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(共36张PPT)
6.2 中位数与箱线图
第六章 数据的分析
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
中位数
平均数、中位数、众数的区别与联系
中位数四分位数
中位数 箱线图
知1－讲
感悟新知
知识点
中位数
1
定义
感悟新知
求中位数的步骤 第 1 步：将所有数据按大小顺序排列 .
第 2 步：确定数据个数的奇偶性 .
第 3 步：确定最中间一个数据或最中间两个数据的平均数为中位数
中位数的作用 中位数是刻画一组数据的“中等水平”的
一个代表，反映了一组数据的集中趋势，它只与数据的排列顺序有关
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 一组数据的中位数是唯一的，它可能是这组数据中的某个数据， 也可能不是这组数据中的数据。
2. 用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它不能充分利用所有的数据信息。
知1－练
感悟新知
在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10 名运动员的成绩如下表：
则这 10 名运动员成绩的中位数是( )
A.1.50 m B.1.55 m C.1.60 m D.1.65 m
例1
成绩 /m 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80
人数 1 3 2 3 1
考向：求一组数据的中位数
知1－练
感悟新知
思路导引：
知1－练
感悟新知
解：这 10 名运动员的成绩按从小到大的顺序排列后，最中间的两个成绩分别为 1.60 m，1.60 m，
故这 10 名运动员成绩的中位数为 =1.60(m) .
答案：C
知1－练
感悟新知
1-1. [中考·镇江] 小丽6 次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为 ________ 环。
7.5
变式训练
感悟新知
知2－讲
知识点
平均数、中位数、众数的区别和联系
2
平均数 中位数 众数
区别 个数 唯一 唯一 不一定唯一
与组内数 据的关系 与每个数据均有关 按大小排序，只与最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数有关 只与出现次数最多的数据有关
组内的数 不一定是 不一定是 一定是
感悟新知
续表
平均数 中位数 众数
区别 优点 所有数据都参加运算，能充分地利用数据所提供的信息 计算简单，一般情况下，不受极端值的影响 某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题
缺点 易受极端值的影响 不能充分利用所有数据的信息 当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义
联系 都是一组数据的代表值，能从不同角度反映一组数据的集中趋势
知2－讲
感悟新知
特别提醒
当一组数据中出现极端值时，因为平均数容易受到极端值的影响，所以此时要反映一组数据的集中趋势，应选用中位数或众数。
知2－讲
感悟新知
总结归纳
平均数是“算”出来的，中位数是“排”出来的，众数是“数”出来的。
知2－讲
知2－练
感悟新知
[母题教材P169习题T5]下表是某公司员工月收入的资料。
例2
职位 总经理 财务总监 部门经理 技术人员 前台 保安 保洁
人数 1 1 2 10 2 3 1
月收入 /元 40 000 30 000 6 000 5 000 3 500 3 000 2 000
考向：平均数、中位数、众数的综合应用
感悟新知
(1)这家公司员工月收 入的平均数是 7 500 元，中位数是__________，众数是____________ .
(2)在(1)中的平均数、中位数和众数中，哪些统计量能反映该公司员工月收入水平？并说明理由 .
(3)为了避免技术人员流失，该公司决定给他们每人每月加薪 x 元至公司员工月收入的平均数，求 x 的值 .
5 000 元
5 000 元
知2－练
感悟新知
解题秘方：平均数，众数，中位数俗称“三数”，它们都能反映一组数据的集中趋势，只是反映的角度不同，熟练掌握上述数据的特征是解题的关键。
知2－练
感悟新知
解：因为员工的总人数为 1+1+2+10+2+3+1=20(名)，
所以这组数据的中位数是第 10，11 个数据的平均数，而
第 10，11 个数据分别为 5 000，5 0 0 0.
所以中位数是 =5 000(元) .
因为数据 5 000 出现的次数最多，所以众数为 5 000 元 .
知2－练
感悟新知
解：中位数和众数能反映该公司员工月收入水平，理由是 20 名员工中有 14 名能达到此工资水平 .
(2)在(1)中的平均数、中位数和众数中，哪些统计量能反映该公司员工月收入水平？并说明理由 .
知2－练
感悟新知
解：根据题意，
得(7 500× 20+10x) ÷ 20=5 000+x，解得 x=5 000.
所以 x 的值为 5 000.
(3)为了避免技术人员流失，该公司决定给他们每人每月加薪 x 元至公司员工月收入的平均数，求 x 的值 .
知2－练
感悟新知
2-1. 某公司销售部有销售人员15 人，销售部为了制订某种商品的月销售定额，统计了这15 人某个月的销售量，如下表：
变式训练
月销售量/ 件 人数
1 800 1
510 1
250 3
210 5
150 3
120 2
知2－练
感悟新知
(1)这15 位销售人员该月销售量的平均数为 _____件，中位数为_______ 件，众数为 _______件。
(2)假设销售部经理把每位销售人员的月销售量定为210 件，你认为是否合理？为什么？
320
210
210
合理。理由：因为月销售量为210件能反映销售人员的一般销售水平，所以销售部经理把每位销售人员的月销售量定为210件是合理的。
知2－练
感悟新知
知3－讲
知识点
中位数四分位数
3
1. 百分位数
中位数是一组由小到大排列的数据里5 0 % 位置上的数据，优点是计算简单，不受极端值的影响(一般情况下)。但仅有中位数，还不能完整地反映数据的分布。为此，通常还可以找出其他百分位位置上的数据(处于p% 位置的数据称第p 百分位数，记为p% 分位数)。
感悟新知
知3－讲
2. 四分位数
在百分位数中，除了最小值与最大值外，我们尤为关注25% 分位数、50 % 分位数、75 % 分位数，它们把一组数据分为个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数。
感悟新知
特别解读：
百分位数是一类统计量。如果把一组数据从小到大排序，用m50 表示中位数，称为第50百分位数，那么中位数把这组数据分为两部分，分别记为S和T；进一步，用m25 和m75 分别表示S和T 的中位数，那么，所有数据中小于或等于m25的占25%、小于或等于m75 的占75%。这样，m25，m50，m75 这三个数值把所有数据分为个数相 等的四个部分，因此，称为四分位数。
知3－讲
感悟新知
知3－讲
3. 四分位数的计算步骤
(1)将数据按从小到大的顺序排列；
(2)确定中位数m50，即第个数据和第( +1)个数据的平均数；
(3)确定下四分位数m25，即第个数据和第(+1)个数据的平均数；
(4)确定上四分位数m75，即第个数据和第( +1)个数据的平均数。
本节只讨论数据个数n 为4 的整数倍的情况
感悟新知
[母题 教材P163例] 某射击运动员射击12 次，成绩 (单位：环)如下：
10，10.2，10.3，9.8，10.8，10.5，10.8，10.6，10.9，10.8，9.9，10。
求这组数据的四分位数m25，m50，m75。
例3
考向：求一组数据的四分位数
知3－练
感悟新知
解题秘方：先排序，再分别求出各组数据的中位数。
解：将这12 个数据由小到大排序：
9.8 9.9 10 10 10.2 10.3 10.5 10.6 10.8 10.8 10.8 10.9
中位数即5 0 % 分位数，因此m50= =10.4(环)；
前一半数据的中位数为整组数据的下四分位数，
故 m25= =10 (环)；
后一半数据的中位数为整组数据的上四分位数，
故m75= =10.8 (环)。
知3－练
感悟新知
3-1. 一组数据106，113，9 6，9 8，10 0，102，104，111 的下四分位数m25= ________，中位数m50= ________ ，上四分位数m75= ________ 。
变式训练
99
103
108.5
知3－练
感悟新知
知4－讲
知识点
中位数 箱线图
4
1. 用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围，可以粗略观察数据是否具有对称性，这样的统计图称为箱线图。
感悟新知
2. 箱线图的画法
(1)找出一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，并用5 条横线分别对应这5 个数据；
(2)连接下四分位数和上四分位数，画出“箱体”；
(3)将最小值和最大值与“箱体”相连接，中位数在“箱体”中间。
注意：箱线图可以画成竖直的，也可以画成横向的。
知4－讲
感悟新知
箱线图的具体表示如图6 -2-1 所示。
知4－讲
感悟新知
特别解读
1. 箱线图的特点：不受异常值的影响，可以以一种相对稳定的方式描述数据的离散分布情况。
2.“箱体”可以直观看出中位数与下四分位数和上四分位数的 距离。
3. 通过两个箱线图可以比较两组数据的离散程度，“箱体”越高(宽)，方差越大。
知4－讲
感悟新知
[母题 教材P166随堂练习T2] 已知八年级(1)班和(2)班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图6-2-2 所示，则下列说法正确的是( )
A. (1)班成绩比(2)班成绩集中
B. (1)班成绩的上四分位数是80 分
C. (1)班同学的成绩有超过140 分的
D. (1)班和(2) 班成绩的中位数相同
例4
考向：从箱线图获取信息
知4－练
感悟新知
解题秘方：找准上下边缘和四分位数，根据“箱体”的高度比较离散程度。
解：A. (2)班成绩比(1)班成绩集中，错误；
B. (1) 班成绩的下四分位数是8 0 分，错误；
C. (1)班同学的成绩没有超过14 0 分的，错误；
D. (1)班和(2)班成绩的中位数都是10 0 分，正确。
答案：D
知4－练
感悟新知
4-1. [期末·台州] 如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温值方差较大的是 _______ (填“甲地”或“乙地”)。
变式训练
甲地
知4－练
中位数与箱线图
平均数
描述数据的
集中趋势
中位数
众数
四分位数
箱线图
相互
转化(共18张PPT)
6.3 哪个团队收益大
第六章 数据的分析
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
利用平均数、方差分析数据
利用四分位数、箱线图分析数据
知识点
利用平均数、方差分析数据
知1－讲
1
比较两组数据时，平均数和方差是两个常用的统计量。平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据的离散程度。一般情况下，两组数据的平均数相差无几的情况下，方差越小越好。
知1－讲
特别解读
1. 中位数和众数也反映数据的集中趋势，必要时要考虑。
2. 方差越小，数据越稳定，一般情况下要选择方差小的那组数据，但也不是一定的，要根据实际情况选择。
知1－练
为了提高玉米产量进行良种优选，某农业科学院选择了两块基本条件大致相同的试验田用于分析甲、乙两种玉米种子的产量，从两块试验田中各随机抽取了20 穗玉米，并对其单穗质量(单位：g)进行整理分析，过程如下：
例1
考向：利用平均数、方差比较两组数据
知1－练
甲种种子：161 161 172 181 194 201 206 206 211 215
215 222 226 232 232 232 242 246 251 254
乙种种子：162 174 183 185 196 207 208 213 215 217
219 220 220 220 225 228 236 237 245 250
用平均数和方差分析哪种玉米种子的产量更好。
知1－练
解题秘方：求出平均数和方差，如果平均数相差不大，就比较方差，选择方差小的玉米种子。
解：求得 x甲=213 g， x乙=213 g，平均数相等，需比较方差的大小。s2甲=755.8，s2乙=511.3，因为s2乙< s2甲，所以乙种种子的产量更稳定。通过分析可知，乙种玉米种子的产量更好.
知1－练
1-1. [模拟·东营] 下表记录了某校4 名同学游泳选拔赛成绩的平均数与方差。根据表中数据要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择_______ 。
队员2
变式训练
平均数/s 方差
队员1 51 3.5
队员2 50 3.5
队员3 51 14.5
队员4 50 15.5
知识点
利用四分位数、箱线图分析数据
知2－讲
2
除了平均数、方差，也经常借助四分位数和箱线图比较两组数据。箱线图可以直观反映数据的分布情况，将不同组数据的箱线图放在一起，能快速对比它们在各方面的差异。
特别解读
箱线图在表示数据方面的特点如下：
第一，能直观展示数据的分布范围，通过最小值和最大值可以快速了解数据的取值区间；第二，能清晰反映数据的集中趋势，中位数可以体现数据的中间水平；第三，能表现数据的离散程度，“箱体”的长短直观体现数据的波动大小。
知2－讲
知2－练
请你用四分位数和箱线图分析例1 中两种玉米种子哪种的产量更好。
例2
考向：利用四分位数、箱线图比较两组数据
解题秘方：箱线图可以直观比较两组数据的波动大小。
解：利用四分位数、箱线图(如图6 -3-1)分析如下：
种子 类型 最小值，四分位数和最大值(单位：g) 最小值 m25 m50 m75 最大值
甲 161 197.5 215 232 254
乙 162 201.5 218 226.5 250
知2－练
基于四分位数或箱线图，可以发现甲种种子单穗质量的中位数比乙种种子的中位数小，且甲种种子的单穗质量比乙种种子的波动大。综上可知，乙种玉米种子的产量更好。
知2－练
2-1. [某校要从一个班级中选取12 名同学组成礼仪队，八(1)班和八(2)班选取的学生身高(单位：cm)如下：
八(1)班：168 167 170 166 168 166 171 168 167 170 169 170
八(2)班：164 165 169 170 165 171 170 170 169 167 166 171
请你利用四分位数和箱线图分析两个班选取的学生的身高情况。
变式训练
知2－练
解：四分位数如下表：
班级 最小值、四分位数和最大值/cm 最小值 m25 m50 m75 最大值
八(1)班 166 167 168 170 171
八(2)班 164 165.5 169 170 171
知2－练
箱线图如图所示。
知2－练
基于四分位数或箱线图，可以发现八(1)班身高的中位数与八(2)班的相差不大，但八(1)班身高的波动明显比八(2)班的要小。综上可知，八(1)班选取的学生的身高比八(2)班更整齐。
知2－练
哪个团队收益大
分析数据
平均数、众数
离散程度
方差
四分位数、
箱线图
离散程度
分布情况(共57张PPT)
6.1 平均数与方差
第六章 数据的分析
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
众数
算术平均数
加权平均数
方差、标准差
组内离差平方和(拓展点)
感悟新知
知1－讲
知识点
众数
1
定义 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数 . 例如：数据 1，3，3，5，6 的众数是 3；数据 1，3，3，5，5 的众数是 3 和 5
感悟新知
众数的内涵 (1)众数是描述一组数据集中趋势的量，
众数只与数据出现的频数有关，不受个别数据影响，有时是我们最关心的统计数据 .
(2)一组数据众数的大小只与这组数据中的个别数据有关，它一定出现在这组数据中
确定 方法 先数出这组数据中各数据出现的次数，再找出这组数据中出现次数最多的数据
知1－讲
感悟新知
特别提醒
1. 一组数据的众数不一定唯一，可能有一个或多个，也可能没有 .
2. 众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数.
知1－讲
[ 中考·东营] 4 月23 日是世界读书日，东营市组织开展“书香东营，全民阅读”活动。某学校为了解学生的阅读时间，随机调查了八年级50 名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示。在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是 _________h。
时间/h 0.5 1 1.5 2 2.5
人数 10 18 12 6 4
例1
考向：利用众数的定义求一组数据的众数
知1－练
解题秘方：直接根据众数的定义解决问题，注意众数的单位与数据的单位相同。
答案：1
解：由统计表可知，每天阅读时间为1 h 的人数最多，为18 人，所以在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是1 h。
知1－练
感悟新知
1-1. [ 中考·河北]某校生物小组的9 名同学各用100 粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 _______。
89
变式训练
知1－练
知2－讲
感悟新知
知识点
算术平均数
2
1. 算术平均数的定义：一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数，简称平均数。平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标，反映了一组数据的“中心”。
知2－讲
感悟新知
2. 平均数的计算方法
(1) 定义法：如果有n 个数：x1， x2， x3，…， xn ，那么 x＝ . (x1＋x2＋ x3 ＋ …＋xn)。
平均数的大小与一组数据里的每一个数据均有关系
知2－讲
感悟新知
(2) 新数据法：当所给的数据大部分在某一常数a(通常取接近于这组数据的平均数的较“整”的数)上下波动时，可计算各数据与a 的差：x1－a=x’1，x2－a=x’2，x3－a=x’3 ，… ，xn－a=x’n，则 x=a+ (x’1＋x’2＋ x’3 ＋ …＋x’n).
特别提醒
1. 一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关。
2. 平均数的单位与原数据的单位一致。
3. 一组数据的平均数不一定是这组数据中 的数。
知2－讲
知2－练
已知一组数据71，71，69，69，72，72，74，66，66，
65，70，65，73，73，73，73，求这组数据的平均数。
例2
考向：平均数的相关计算
题型1 求一组数据的平均数
解题秘方：可以用定义法和新数据法求平均数。
解：方法一(定义法)：因为该组数据中71，69，72，66，65 均出现2 次，73 出现4 次，
所以 x = ×(71×2+69×2+72×2+74+66×2+65×2 +70 +73×4) =70.12 5。
易错：当求某个数据重复出现的次数时，要做到不重不漏
知2－练
方法二(新数据法)：每个数据都减去70，可得：
1，1，－1，－1，2，2，4，－4，－4，－5，0，－5，3，3，3，3，所以 x =70+ ×(1+1－1－1+2+2+4－4－4－5+0－5+3+3+3+3) =70+0.125=70.12 5。
知2－练
2-1. [ 中考· 湖州] 某住宅小区6 月1 日～ 6月5 日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是( )
A. 25 m3 B. 30 m3
C. 32 m3 D. 35 m3
B
变式训练
知2－练
例3
题型2 已知平均数，求字母的值
一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，则x的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解题秘方：根据平均数的公式列出关于x 的方程，求解即可。
解：根据题意，得＝3，解得x＝2.
B
知2－练
3-1. 已知一组数据7，a，8，b，10，c，6 的平均数为4， 则a，b，c的平均数为______.
－1
变式训练
知2－练
感悟新知
知3－讲
知识点
加权平均数
3
1. 加权平均数的定义：在很多实际问题中，一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”，这时求出的平均数称为加权平均数。
加权平均数中的“权”反映了各个数据在这组数据中的“重要程度”，权越大，数据越重要
感悟新知
2. 加权平均数的计算方法
一般而言，一组数据x1，x2，…，xn，每个数据的重要程度未必相同，如果分别赋予它们的权数为f1，f2，…，f n，那么这组数据的平均数为，
这个平均数称为加权平均数。
知3－讲
3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系
区别 联系
算术 平均数 算术平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”相同 若各个数据的“权”相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际上是加权平均数的一种特例
加权 平均数 加权平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”不一定相同，即各个数据的“权”不一定相同
知3－讲
拓宽视野
权的表现形式
在实际问题中，权的表现形式通常有三种。
对于一组数据x1，x2，…，xn ，
①将它们按照f1∶f2∶…∶fn的比例计算；
②它们出现的次数分别是f1 次、f2 次、…、fn 次；
知3－讲
③它们所占的百分比分别为f1，f2，…，f n ( f1，f2，…，f n均为百分数，且f1＋ f2 ＋ … ＋ f n =100%)。
以上三种情况，这组数据的加权平均数均为。
知3－讲
知3－练
[中考·大连] 在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8 名同学捐款的金额如下表所示：
这8名同学捐款的平均金额为( )
A. 3.5 元 B. 6 元 C. 6.5 元 D. 7 元
金额/元 5 6 7 10
人数 2 3 2 1
例4
考向：利用加权平均数的计算方法求加权平均数
题型1 权为数据的个数在求加权平均数中的应用
人数应是“权”.
答案：C
解题秘方：紧扣加权平均数的计算公式进行求解。
解： x＝＝6.5(元).
知3－练
感悟新知
4-1.为了解学生参与家务劳动情况，某老师在所任教班级随机调查了10 名学生一周做家务劳动的时间，其统计数据如下表： ( )
A.3.5 h B.3 h C.2.5 h D.2 h
D
时间/h 4 3 2 1 0
人数 1 3 3 1 2
变式训练
知3－练
[中考·德阳] 某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30％，面试占30％，试讲
占40％进行计算，小徐的三项测
试成绩如图6-1-1 所示，则她的
综合成绩为________分。
例5
题型2 权为数据的百分比在求加权平均数中的应用
知3－练
解：86×30％ +80×30％ +90×40％ =85.8(分)。
因此，她的综合成绩为8 5 .8 分。
解题秘方：紧扣加权平均数的计算公式求解。
答案：85.8
知3－练
5-1.学校广播站要新招1 名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表：
变式训练
应聘者 项目 口语表达 写作能力
甲 80 分 90 分
乙 90 分 80 分
知3－练
学校规定口语表达按70％，写作能力按30％计入总成绩，根据总成绩择优录取。通过计算，你认为 ________ 同学将被录取。
乙
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知识点
方差、标准差
4
1. 数据的离散程度：在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画。
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2. 离差平方和、方差、标准差
(1)离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即S=。
(2)方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即 s2＝[(x1－ x)2＋(x2－ x)2＋…＋(xn－ x)2]。
其中， x 是x1，x2，…，xn的平均数。而标准差则是方差的算术平方根。
拓展：方差、平均数的内在联系
样本数据 平均数 方差
x1，x2，…，xn x s2
x1+a， x2+a，…， xn+a x+a s2
kx1，kx2，…，kxn k x k2s2
kx1+a， kx2+a，…， kxn+a k x+a k2s2
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特别解读
1. 求方差的步骤：第一步， 先求原始数据的平均数；第二步，求原始数据中各数据与平均数的差；第三步，求所得各个差的平方；第四步， 求所得各平方数的平均数，可概括为“一均， 二差，三方，四均”。
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2. 使用科学计算器可以方便地计算一组数据的标准差，大致步骤是：进入统计计算状态，输入数据，按键得出标准差。
3. 标准差的单位与原数据的单位一致；方差的单位是原数据单 位的平方，一般不加单位。
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3. 方差、标准差的意义：一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定。反映在统计图中，一组数据的波动越小，这组数据的方差或标准差越小。
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计算下面这一组数据的方差：
2 022，2 023，2 024，2 025，2 026。
例6
考向： 利用方差或标准差解决问题
题型1 求一组数据的方差或标准差
解题秘方：可以利用公式法计算，也可以利用新数据法计算。
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解：方法一(公式法)：因为 x = ×(2 022+2 023+2 024 + 2 025+2 026)=2 0 24，
所以s2= ×［(2 022－2 024)2+(2 023 － 2 024)2+(2 024 －
2 0 24)2+(2 025 － 2 0 24)2+(2 026 － 2 0 24)2］=2。
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方法二(新数据法)：选取一个适当的数a=2 024，计算
该组数据与a 的差可得一组新数据－2，－1，0，1，2。
因为 x′= ×(－2 －1+0+1+2)= 0，所以s′2= ×[(－2 －0)2 + (－1－0)2+(0 － 0)2+(1 － 0)2+(2－0)2 ]=2，
所以原数据的方差为2。
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6-1.若样本 x1，x2，…，xn的方差为2，则样本 2x1+5，2x2+5， …，2xn+5 的方差是( )
A.2 B.4 C.7 D.8
D
变式训练
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6-2. 一组数据6，4，a，3，2 的平均数是5，则这组数据的标准差是( )
A. 8 B. 5 C. 2 D. 3
C
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[母题 教材P156习题T5]某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一名参加全国比赛，对他们进行了8 次测试，测试成绩(单位：环)如下表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次
甲 10 8 9 8 10 9 10 8
乙 10 7 10 10 9 8 8 10
例7
题型2 利用方差的意义作决策
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解题秘方：解此类决策型问题的解题思路：一方面要正确理解平均数、方差的概念，另一方面要熟记并正确运用平均数、方差的计算公式，然后根据平均数与方差的意义作出最优选择。
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(1)根据表中的数据，计算出甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环 .
9
9
知4－练
(2)分别计算甲、乙两名运动员8 次测试成绩的方差.
解：s2甲＝[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(8－9)2＋
(10－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝0.75，
s2乙＝[(10－9)2＋(7－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋
(9－9)2＋(8－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2]＝1.25.
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(3)根据(1)(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由.
解：推荐甲参加全国比赛更合适. 理由如下：甲、乙的平均成绩相等，说明实力相当，但甲8 次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥比乙稳定，故推荐甲参加全国比赛更合适.
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7-1.为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位： cm)的平均数与方差为 x甲 = x丙 =13 cm， x乙 = x丁 = 15 cm，s2甲= s 2丁 = 3.6 ， s 2乙 =s2丙=6.3. 则麦苗又 高又整齐的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
D
变式训练
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7-2. [ 中考·青岛] 如图①和图②中的两组数据，
分别是甲、乙两地2024年5 月27 日至31 日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为s2甲，s2乙，则s2甲_______ s2乙 (填“>”“=”“<”)。
<
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知识点
组内离差平方和(拓展点)
5
一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。
特别解读
在大数据分析中，数据的分组是重要的方法之一。虽然可以有多种方法对数据进行分组，但是，使得“组内离差平方和最小”的方法是最传统的，也是非常合理的。
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[荣德原创题] 在一次女子体操比赛中，10 名运动员的年龄(单位：岁)分别为：10，8，12，15，10，12，11，9，10，13。若想把10 名运动员分成两组，使每组运动员年龄差不多，且两组之间数据差别较明显，那么你将运用_________ 法进行分组。具体分组过程如下：将10 名运动员的年龄按从小到大排列 ______。
例8
考向：合理分组，使“组内离差平方和最小”
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把10 个数据分成两组，共有9 种情况：
情况 第一组 第二组
一 { 8 } {9，10，10，10，11，12，12，13，15}
二 {8，9} {10，10，10，11，12，12，13，15}
三 {8，9，10} {10，10，11，12，12，13，15}
四 {8，9，10，10} {10，11，12，12，13，15}
五 {8，9，10，10，10} {11，12，12，13，15}
六 {8，9，10，10，10，11} {12，12，13，15}
七 {8，9，10，10，10，11，12} {12，13，15}
八 {8，9，10，10，10，11，12，12} {13,15}
九 {8，9，10，10，10，11，12，12，13} {15}
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情况 平均数 组内离差平方和(精确到0.01) 第一组 第二组 第一组 第二组 两组和
一 / 11.33 / 28 28
二 8.5 11.63 0.5 21.88 22.38
三 9 11.86 2 18.86 20.86
四 9.25 12.17 2.75 14.83 17.58
五 9.4 12.6 3.2 9.2 12.4
六 9.67 13 5.33 6 11.33
七 10 13.33 10 4.67 14.67
八 10.25 14 13.5 2 15.5
九 10.56 / 20.22 / 20.22
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通过计算得到，第 _____ 种情况得到的组内离差平方和最小，因此将10 名运动员按年龄大小分成两组为 ______。
解题秘方：按数据个数分组，求出每组的平均数，再计算各组的组内离差平方和，最后求和，和最小的分组即为所求。
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答案：组内离差平方和最小；8，9，10，10，10，11，12，12，13，15；六；{8，9，10，10，10，11}，{12，12，13，15}
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8-1. [荣德原创题]科研人员选出8 株植物，在同等实验条件下，测量他们光合作用的速率(单位：μmol·m2·s－1)。统计结果：35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和最小”法，则需将数据由 _____到 _______排序，在将这8 株植物分成两组时，共可以分成__________ 种情况。
小
变式训练
大
7
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平均数与方差
平均数
算术平均数
加权平均数
方差
标准差
离差平方和
众数

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