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2025年中考数学二轮复习押题预测 图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 滨湖区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为7：9，那么线段FC的长为（　　）
A． B．或 C．或 D．或
2．（2024秋 杭州期末）黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点B是AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC的长度为8cm，那么BC的长度是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 无锡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝4，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝3，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 连平县期末）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若△ABC的周长等于△A′B′C′周长的．AO＝2，则OA′的长度为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2024秋 武侯区期末）下列说法正确的是（　　）
A．任意两个矩形都相似
B．方程x2﹣2x＝x﹣5有实数根
C．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等
6．（2024秋 连平县期末）如图是小明设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD＝12米，镜子P与小明的距离BP＝1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度AB＝1.2米，解决本题应用了什么光学知识，该古城墙的高度是（　　）
A．光的反射，9.6米 B．光的折射，9.6米
C．光沿直线传播，8米 D．光的反射，24米
7．（2024秋 连平县期末）如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 嘉定区一模）如图，两条不平行的直线l1与直线l2相交于点O，四条平行线分别交直线l1于点A、B、C、D，分别交直线l2于点A1、B1、C1、D1，则有AA1∥BB1∥CC1∥DD1，如果A1O＝3，OB1＝B1C1＝2，C1D1＝4，那么在下列结果中，线段之差最大的是（　　）
A．BD﹣AB B．OC﹣OA C．OC﹣CD D．CD﹣OB
9．（2024秋 温州期末）一把放缩尺如图所示，当画笔A沿图形F运动时，画笔A′随之画出放大后的位似图形F′．若位似比为1：3，图形F的周长是4，则图形F′的周长是（　　）
A．2 B．8 C．12 D．16
10．（2024秋 南通期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC，点E为边AC上的点，且CE＝2，点E关于边AB的对称点为点F，连接CF，则CF的长为（　　）
A． B．5 C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 成都期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE∥BC，D为AC的中点，F为CD上一点，连接BF，将△BCF沿BF折叠得到△BGF，点C的对应点G落在线段DE上，若GE＝2DG＝4，则AC的值为 　 　．
12．（2024秋 重庆期末）如图，在 ABCD中，过AC上的点O作MN∥AB，PQ∥AD，M、N、P、Q均在平行四边形的边上，且CN＝3BN，S△CON＝9，则四边形DMOQ的面积为　 　．
13．（2024秋 武侯区期末）在如图所示的“五角星”图案中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点，若AC＝4，则线段AB的长为　 　．（结果保留根号）
14．（2024秋 柯桥区期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上一点，BD＝2DC，连结AD，点E在线段AD上，若∠BEC＝135°，则的值为 　 　．
15．（2024秋 寒亭区期末）如图，小莹用自制直角三角纸板测量“观光塔”的高度，她调整自己的位置，设法使斜边AB保持水平，边AC与点E在同一直线上．已知直角三角纸板中，AC＝24cm，BC＝18cm，测得点A离地面的高度为1.5m，小莹与“观光塔”的水平距离AH为178m，则“观光塔”的高度EF是 　 　m
三．解答题（共5小题）
16．（2025 黄浦区一模）已知平行四边形ABCD中，AB＝9，BC＝5，，P是边AB上一动点，过点P作PE⊥PC，交射线CD于点E，交AC于点H，F是PE上的点，，联结CF．
（1）求证：∠BAC＝∠PCF；
（2）当△APC∽△EFC时，求线段BP的长；
（3）当时，求的值．
17．（2025 杨浦区一模）已知：如图，△ABC中，∠A＝90°，点D是AB边上一点，过点B作BE⊥CD交CD延长线于点E，AD BC＝BE CD．
（1）求证：BE2＝ED EC；
（2）求证：AB BC＝2CE BE．
18．（2024秋 宁波期末）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4的网格，每个小正方形的顶点叫做格点△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务．
（1）在图1中，画△EAC，使点E在格点上，且△EAC与△ABC相似；（只需画出一个即可）
（2）在图2中，线段AB上找一点D，使BD：DA＝1：2．
19．（2024秋 垫江县期末）如图，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC边上一点，连接BE，过E作ED⊥AC，交BC边于点D．
（1）如图1，连接AD，若CE＝2，BD＝3，∠C＝45°，求△ADE的面积；
（2）如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若∠BDE＝∠CDF，求证：AE+DEBE；
（3）如图3，若∠C＝30°，将△BCE沿BE折叠，得到△BEF，且BF与AC交于点G，连接AD，DF，点E在AC边上运动的过程中，当BF⊥AC时，直接写出的值．
20．（2024秋 武侯区期末）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛AB通过凸透镜MN所成的像是CD，点O是凸透镜的中心，光线AE∥BO，点F是凸透镜的焦点，已知焦距OF的长为10cm，蜡烛AB的长为8cm，点D，B，O，F在同一条直线上．
（1）如图1，当蜡烛AB通过该凸透镜成正立放大的虚像CD时，若OB＝6cm．
（i）填空：的值为 　 　；
（ⅱ）求此时虚像CD的高度；
（2）如图2，当蜡烛AB通过该凸透镜成倒立缩小的实像CD，且时，求此时物距OB的长．
2025年中考数学二轮复习押题预测 图形的相似
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C D A D D C C
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 滨湖区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为7：9，那么线段FC的长为（　　）
A． B．或 C．或 D．或
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】连接BB'，过点F作FH⊥BC交AD于点H，证明四边形CFHD是矩形，则CH＝CD＝3，CF＝DH，先求出四边形EFCD的面积S，再证明△FHE和△BCB'相似得，设EH＝3a，B'C＝4a，FC＝x，BF＝4﹣x，在Rt△CB'F中，由勾股定理得（4﹣x）2＝x2+（4a）2，则x＝2﹣2a2，DH＝FC＝2﹣2a2，DE＝2﹣2a2+3a，四边形EFCD的面积S（DE+FC） CD（4+3a﹣4a2），进而得（4+3a﹣4a2），由此解出解得a，a，进而即可得出线段FC的长．
【解答】解：连接BB'，过点F作FH⊥BC交AD于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠C＝∠D＝90°，S矩形ABCD＝12，
∴∠C＝∠D＝∠CFH＝∠BFH＝90°，
∴四边形CFHD是矩形，
∴CH＝CD＝3，CF＝DH，∠FHD＝∠FHE＝90°，
设四边形EFCD的面积为S，则四边形ABFE的面积为12﹣S，
∵四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为7：9，
∴（12﹣S）：S＝7：9，
解得：S，
由翻折的性质得：EF⊥BB'，BF＝B'F，
∴∠CBB'+∠BFE＝90°，
∵∠BFE+∠HFE＝∠BFH＝90°，
∴∠CBB'＝∠HFE，
又∵∠FHE＝∠C＝90°，
∴△FHE∽△BCB'，
∴，
∴设EH＝3a，B'C＝4a，
设FC＝x，则BF＝B'F＝BC﹣FC＝4﹣x，
在Rt△CB'F中，由勾股定理得：B'F2＝FC2+B'C2，
∴（4﹣x）2＝x2+（4a）2，
解得：x＝2﹣2a2，
∴DH＝FC＝2﹣2a2，
∴DE＝DH+EH＝2﹣2a2+3a，
∴四边形EFCD的面积S（DE+FC） CD（2﹣2a2+3a+2﹣2a2）×3（4+3a﹣4a2），
∴（4+3a﹣4a2），
整理得：8a2﹣6a+1＝0，
解得：a，a，
当a时，FC＝2﹣2a2，
当a时，FC＝2﹣2a2，
综上所述：线段FC的长为或．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，理解矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，图形的翻折变换及其性质，灵活运用相似的性质，勾股定理构造方程是解决问题的关键．
2．（2024秋 杭州期末）黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点B是AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC的长度为8cm，那么BC的长度是（　　）
A． B． C． D．
【考点】黄金分割．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：∵点B是AC的黄金分割点，且AB＞BC，
∴．
又∵AC＝8cm，
∴AB＝（）cm，
∴BC＝AC﹣AB＝8﹣（）＝（）cm．
故选：D．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
3．（2024秋 无锡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝4，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝3，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】由∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB得AC∥MN∥BD，可得△BMN∽△BAC，△CMN∽△CDB，从而得，，把两式相加得，从而求出MN的长度．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，
∴AC∥MN∥BD，
∴△BMN∽△BAC，△CMN∽△CDB，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形相似的判定和性质．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
4．（2024秋 连平县期末）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若△ABC的周长等于△A′B′C′周长的．AO＝2，则OA′的长度为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据位似的性质可得△ABC∽△A′B′C′，且AC∥A′C′，结合周长比进而可得相似比为1：4，即有，再证明△AOC∽△A′OC′，问题得解．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，
∴△ABC∽△A′B′C′，且AC∥A′C′，
∵△ABC的周长等于△A′B′C′周长的，
∴相似比为1：4，
∴，
∵AC∥A′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴，
∵AO＝2，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
5．（2024秋 武侯区期末）下列说法正确的是（　　）
A．任意两个矩形都相似
B．方程x2﹣2x＝x﹣5有实数根
C．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等
【考点】相似多边形的性质；平行投影；根的判别式；反比例函数的应用；矩形的性质；轴对称图形；中心对称图形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】分别根据相似多边形的性质，根的判别式，反比例函数的性质，矩形的性质，轴对称图形及中心对称图形的定义，平行投影对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、任意两个矩形不一定相似，原说法错误，不符合题意；
B、方程x2﹣2x＝x﹣5可化为x2﹣3x+5＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝5，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×5＝9﹣20＝﹣11＜0，
∴此方程无实数根，原说法错误，不符合题意；
C、反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，原说法错误，不符合题意；
D、甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等，正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，根的判别式，反比例函数的性质，矩形的性质，轴对称图形及中心对称图形的定义，平行投影，熟知以上知识是解题的关键．
6．（2024秋 连平县期末）如图是小明设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD＝12米，镜子P与小明的距离BP＝1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度AB＝1.2米，解决本题应用了什么光学知识，该古城墙的高度是（　　）
A．光的反射，9.6米 B．光的折射，9.6米
C．光沿直线传播，8米 D．光的反射，24米
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】根据题意得到∠ABP＝∠CDP＝90°，由光的反射定律可知∠APB＝∠CPD，则可证明△APB∽△CPD，得到，据此代入数值计算即可．
【解答】解：由题意得：AB⊥BD，DC⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
由光的反射定律可知∠APB＝∠CPD，
∴△APB∽△CPD，
∴，
∵PD＝12米，BP＝1.5米，AB＝1.2米，
∴，
∴CD＝9.6米，
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
7．（2024秋 连平县期末）如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值（　　）
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∵DE∥AB，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8．（2025 嘉定区一模）如图，两条不平行的直线l1与直线l2相交于点O，四条平行线分别交直线l1于点A、B、C、D，分别交直线l2于点A1、B1、C1、D1，则有AA1∥BB1∥CC1∥DD1，如果A1O＝3，OB1＝B1C1＝2，C1D1＝4，那么在下列结果中，线段之差最大的是（　　）
A．BD﹣AB B．OC﹣OA C．OC﹣CD D．CD﹣OB
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断便可．
【解答】解：由题知，
∵AA1∥BB1，A1O＝3，OB1＝2，
∴，
则令OA＝3k，OB＝2k．
同理可得，BC＝2k，CD＝4k，
∴BD﹣AB＝k，OC﹣OA＝k，OC﹣CD＝0，CD﹣OB＝2k，
显然2k为差值最大的一个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键．
9．（2024秋 温州期末）一把放缩尺如图所示，当画笔A沿图形F运动时，画笔A′随之画出放大后的位似图形F′．若位似比为1：3，图形F的周长是4，则图形F′的周长是（　　）
A．2 B．8 C．12 D．16
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】根据位似图形的周长比等于位似比解答即可．
【解答】解：∵位似图形的周长比等于位似比，且位似比为1：3，图形F的周长是4，
∴图形F′的周长是4×3＝12，
故选：C．
【点评】本题考查位似图形的周长比等于位似比，掌握位似图形的周长比等于位似比是解答本题的关键．
10．（2024秋 南通期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC，点E为边AC上的点，且CE＝2，点E关于边AB的对称点为点F，连接CF，则CF的长为（　　）
A． B．5 C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】如图，过点B作BTAC于点T，过点A作AD⊥BC于点D，过点E作EH⊥AC于点H．利用面积法求出BT，再利用勾股定理求出AT，利用相似三角形的性质求出OE，EF，证明△FHE∽△ATB，推出可得结论．
【解答】解：如图，过点B作BTAC于点T，过点A作AD⊥BC于点D，过点E作EH⊥AC于点H．
∵AB＝AC＝5，BC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD，
∵ BC AD AC BT，
∴BT3，
∴AT4，
∵AC＝5，CE＝2，
∴AE＝5﹣2＝3，
∵∠EAO＝∠BAT，∠AOE＝∠ATB＝90°，
∴△AOE∽△ATB，
∴，
∴，
∴OE，
∵E，F关于AB对称，
∴EF＝2OE＝2，
∵∠EFH+∠FEH＝90°，∠BAT+∠FEH＝90°，
∴∠EFH＝∠BAT，
∵∠FHE＝∠ATB＝90°，
∴△FHE∽△ATB，
∴，
∴，
∴EH，FH，
∴CH＝EH+EC2，
∴CF．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 成都期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE∥BC，D为AC的中点，F为CD上一点，连接BF，将△BCF沿BF折叠得到△BGF，点C的对应点G落在线段DE上，若GE＝2DG＝4，则AC的值为 　4　．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】4．
【分析】作BH∥AC交DE的延长线于点H，由GE＝2DG＝4，得DG＝2，求得ED＝6，由D为AC的中点，求得AD＝CDAC，由DE∥BC证明△AED∽△ABC，求得，则BC＝2ED＝12，再证明四边形BCDH是矩形，得DH＝BC＝12，则GH＝10，由折叠得BG＝BC＝12，则CD＝BH2，所以AC＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：作BH∥AC交DE的延长线于点H，
∵GE＝2DG＝4，
∴DG＝2，
∴ED＝DG+GE＝2+4＝6，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CDAC，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴BC＝2ED＝12，
∵DH∥BC，BH∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形BCDH是矩形，
∴DH＝BC＝12，∠H＝90°，
∴GH＝DH﹣DG＝12﹣2＝10，
由折叠得BG＝BC＝12，
∴CD＝BH2，
∴AC＝2CD＝4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
12．（2024秋 重庆期末）如图，在 ABCD中，过AC上的点O作MN∥AB，PQ∥AD，M、N、P、Q均在平行四边形的边上，且CN＝3BN，S△CON＝9，则四边形DMOQ的面积为　6　．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】6．
【分析】由平行四边形的性质得BC∥AD，CD∥AB，而MN∥AB，PQ∥AD，所以BN＝AM，CN＝DM，因为CN＝3BN，所以CN＝DM＝3AM，再证明△AOM∽△CON，得，求得S△AOMS△CON＝1，设点O到AD的距离为h，则S△AOMAM h＝1，求得AM h＝2，则S四边形DMOQ＝DM h＝3AM h＝6，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，CD∥AB，
∵MN∥AB，PQ∥AD，
∴CD∥MN，
∴四边形ABNM、四边形DCNM、四边形DMOQ都是平行四边形，
∴BN＝AM，CN＝DM，
∵CN＝3BN，
∴CN＝DM＝3AM，
∴，
∵AM∥CN，S△CON＝9，
∴△AOM∽△CON，
∴，
∴S△AOMS△CON9＝1，
设点O到AD的距离为h，则S△AOMAM h＝1，
∴AM h＝2，
S四边形DMOQ＝DM h＝3AM h＝3×2＝6，
故答案为：6．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AOM∽△CON，并且求得S△AOMS△CON＝1是解题的关键．
13．（2024秋 武侯区期末）在如图所示的“五角星”图案中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点，若AC＝4，则线段AB的长为　　．（结果保留根号）
【考点】黄金分割．
【专题】运算能力．
【答案】．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：由题知，
∵C、D两点都是线段AB的黄金分割点，
∴．
又∵AC＝4，
∴BC，
∴AB＝AC+BC＝4．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
14．（2024秋 柯桥区期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上一点，BD＝2DC，连结AD，点E在线段AD上，若∠BEC＝135°，则的值为 　　．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】过点E作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q，则△APE∽△ABD，△AQE∽△ACD，所以，而BD＝2DC，则，所以PE＝2EQ，推导出EQPQ，由∠BAC＝90°，AB＝AC，得BCAC，可证明AP＝AQ，则BP＝QC，再证明△PBE∽△QEC，得，则QC2＝2EQ2，所以QCEQPQ，推导出PQAQ，EQQC，则QCAC，EQAC，再证明△CEQ∽△BCE，得，则CE2＝EQ BCAC2，求得，于是得到问题的答案．
【解答】解：过点E作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q，则△APE∽△ABD，△AQE∽△ACD，
∴，
∵BD＝2DC，
∴，
∴PE＝2EQ＝PQ﹣EQ，
∴EQPQ，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠APQ＝∠ABC＝45°，∠AQP＝∠ACB＝45°，BCAC，
∴∠BPE＝∠EQC＝135°，∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ，
∴BP＝AB﹣AP＝AC﹣AQ＝QC，
∵∠BEC＝135°，
∴∠QEC+∠PEB＝45°，
∴∠PBE+∠PEB＝∠APQ＝45°，
∴∠PBE+∠PEB＝∠QEC+∠PEB，
∴∠PBE＝∠QEC，
∴△PBE∽△QEC，
∴，
∴QC2＝2EQ2，
∴QCEQPQPQ，
∵PQAQ，EQQC，
∴QCAQAQ（AC﹣QC），
∴QCAC，
∴EQACAC，
∵∠CQE＝∠BEC＝135°，∠CEQ＝∠BCE，
∴△CEQ∽△BCE，
∴，
∴CE2＝EQ BCACACAC2，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
15．（2024秋 寒亭区期末）如图，小莹用自制直角三角纸板测量“观光塔”的高度，她调整自己的位置，设法使斜边AB保持水平，边AC与点E在同一直线上．已知直角三角纸板中，AC＝24cm，BC＝18cm，测得点A离地面的高度为1.5m，小莹与“观光塔”的水平距离AH为178m，则“观光塔”的高度EF是 　135　m
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】135．
【分析】先证△CAB∽△HAE，得出，求出EH的长度，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：HF＝1.5m，∠ACB＝90°，∠AHE＝90°，
∴∠ACB＝∠AHE，
∵∠CAB＝∠HAE，
∴△CAB∽△HAE，
∴，
即，
解得：EH＝133.5（m），
EF＝EH+HF＝133.5+1.5＝135（m），
故答案为：135．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，判定出△CAB∽△HAE相似是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 黄浦区一模）已知平行四边形ABCD中，AB＝9，BC＝5，，P是边AB上一动点，过点P作PE⊥PC，交射线CD于点E，交AC于点H，F是PE上的点，，联结CF．
（1）求证：∠BAC＝∠PCF；
（2）当△APC∽△EFC时，求线段BP的长；
（3）当时，求的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）的值为或．
【分析】（1）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，由求出CG＝4，由勾股定理的出BG＝3，AG＝6，所以，由∠CPF＝90°，，得到，进而可得出结论；
（2）根据平行线的性质以及角的和差关系证出∠PCA＝∠FCD，由△APC∽△EFC，得到∠APC＝∠EFC，∠BPC＝∠PFC，所以tan∠BPC＝tan∠PFC，求出，进而可求出BP的长；
（3）过点H作 HM⊥AB，垂足为点M，根据，得到，证明出△MPH∽△GCP，可得，由，可得，然后分两种情况讨论：①当点F在线段PH的延长线上时；②当点F在线段PH上时；即可解答．
【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，
∵BC＝5，∠BGC＝90°，
∴，
∴CG＝4，
∴，
∵AB＝9，
∴AG＝AB﹣BG＝6，
∵∠AGC＝90°，
∴，
∵∠CPF＝90°，，
∴，
∵∠BAC＝∠PCF＜90°，
∴∠BAC＝∠PCF；
（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵∠PCF＝∠BAC，
∴∠PCF＝∠ACD，
∴∠PCA＝∠FCD，
∵△APC∽△EFC，
∴∠APC＝∠EFC，∠BPC＝∠PFC，
∴tan∠BPC＝tan∠PFC，
∴，
∴，
∴；
（3）过点H作HM⊥AB，垂足为点M，
∵∠FPC＝90°，
∴∠MPH+∠CPG＝180°﹣∠FPC＝90°，
∵∠CPG+∠PCG＝90°，
∴∠MPH＝∠PCG，
∵∠HMP＝∠CGP＝90°，
∴△MPH∽△GCP，
∴，
∵，
∴，
①当点F在线段PH的延长线上时，
由，可得，
设MH＝a，
∴GP＝2a，MP＝2，，
∴2aa+2+3＝9，
∴，
∵∠AMH＝∠AGC＝90°，
∴△AMH∽△AGC，
∴；
②当点F在线段PH上时，可得PH＝PC，
设MH＝b，
∴GP＝b，MP＝4，，
∴，
∴，
∵∠AMH＝∠AGC＝90°，
∴△AMH∽△AGC，
∴；
综上所述：的值为或．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键．
17．（2025 杨浦区一模）已知：如图，△ABC中，∠A＝90°，点D是AB边上一点，过点B作BE⊥CD交CD延长线于点E，AD BC＝BE CD．
（1）求证：BE2＝ED EC；
（2）求证：AB BC＝2CE BE．
【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）先证明△ADC∽△BEC，得到∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠EBC，又因为∠ADC＝∠EDB，所以∠EDB＝∠EBC，然后证明△EBD∽△ECB，得到，即可得证；
（2）延长CA、BE交于点H，由已知条件得BC＝CH，又∠ACD＝∠BCE，所以∠EDB＝∠EBC，证明△EBD∽△ECB，得，即可得证．
【解答】证明：（1）∵AD BC＝BE CD，
∴，
在Rt△ADC与Rt△BEC 中，∠E＝∠A＝90°，，
∴△ADC∽△BEC，
∴∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠EBC，
∵∠ADC＝∠EDB，
∴∠EDB＝∠EBC，
在△EBD与△ECB中，∠EDB＝∠EBC，∠E是公共角，
∴△EBD∽△ECB，
∴，
即BE2＝ED EC；
（2）延长CA、BE交于点H，
∵∠ACD＝∠BCE，∠BEC＝90°，由三角形内角和可得∠EBC＝∠H，
∴BC＝CH，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴BH＝2BE＝2EH，
在Rt△ABH 与Rt△BEC 中，∠BEC＝∠BAH＝90°，∠EBC＝∠H，
∴Rt△ABH∽Rt△BEC，
∴，
即AB BC＝2BE CE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键．
18．（2024秋 宁波期末）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4的网格，每个小正方形的顶点叫做格点△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务．
（1）在图1中，画△EAC，使点E在格点上，且△EAC与△ABC相似；（只需画出一个即可）
（2）在图2中，线段AB上找一点D，使BD：DA＝1：2．
【考点】作图﹣相似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可；
（2）取格点E，连接CE，交AB于点D，则点D即为所求作的点．
【解答】解：（1）点E即为所求作的点，如图1.1，1.2：
∵，∠BCA＝∠CAE＝90°，
∴△ABC∽△ECA；
∵，∠BCA＝∠ACE＝90°，
∴△ABC∽△EAC；
（2）点D即为所求作的点，如图2：
∵AE∥BC，
∴△ADE∽△BDC，
∴，
即BD：DA＝1：2．
【点评】本题主要考查了作图﹣相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
19．（2024秋 垫江县期末）如图，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC边上一点，连接BE，过E作ED⊥AC，交BC边于点D．
（1）如图1，连接AD，若CE＝2，BD＝3，∠C＝45°，求△ADE的面积；
（2）如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若∠BDE＝∠CDF，求证：AE+DEBE；
（3）如图3，若∠C＝30°，将△BCE沿BE折叠，得到△BEF，且BF与AC交于点G，连接AD，DF，点E在AC边上运动的过程中，当BF⊥AC时，直接写出的值．
【考点】相似形综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）ED⊥AC，∠C＝45°利用等腰直角三角性质CD、BC，再利用勾股定理求得AC，计算出AE即可求出面积；
（2）如图2中，过点B作BT⊥BE交ED的延长线于点T．证明△ABF≌△DBF（SAS），推出AB＝BD，再证明△ABE≌△DBT（ASA），推出BE＝BT，AE＝DT，推出AE+DE＝DT+DE＝ET，推出△BET是等腰直角三角形，可得结论；
（3）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得AD，证明△ADF是直角三角形，进而勾股定理求得DF，即可求解．
【解答】（1）解：∵ED⊥AC，∠C＝45°，
∴∠EDC＝∠C＝45°，
∴CE＝DE＝2，
∴，
∵，
∴，
在直角△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝∠C＝45°，
∴，
∴，
∴AE＝AC﹣CE＝8，；
（2）证明：如图2中，过点B作BT⊥BE交ED的延长线于点T．
∵∠BDE＝∠CDF，
∴∠CDE＝∠BDF，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝∠EDC+∠C＝90°，
∴∠EDC＝∠A，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠ABF＝∠DBF，BF＝BF，
∴△ABF≌△DBF（SAS），
∴AB＝BD，
∵∠ABC＝∠EBT＝90°，
∴∠ABE＝∠DBT，
∵∠BDT＝∠CDE＝∠A，
∴△ABE≌△DBT（ASA），
∴BE＝BT，AE＝DT，
∴AE+DE＝DT+DE＝ET，
∴△BET是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图，
∵∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，
当BF⊥AC时，∠ABG＝30°，
∵将△BCE沿BE折叠，得到△BEF，
∴∠FBE＝∠CBE＝30°，
又∠C＝∠EBC＝30°，
∴EB＝EC，EB＝EA，
∴△ABE是等边三角形，
设AB＝a，则AC＝2a，
∴，
∴BF＝2BG＝2GEAEa，
∵BDa，
在Rt△ABD中，AD＝2BDa，
如图，连接AF，
∵GE⊥BF，EF＝EB，
∴∠AEF＝∠AEB＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴AF＝AE＝AB，
∴∠FAD＝∠FAE+∠EAD＝60°+30°＝90°，
∴DF，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形全等的证明和性质的综合运用，还考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理；勾股定理解直角三角形，解题的关键是旋转构造全等．
20．（2024秋 武侯区期末）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛AB通过凸透镜MN所成的像是CD，点O是凸透镜的中心，光线AE∥BO，点F是凸透镜的焦点，已知焦距OF的长为10cm，蜡烛AB的长为8cm，点D，B，O，F在同一条直线上．
（1）如图1，当蜡烛AB通过该凸透镜成正立放大的虚像CD时，若OB＝6cm．
（i）填空：的值为 　　；
（ⅱ）求此时虚像CD的高度；
（2）如图2，当蜡烛AB通过该凸透镜成倒立缩小的实像CD，且时，求此时物距OB的长．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】（1）（i）；
（ⅱ）20cm；
（2）cm．
【分析】（1）（i）易得四边形OBAE为矩形，则AE＝OB＝6cm，再证明△CAE∽△COF，然后根据相似三角形的性质得到的值；
（ⅱ）证明△OAB∽△OCD，利用相似三角形的性质得到，再根据比例的性质由得到，所以，从而可求出CD的长；
（2）先求出，再证明△CFD∽△EFO，则利用相似比可计算出DFcm，所以ODcm，然后证明△AOB∽△COD，于是利用相似比可求出OB．
【解答】解：（1）（i）如图1，∵∠ABO＝∠EOB＝∠AEO＝90°，
∴四边形OBAE为矩形，
∴AE＝OB＝6cm，
∵AE∥OF，
∴△CAE∽△COF，
∴；
故答案为：；
（ⅱ）∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∵；
∴，
∴，
∴CDAB8＝20（cm），
即此时虚像CD的高度为20cm；
（2）如图2，∵OE＝AB，
∴CDABOE，
即，
∵OE∥CD，
∴△CFD∽△EFO，
∴，
∴DFOF10（cm），
∴OD＝OF+DF＝10（cm），
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∴OBOD（cm），
即此时物距OB的长为cm．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
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