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2025年中考数学二轮复习押题预测 图形的对称
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 余姚市期末）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片ABCD，AB＝24，BC＝20，他在边BC上取中点N，又在边AB上任取一点M，再将△BMN沿MN折叠得到△B′MN，连结AB'．小明同学通过多次实践得到以下结论：
①当点M在边AB上运动时，点B′在以N为圆心的圆弧上运动；
②AB'的最大值为24；
③AB'的最小值为16；
④AB′达到最小值时，．
上述结论中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024秋 浦东新区期末）如图，将矩形ABCD直线AC折叠，使得点B落在点E处，AE交CD于点F，若AB＝3，AD，则下列说法错误的是（　　）
A．AF＝CF B．∠CAB＝30°
C． D．EF＝1
3．（2024秋 九龙坡区校级期末）在矩形ABCD中，沿对角线BD将矩形ABCD折叠，顶点C落在点E处，AB＝6，AD＝12，在BD上取点F，使得CF＝CD，并延长CF交BE于点G，则FG＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 龙湖区期末）如图，直线l是一条公路，A、B是两个村庄．欲在l上的某点处修建一个车站，直接向A、B两地提供乘车服务．现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道路，则铺设道路最短的方案是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 东阳市期末）如图1，矩形ABCD中，点E在AD上，且BE＝2AE．分别以BE，CE为折线，将A，D向BC的方向折过去，图2为对折后A，B，C，D，E五点均在同一平面上的位置图．在图2中，若∠AED＝16°，则∠BEC的度数为（　　）
A．76° B．82° C．90° D．94°
6．（2024秋 渝北区校级期末）下列各图是中国古典花窗基本图案，其中是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024秋 海陵区期末）如图，在△ABC中，BA＝BC＝10，AC＝12，点D为AC的中点，点E为AB边上一点，将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A′，当点A′落在△ABC内部（不包括边上）时，AE的取值范围是（　　）
A． B．
C．3＜AE＜4 D．
8．（2024秋 扬州期末）如图，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，β﹣α＝40°，则∠AOB的度数为（　　）
A．20° B．40° C．10° D．60°
9．（2024秋 太仓市期末）如图，在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，∠BCA＝90°，在AC上取一点E，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，使得点A'落在直线BC上，则AE的长度为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
10．（2024秋 綦江区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC，交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则PB+PD的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 泰兴市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为边BC，AB上的动点，∠B＝α，∠ADE＝β，当AD+DE取最小值时，写出α与β满足的关系式　 　．
12．（2024秋 肥西县期末）如图，在△ABC中，若AC＝5，BC＝12，AB＝14，将△ABC折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则△PEB的周长最小值为　 　．
13．（2024秋 增城区期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 　 　．
14．（2024秋 湛江期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E，F两动点分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC＝48°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为 　 　．
15．（2024秋 扬州期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2025次变换后所得的A点坐标是 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 甘州区期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的图形；
（3）求S△ABC．
17．（2024秋 延边州期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（5，1），C（3，5）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1，在平面直角坐标系中画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标为　 　；
（2）点C2（a+b，a﹣b）与点C（3，5）关于x轴对称，则a＝　 　，b＝　 　；
（3）直接写出△ABC的面积．
18．（2024秋 潼南区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点P，使△APC的周长最小，求点P的坐标．
19．（2024秋 中牟县期末）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点都在格点上，已知点C的坐标为（﹣1，1），点D的坐标为（﹣2，4）．
（1）建立平面直角坐标系，并写出点A，B的坐标；
（2）若四边形ABCD各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘﹣1，请在同一平面直角坐标系中描出对应的点A1，B1，C1，D1，并依次连接这四个点，则所得的四边形A1B1C1D1与四边形ABCD有怎样的位置关系？
（3）计算四边形A1B1C1D1的面积．
20．（2024秋 徐闻县期末）如图，已知A（0，4），B（﹣2，2），C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
（2）写出点A′、B′、C′的坐标：
A′（ 　 　）、B′（ 　 　）、C′（ 　 　）
（3）求△A′B′C′的面积．
2025年中考数学二轮复习押题预测 图形的对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 余姚市期末）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片ABCD，AB＝24，BC＝20，他在边BC上取中点N，又在边AB上任取一点M，再将△BMN沿MN折叠得到△B′MN，连结AB'．小明同学通过多次实践得到以下结论：
①当点M在边AB上运动时，点B′在以N为圆心的圆弧上运动；
②AB'的最大值为24；
③AB'的最小值为16；
④AB′达到最小值时，．
上述结论中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；展开与折叠；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质得到BN＝NB′，根据圆的定义得到点B′在以N为圆心，NB为半径的圆上，故①正确；连接AN，根据勾股定理得到，根据三角形的三边关系得到AB'≥AN﹣NB'，AB'≤AN+NB'，结合点M在AB上，判断②正确，③正确；根据勾股定理即可判断④正确．
【解答】解：如图1，连接AN，
∵将△BMN沿MN折叠得到△B′MN，
∴BN＝NB'，
∵点N为BC的中点，BC＝20，
BN＝CN＝NB'＝10．
∴当点M在边AB上运动时，点B′在以N为圆心的圆弧上运动，
故①正确；
在Rt△ABN中，AN26，
∵AB'≥AN﹣NB'，
∴AB'≥16，
∴AB'的最小值为16，
故③正确；
∵AB'≤AN+NB'，且M在AB上，
∴AB'≤AB＝24，
∴AB'的最大值为24，
故②正确；
如图2，
当AB'N共线时，AB'的值最小，最小为AB'＝16；
∴∠AB'N＝90°，
设BM＝x，则B′M＝BM＝x，AM＝24﹣x，
在直角三角形AB′M中，由勾股定理得：B'M2+AB'2＝AM2，
∴x2+162＝（24﹣x）2，
解得：x，
即BM，
故④正确，
综上，结论中正确的个数4个，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
2．（2024秋 浦东新区期末）如图，将矩形ABCD直线AC折叠，使得点B落在点E处，AE交CD于点F，若AB＝3，AD，则下列说法错误的是（　　）
A．AF＝CF B．∠CAB＝30°
C． D．EF＝1
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；展开与折叠；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】首先根据题意证明出△ADF≌△CEF（AAS），得到AF＝CF，据此判断A；由tan∠CAB，求得∠CAB＝30°，据此判断B；由tan∠DAF，求得DF＝1，进而得到CF＝2，据此判断C；由△ADF≌△CEF得到EF＝DF＝1，据此判断D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD，
∴BC＝AD，∠D＝∠B＝90°，CD＝AB＝3，
由折叠可得∠E＝∠B＝∠BAD＝90°，CE＝BC，
∴AD＝CE，∠D＝∠E，
在△ADF和△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴AF＝CF，
故选项A正确，不符合题意；
∵tan∠CAB，
∴∠CAB＝30°，
故选项B正确，不符合题意；
∵∠CAB＝30°，
由折叠可得∠CAE＝30°，
∴∠DAF＝30°，
∴tan∠DAF，即，
∴DF＝1，
CF＝3﹣1＝2，
∴DF：FC＝1：2，
故C选项错误，符合题意；
∵△ADF≌△CEF，
∴EF＝DF＝1，
故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），含30度角的直角三角形，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．
3．（2024秋 九龙坡区校级期末）在矩形ABCD中，沿对角线BD将矩形ABCD折叠，顶点C落在点E处，AB＝6，AD＝12，在BD上取点F，使得CF＝CD，并延长CF交BE于点G，则FG＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；展开与折叠；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】由矩形的性质和折叠的性质得BH＝DH，利用勾股定理求出，证明△EHD∽△GBC得，代入数据求出，进而可求出．
【解答】解：如图，设BE、AD交于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CF＝CD＝AB＝6，BC＝AD＝12，
∴∠ADB＝∠CBD，∠EHD＝∠GBC．
由折叠的性质得：∠CBD＝∠EBD，BE＝BC＝12，DE＝CD＝6，∠E＝∠BCD＝90°，
∴∠EBD＝∠ADB，
∴BH＝DH．
∵AB2+AH2＝BH2，
∴62+（12﹣BH）2＝BH2，
∴，
∵CF＝CD，
∴∠CDF＝∠CFD＝∠BFG，
∵∠CDF+∠CBD＝90°，
∴∠BFG+∠EBD＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∴∠BGC＝∠E＝90°，
∴△EHD∽△GBC，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
4．（2024秋 龙湖区期末）如图，直线l是一条公路，A、B是两个村庄．欲在l上的某点处修建一个车站，直接向A、B两地提供乘车服务．现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道路，则铺设道路最短的方案是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】利用轴对称的性质，将线段进行转化，依据“两点之间，线段最短”来求得最短道路．
【解答】解：作点A关于l的对称点A'，
连接A'B，
则A'B为最短道路．
故选：D．
【点评】本题考查最短路径问题，解决本题的关键是利用轴对称的性质，并借助“两点之间，线段最短”求解．
5．（2024秋 东阳市期末）如图1，矩形ABCD中，点E在AD上，且BE＝2AE．分别以BE，CE为折线，将A，D向BC的方向折过去，图2为对折后A，B，C，D，E五点均在同一平面上的位置图．在图2中，若∠AED＝16°，则∠BEC的度数为（　　）
A．76° B．82° C．90° D．94°
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】设翻折后点A、点D的对应点分别为点M、点N，则∠AEB＝∠MEB，∠DEC＝∠NEC，所以∠AEM＝2∠AEB，∠DEN＝2∠DEC，由2∠AEB﹣16°+2∠DEC＝180°，求得∠AEB+∠DEC＝98°，所以16°+∠BED+∠DEC＝98°，则∠BEC＝∠BED+∠DEC＝82°，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图2，设点A、点D的对应点分别为点M、点N，
∵∠AEB＝∠MEB，∠DEC＝∠NEC，
∴∠AEM＝2∠AEB，∠DEN＝2∠DEC，
∵∠AEM﹣∠AED+∠DEN＝180°，且∠AED＝16°，
∴2∠AEB﹣16°+2∠DEC＝180°，
∴∠AEB+∠DEC＝98°，
∴16°+∠BED+∠DEC＝98°，
∴∠BEC＝∠BED+∠DEC＝98°﹣16°＝82°，
故选：B．
【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质等知识，推导出∠AEB+∠DEC＝98°是解题的关键．
6．（2024秋 渝北区校级期末）下列各图是中国古典花窗基本图案，其中是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】利用轴对称设计图案．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【解答】解：轴对称图形是：．
故选：C．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的定义．
7．（2024秋 海陵区期末）如图，在△ABC中，BA＝BC＝10，AC＝12，点D为AC的中点，点E为AB边上一点，将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A′，当点A′落在△ABC内部（不包括边上）时，AE的取值范围是（　　）
A． B．
C．3＜AE＜4 D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】A
【分析】如图1中，当点A1落在AB上时，如图2中，当点A1落在BC上时，分两种情形求出AE的长可得结论．
【解答】解：连接BD．当点A1落在AB上时，DE⊥AB，
∵BA＝BC，D是AC的中点，
∴BD⊥AC，AD＝CDAC＝6，
∴BD8，
∵ AD BD AB DE，
∴DE，
∴AE．
如图，当点A1落在BC上时，
∵DA＝DA1＝DC，
∴∠AA1C＝90°，
∴AA1⊥BC，
∵A，A1关于DE对称，
∴AA1⊥DE，
∴DE∥BC，
∴∠EDA＝∠C，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠C，
∴∠BAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠EDA+∠EDB＝90°，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴ED＝EB＝EAAB＝5，
∴当点A′落在△ABC内部（不包括边上）时，AE的取值范围是AE＜5．
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质，学会寻找特殊位置解决问题．
8．（2024秋 扬州期末）如图，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，β﹣α＝40°，则∠AOB的度数为（　　）
A．20° B．40° C．10° D．60°
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据外角定理求解．
【解答】解：如下图：作M关于OB的对称点E，作N关于OA的对称点F，
则OB垂直平分ME，OA垂直平分NF，
∴MP＝EP，QF＝QN，
∴MP+PQ+QN＝EP+PQ+QF≥EF，此时，EF为MP+PQ+QN的最小值，
设∠AOB＝x，
∵MP＝EP，QF＝QN，
∴∠E＝∠EMPα，∠F＝∠QNF，
∴∠FPN＝∠OPE＝90°，∠OQE＝∠FQA＝90°，
∵∠O+∠OQE＝∠FPB，即x+90°90°，
∴x20°，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握转化思想和外角定理是解题的关键．
9．（2024秋 太仓市期末）如图，在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，∠BCA＝90°，在AC上取一点E，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，使得点A'落在直线BC上，则AE的长度为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出AC＝4，设AE＝x，由折叠得A′B＝AB＝5，得CA′＝2，CE＝4﹣x，A′E＝x，在Rt△A′CE中，由勾股定理得方程22+（4﹣x）2＝x2，求出x的值即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理可得：
，
设AE＝x，则CE＝4﹣x，
由折叠的性质可：得A′B＝AB＝5，A′E＝AE＝x，
∴CA′＝BA′﹣BC＝5﹣3＝2，
∵CA′2+CE2＝A′E2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
∴x＝2.5，
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用和折叠的性质，正确进行计算是解题关键．
10．（2024秋 綦江区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC，交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则PB+PD的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】根据中垂线的性质，得到BP＝CP，进而得到PB+PD＝PC+PD≥CD，进而得到PB+PD的最小值为CD的长，根据三角形的面积公式求出CD的长即可．
【解答】解：连接PC，
由题意可得：PC＝PB，
∴PB+PD＝PC+PD≥CD，
∵CD⊥AB，
∴，
∵AB＝6，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查中垂线的性质，两点之间线段最短，正确进行计算是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 泰兴市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为边BC，AB上的动点，∠B＝α，∠ADE＝β，当AD+DE取最小值时，写出α与β满足的关系式　β＝2α　．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；直角三角形的性质．
【专题】推理能力．
【答案】β＝2α．
【分析】如图：作点E关于BC的对称点E′，又Rt△ABC，则点E的轨迹为以AB为腰、BC为高的等腰三角形的另一边BA′上，连接DE′，进而说明当AE′1⊥BA′时AD+DE最小，连接AE′1交BC于D1则E′1关于BC的对称点在AB上，再根据直角三角形的性质说明∠E′1E1D1＝α，再根据轴对称的性质得到∠E1E′1D1＝∠E′1E1D1＝α，最后根据三角形外角的性质即可解答．
【解答】解：作点E关于BC的对称点E′，连接DE′，
∵△ABC是直角三角形，
∴点E的轨迹为以AB为腰、BC为高的等腰三角形的另一边BA′上，
∴DE′＝DE，∠A′BC＝∠ABC＝α，
∴AD+DE＝AD+DE′≥AE′，
由垂线段最短可知：当AE′1⊥BA′时，AE′最小，即AD+DE最小，
连接AE′1交BC于D1，则E′1关于BC的对称点E1在AB上，
∴EE′⊥BC，
∴∠A′BC+∠BE′1E1＝90°，
∵AE′1⊥BA′，
∴∠D1E′1E1+∠BE′1E1＝90°，
∴∠D1E′1E1＝∠A′BC＝α，
∵E′1关于BC的对称点E1，
∴∠D1E′1E1＝∠D1E1E′1＝α，
∴β＝∠E1D1A＝∠D1E′1E1+∠D1E1E′1＝2α，
∴α与β的关系式为β＝2α．
故答案为：β＝2α．
【点评】本题主要考查了利用轴对称解决最短路径问题、垂线段的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握以上性质是解本题的关键．
12．（2024秋 肥西县期末）如图，在△ABC中，若AC＝5，BC＝12，AB＝14，将△ABC折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则△PEB的周长最小值为　21　．
【考点】翻折变换（折叠问题）；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】21．
【分析】连接CP，根据折叠性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB＝BE+CD+DB＝BC+BE，先求出BE长，代入求出即可．
【解答】解：连接CP，
∵沿AD折叠C和E重合，
∴AC＝AE＝5，PE＝PC，
∴BE＝AB﹣AE＝14﹣5＝9，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB＝BE+CD+DB＝BC+BE，
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE＝12+9＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了折叠性质，轴对称﹣最短路线问题，关键是求出P点的位置．
13．（2024秋 增城区期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 　8　．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AD交EF与点M′，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
【解答】解：连接AD交EF与点M′，连接AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABCBC AD4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM+MD＝MD+AM．
∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+6＝8．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
14．（2024秋 湛江期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E，F两动点分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC＝48°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为 　48°　．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等腰三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】48°．
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解．
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，交AD于E，连接BE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB（180°﹣48°）＝66°，
∴CE＝BE，∠BCF＝90°﹣∠ABC＝24°，
∴∠ECB＝∠EBC＝24°，BE+EF＝CE+EF≥CF，此时BE+EF的最小值为CF的长，
∴∠BEF＝∠BCF+∠CBE＝24°+24°＝48°，
故答案为：48°．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和外角定理是解题的关键．
15．（2024秋 扬州期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2025次变换后所得的A点坐标是 　（a，﹣b）　．
【考点】坐标与图形变化﹣对称；规律型：点的坐标．
【专题】规律型；平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（a，﹣b）．
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2025除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【解答】解：第一次变化后点A的坐标为（a，﹣b）；第二次变化后点A的坐标为（﹣a，﹣b）；
第三次变化后点A的坐标为（﹣a，b）；第四次变化后点A的坐标为（a，b）；
每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2025÷4＝506…1，
∴经过第2023次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，坐标为（a，﹣b）．
故答案为：（a，﹣b）．
【点评】本题考查了轴对称变换，根据对称变换，确定变换的循环节为4，除以4看余数计算即可，正确找到规律是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 甘州区期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的图形；
（3）求S△ABC．
【考点】作图﹣轴对称变换；三角形的面积．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）；
（2）作图见解答过程；
（3）．
【分析】（1）根据坐标系内点的位置可得点的坐标；
（2）根据关于x轴对称的两个点的坐标关系，可得A1（1，﹣3），B1（﹣1，﹣2），C1（2，0），再顺次连接A1、B1、C1即可；
（3）利用割补法求解三角形的面积即可．
【解答】解：（1）由题意可得：A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）；
（2）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图即为所求；
（3）S△ABC＝3×32×13×23×1．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
17．（2024秋 延边州期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（5，1），C（3，5）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1，在平面直角坐标系中画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标为　（﹣1，4）　；
（2）点C2（a+b，a﹣b）与点C（3，5）关于x轴对称，则a＝　﹣1　，b＝　4　；
（3）直接写出△ABC的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换；解二元一次方程组；三角形的面积．
【专题】作图题；一次方程（组）及应用；几何直观．
【答案】（1）作图见解答过程；（﹣1，4）
（2）﹣1，4；
（3）△ABC的面积是5．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出A、B、C对应点A1，B1，C1的坐标，再在坐标系中描出A1，B1，C1，最后顺次连接A1，B1，C1即可；
（2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到方程组，解方程组即可得到答案；
（3）利用割补法求解即可．
【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图1即为所求；
由图可知，A1（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）；
（2）∵点C2（a+b，a﹣b）与点C（3，5）关于x轴对称，
∴C2的坐标为（3，﹣5），
∴，
∴a＝﹣1，b＝4，
故答案为：﹣1，4；
（3）由题意得，S△ABC＝4×41×23×42×4＝5．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，解二元一次方程，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
18．（2024秋 潼南区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点P，使△APC的周长最小，求点P的坐标．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）抛物线的表达式为yx2x﹣2；
（2）P（，）．
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）先根据轴对称的性质找到P，再根据点与直线的关系求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2+bx﹣2，
解得：a，b，
∴抛物线的表达式为yx2x﹣2；
（2）由抛物线的对称性得：直线x是AB垂直平分线，
连接BC交对称轴为P′，此时△APC的周长最小，
设BC：y＝kx﹣2，
∴4k﹣2＝0，解得：k，∴BC：yx﹣2，
当x时，y，
∴P（，）．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，找到最短路径是解题的关键．
19．（2024秋 中牟县期末）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点都在格点上，已知点C的坐标为（﹣1，1），点D的坐标为（﹣2，4）．
（1）建立平面直角坐标系，并写出点A，B的坐标；
（2）若四边形ABCD各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘﹣1，请在同一平面直角坐标系中描出对应的点A1，B1，C1，D1，并依次连接这四个点，则所得的四边形A1B1C1D1与四边形ABCD有怎样的位置关系？
（3）计算四边形A1B1C1D1的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）图见解析，A（﹣4，5），B（﹣6，1）；
（2）所得的四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于x轴对称；
（3）12.5．
【分析】（1）根据E点坐标确定原点位置，再利用坐标系写出点的坐标即可；
（2）利用坐标系确定点A1，B1，C1，D1的坐标，进而解答即可；
（3）利用面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图所示：
A（﹣4，5），B（﹣6，1）．
（2）所得的四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于x轴对称；
（3）四边形A1B1C1D1的面积12.5．
【点评】此题主要考查了作图﹣轴对称，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
20．（2024秋 徐闻县期末）如图，已知A（0，4），B（﹣2，2），C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
（2）写出点A′、B′、C′的坐标：
A′（ 　0，﹣4　）、B′（ 　﹣2，﹣2　）、C′（ 　3，0　）
（3）求△A′B′C′的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换；三角形的面积．
【专题】作图题；运算能力．
【答案】（1）见解答；
（2）0，﹣4；﹣2，﹣2；3，0；
（3）7．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图；
（2）根据关于x轴对称的特点求解；
（3）根据割补法求解．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′为所求；
（2）A′（0，﹣4）、B′（﹣2，﹣2）、C′（3，0），
故答案为：0，﹣4；﹣2，﹣2；3，0；
（3）S△A′B′C′
＝15﹣2﹣6
＝7．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，掌握轴对称的性质和割补法求面积是解题的关键．
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