秘方：由实数a 在数轴上的对应点的位置可知－ 1解：不妨取a= － ，则－ a= － (－ )= ， =－ 2，
a2= ，所以答案：B
知4－练
4-1.在数 － 3π， － ，0，5 中，最小的数是( )
A. － 3π B. － C. 0 D. 5
变式训练
A
知4－练
4-2. [ 中考·淮安]实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
(第4-2 题)
A. a< － 2 B. b<2 C. a>b D. － aD
认识无理数
实数
分类
性质
与数轴的关系
有理数
无理数

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