资源简介

2025年中考数学二轮复习押题预测 图形的旋转
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 无锡期末）如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B′C′交CD边于点G．连接BB′，CC′．若AD＝7，CG＝4，AB′＝B′G，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 江汉区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD⊥BC于D．△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C的对应点E落在AD上，则∠CBF的度数是（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
3．（2024秋 余姚市期末）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转，得到△ADE，点D恰好落在边BC上，DE与AC交于点F，则DF长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 天山区校级期末）平面直角坐标系内的点A（﹣5，1）与点B（﹣5，﹣1）的位置关系是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．无法确定
5．（2024秋 梁平区期末）如图，把四边形ABOC绕点O顺时针旋转得到四边形DFOE，则下列角中不等于旋转角的是（　　）
A．∠BOF B．∠AOD C．∠COF D．∠COE
6．（2024秋 澄海区期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　）
A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O
C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B'
7．（2024秋 澄海区期末）如图，在平面直角坐标系中有一等边△ABC，其坐标分别为A（0，0），B（2，0），将△ABC绕点B顺时针方向旋转60°，则旋转后C点的坐标为（　　）
A．（3，1） B． C． D．
8．（2024秋 巴南区期末）如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，将ED绕着点E顺时针旋转90°交BC的延长线于点F，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024秋 吴兴区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点D是直角边AC上的一个动点，连结BD，以BD为边向外作等边△BDE，连结CE，在点D运动的过程中，线段CE的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
10．（2024秋 南充期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点P在边BC上，△ACQ由△ABP旋转得到．下列说法错误的是（　　）
A．旋转中心是点A B．BC＝AQ
C．∠BAC＝∠PAQ D．AC平分∠BCQ
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 泉港区期末）小明利用一副直角三角板绕着直角顶点旋转实验，探究旋转过程中各角之间的关系．他旋转至如图所示时，即AE⊥BC，则此时∠BAD的度数为　 　度．
12．（2024秋 东莞市期末）如图，P是等边△ABC内部一点，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，则旋转角的度数是　 　度．
13．（2024秋 东阳市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝2，现将线段AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤180°）得到线段BP，连接AP，PC，当∠PCB＝30°时，AP的长为　 　．
14．（2024秋 静安区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点P为AB上一点，将线段PB绕点P顺时针旋转得线段PQ，点Q在射线BC上，当PQ的垂直平分线BC经过△ABC一边中点时，PB的长为 　 　．
15．（2024秋 庄河市期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝150°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针方向旋转60°到△EBD的位置，连接CE，则CE的长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 忠县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣1，1），C（0，3），根据要求作图，标上字母，并回答问题．
（1）作△ABC关于点D（0，1）成中心对称的△A1B1C1；
（2）作△A1B1C1向右平移2个单位后的△A2B2C2；
（3）当PA2+PC1的值最小时，在x轴上作一点P，并直接写出其最小值．
17．（2024秋 庐江县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△A'B'C．点B'与点B是对应点，当点B'恰好落在边AB上，猜想A'B'与AC的位置关系并给予证明．
18．（2024秋 北京期末）如图，已知，OE平分∠AOD．
（1）在图1中，若∠AOC＝30°，∠AOB＝70°，则∠AOD的度数为　 　°，∠BOE的度数为　 　°；
（2）将图1中的∠AOB绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究图2中∠AOC和∠BOE之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）若∠AOB从图2的位置继续绕点O顺时针旋转，∠AOC和∠BOE的数量关系是否会发生变化？若变化，请你画出发生变化时，射线OA所在的区域（用阴影表示），并写出变化后的数量关系；若不变化，请简要说明理由．
19．（2024秋 新乐市期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），把线路AD绕着点A逆时针旋转至AE（即AD＝AE），使得∠DAE＝∠BAC，连接DB、CE．
（1）如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　 　度．
（2）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝　 　度．
（3）如图3，设∠BAC＝α，∠BCE＝β，当点D在线段BC上移动时，α，β的数量关系是什么？请说明理由．
（4）设∠BAC＝α，∠BCE＝β，当点D在直线BC上移动时，请直接写出α，β的数量关系，不用证明．
20．（2024秋 四平期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点B′在BC的延长线上．
求证：BB′⊥C′B′．
2025年中考数学二轮复习押题预测 图形的旋转
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C A C D B B B B
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 无锡期末）如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B′C′交CD边于点G．连接BB′，CC′．若AD＝7，CG＝4，AB′＝B′G，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】旋转的性质；矩形的性质．
【专题】推理能力．
【答案】D
【分析】如图，连接AG，AC′，AC，构成直角三角形以及相似三角形，根据△ABB′∽△ACC′，可得，设AB＝AB′＝x，则，DG＝x﹣4，根据勾股定理可得方程求出AB的长以及AC的长，即可得到所求的比值．
【解答】解：连接AG，AC′，AC，
∵将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B′C′交CD边于点G，
∴AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，
∴△ABB′∽△ACC′，
∴，
∴△ABB′∽△ACC′，
∴，
∵AB′＝B′G，∠AB'G＝∠ABC＝90°，
∴△AB′G是等腰直角三角形，
∴，
设AB＝AB′＝x，则，DG＝x﹣4，
∵Rt△ADG中，AD2+DG2＝AG2，
∴，
解得x1＝5，x2＝﹣13（舍去），
∴AB＝5，
∴Rt△ABC中，由勾股定理得，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键．
2．（2024秋 江汉区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD⊥BC于D．△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C的对应点E落在AD上，则∠CBF的度数是（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】连接CE，如图，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC＝∠ACB＝70°，再根据旋转的性质得到BE＝BC，∠FBE＝∠ABC＝70°，则可判断△BCE为等边三角形，所以∠CBE＝60°，然后计算∠CBE+∠FBE即可．
【解答】解：连接CE，如图，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）（180°﹣40°）＝70°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
即AD垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C的对应点E落在AD上，
∴BE＝BC，∠FBE＝∠ABC＝70°，
∵BE＝CE＝BC，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∴∠CBF＝∠CBE+∠FBE＝60°+70°＝130°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
3．（2024秋 余姚市期末）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转，得到△ADE，点D恰好落在边BC上，DE与AC交于点F，则DF长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】旋转的性质；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，如图，根据旋转的性质得AB＝AD＝2，∠BAD＝∠CAE，AE＝AC，∠ADE＝∠B＝60°，DE＝BC＝3，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD＝AB＝2，BH＝DH＝1，∠BAD＝60°，则∠CAE＝60°，再在Rt△ADH中利用勾股定理计算出AH，接着在Rt△ACH中计算出AC，所以AE，然后证明△EAF∽△EDA，则利用相似比可求出EF，最后计算DE﹣EF即可．
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H点，如图，
∵将△ABC按逆时针方向旋转，得到△ADE，点D恰好落在边BC上，
∴AB＝AD＝2，∠BAD＝∠CAE，AE＝AC，∠ADE＝∠B＝60°，DE＝BC＝3，
∵∠B＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，∠BAD＝60°，
∴∠CAE＝60°，
∵AH⊥BD，
∴BH＝DHBD＝1，
在Rt△ADH中，AH，
在Rt△ACH中，∵AH，CH＝BC﹣BH＝3﹣1＝2，
∴AC，
∴AE，
∵∠AEF＝∠DEA，∠EAF＝∠ADE，
∴△EAF∽△EDA，
∴EF：AE＝AE：ED，
即EF：：3，
解得EF，
∴DF＝DE﹣EF＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．
4．（2024秋 天山区校级期末）平面直角坐标系内的点A（﹣5，1）与点B（﹣5，﹣1）的位置关系是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．无法确定
【考点】关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】A
【分析】纵坐标互为相反数，横坐标不变可知两点关于x轴对称．
【解答】解：平面直角坐标系内的点A（﹣5，1）与点B（﹣5，﹣1）关于x轴对称．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．（2024秋 梁平区期末）如图，把四边形ABOC绕点O顺时针旋转得到四边形DFOE，则下列角中不等于旋转角的是（　　）
A．∠BOF B．∠AOD C．∠COF D．∠COE
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】C
【分析】根据旋转角的定义判断即可．
【解答】解：如图，旋转角有：∠BOF，∠AOD，∠COE，
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解旋转角的定义，属于中考常考题型．
6．（2024秋 澄海区期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　）
A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O
C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B'
【考点】中心对称．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】D
【分析】利用中心对称的性质一一判断即可．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，
∴点A与点A'是对称点，BO＝B'O，AB＝A'B'，
∴A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查中心对称，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型．
7．（2024秋 澄海区期末）如图，在平面直角坐标系中有一等边△ABC，其坐标分别为A（0，0），B（2，0），将△ABC绕点B顺时针方向旋转60°，则旋转后C点的坐标为（　　）
A．（3，1） B． C． D．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；等边三角形的性质．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】先过点C作x轴的垂线，求出垂线段的长，进而得出点C的坐标，再结合旋转得出∠ABM＝120°，进一步得出CM∥AB，再由CM＝2即可解决问题．
【解答】解：令旋转后点C的对应点为M，过点C作x轴的垂线，垂足为N，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ACN∠ACB＝30°．
∵点B的坐标为（2，0），
∴AC＝AB＝2，
∴AN．
在Rt△ACN中，
CN，
∴点C的坐标为（1，）．
由旋转可知，
∠CBM＝∠M＝60°，CM＝AC＝2，
∴∠ABM＝60°+60°＝120°，
∴∠ABM+∠M＝180°，
∴CM∥AB，
∴点M的坐标为（）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及图形旋转的性质是解题的关键．
8．（2024秋 巴南区期末）如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，将ED绕着点E顺时针旋转90°交BC的延长线于点F，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】旋转的性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】过E点作AB的平行线交AD于E点，交BC于N点，如图，设CF＝x，则CE＝2x，易得四边形ABNM为矩形，所以MN＝AB，∠DMN＝∠MNC＝90°，再在Rt△CEN中利用等腰直角三角形的性质计算出EN＝CN＝2x，在Rt△EFN中利用勾股定理计算出EFx，接着根据旋转的性质得到ED＝EFx，∠DEF＝90°，然后证明△MDE≌△NEF得到ME＝NF＝3x，所以BC＝5x，最后计算出的值．
【解答】解：过E点作AB的平行线交AD于E点，交BC于N点，如图，设CF＝x，则CE＝2x，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，∠B＝∠BAD＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，
∴四边形ABNM为矩形，
∴MN＝AB，∠DMN＝∠MNC＝90°，
在Rt△CEN中，∵∠ECN＝45°，
∴EN＝CNCE2x＝2x，
在Rt△EFN中，∵EN＝2x，NF＝2x+x＝3x，
∴EFx，
∵ED绕着点E顺时针旋转90°交BC的延长线于点F，
∴ED＝EFx，∠DEF＝90°，
∵∠MED+∠NEF＝90°，∠MED+∠MDE＝90°，
∴∠MDE＝∠NEF，
在△MDE和△NEF中，
，
∴△MDE≌△NEF（AAS），
∴ME＝NF＝3x，
∴MN＝ME+NE＝3x+2x＝5x，
∴BC＝AB＝MN＝5x，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理．
9．（2024秋 吴兴区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点D是直角边AC上的一个动点，连结BD，以BD为边向外作等边△BDE，连结CE，在点D运动的过程中，线段CE的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】延长BC到点F，使FC＝BC，连结AF，FE，由∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，得FC＝BCAB＝2，可证明△ABF是等边三角形，因为△BDE是等边三角形，所以EB＝DB，∠DBE＝60°，可证明△FBE≌△ABD，得∠BFE＝∠BAD＝30°，可知点E在经过点F且与AF垂直的射线FE上运动，作CH⊥FE交射线FE于点H，则CHFC＝1，由CE≥CH，求得CE的最小值为1，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长BC到点F，使FC＝BC，连结AF，FE，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，
∴FC＝BCAB＝2，∠ABF＝90°﹣∠BAC＝60°，
∴FB＝2BC＝4，
∴FB＝AB，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠AFB＝60°，
∵△BDE是等边三角形，
∴EB＝DB，∠DBE＝60°，
∴∠FBE＝∠ABD＝60°﹣∠DBF，
在△FBE和△ABD中，
，
∴△FBE≌△ABD（SAS），
∴∠BFE＝∠BAD＝30°，
∴∠AFE＝∠AFB+∠BFE＝90°，
∴点E在经过点F且与AF垂直的射线FE上运动，
作CH⊥FE交射线FE于点H，则∠CHF＝90°，
∴CHFC＝1，
∵CE≥CH，
∴CE≥1，
∴CE的最小值为1，
故选：B．
【点评】此题重点考查旋转的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．（2024秋 南充期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点P在边BC上，△ACQ由△ABP旋转得到．下列说法错误的是（　　）
A．旋转中心是点A B．BC＝AQ
C．∠BAC＝∠PAQ D．AC平分∠BCQ
【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】B
【分析】由△ACQ由△ABP旋转得到，得∠BAP＝∠CAQ，旋转中心是点A，AQ＝AP≠BC，即可得∠BAC＝∠PAQ，故C和A正确，B不正确；由AB＝AC，得∠ACB＝∠B＝∠ACQ，即可得AC平分∠BCQ，故D正确；即可点答案．
【解答】解：由△ACQ由△ABP旋转得到，
得∠BAP＝∠CAQ，旋转中心是点A，AQ＝AP≠BC，
得∠BAC＝∠PAQ，故C和A正确，B不正确；
由AB＝AC，
得∠ACB＝∠B＝∠ACQ，
得AC平分∠BCQ，故D正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的旋转，解题关键是正确掌握旋转的性质．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 泉港区期末）小明利用一副直角三角板绕着直角顶点旋转实验，探究旋转过程中各角之间的关系．他旋转至如图所示时，即AE⊥BC，则此时∠BAD的度数为　45　度．
【考点】旋转的性质；平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】45．
【分析】推导出AD∥BC，进而得到∠BAD＝∠ABC＝45°．
【解答】解：由题意知，∠DAE＝∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵AE⊥BC，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＝∠ABC＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，旋转的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．
12．（2024秋 东莞市期末）如图，P是等边△ABC内部一点，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，则旋转角的度数是　60　度．
【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】60．
【分析】根据旋转得到旋转角为∠BAC，根据等边三角形的性质，得到∠BAC＝60°，即可．
【解答】解：由题意可得：△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°；
故答案为：60．
【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
13．（2024秋 东阳市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝2，现将线段AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤180°）得到线段BP，连接AP，PC，当∠PCB＝30°时，AP的长为　1或　．
【考点】旋转的性质；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】1或．
【分析】当点P在BC上方时，可得点P在AC上，由旋转得BP＝AB，则△ABP为等边三角形，可得AP＝AB＝1；当点P在BC下方时，可得△ACQ为等边三角形，则∠Q＝60°，QC＝AC＝2，AB＝BQ＝1，结合旋转的性质可得△BPQ为等边三角形，则PQ＝1，即点P为QC的中点，进而可得∠APC＝90°，PC＝1，利用勾股定理可得AP，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝2，
∴∠ACB＝30°，∠BAC＝60°．
当点P在BC上方时，如图，
∵∠PCB＝30°，
∴点P在AC上．
由旋转得，BP＝AB，
∴△ABP为等边三角形，
∴AP＝AB＝1．
当点P在BC下方时，如图，
∵∠PCB＝30°，∠ACB＝30°，
∴∠ACQ＝∠BAC＝60°，
∴△ACQ为等边三角形，
∴∠Q＝60°，QC＝AC＝2，AB＝BQ＝1．
由旋转得，AB＝BP，
∴BP＝BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ＝1，
∴点P为QC的中点，
∴∠APC＝90°，PC＝1，
∴AP．
综上所述，AP的长为1或．
【点评】本题考查旋转的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（2024秋 静安区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点P为AB上一点，将线段PB绕点P顺时针旋转得线段PQ，点Q在射线BC上，当PQ的垂直平分线BC经过△ABC一边中点时，PB的长为 　2或3或5　．
【考点】旋转的性质；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】运算能力．
【答案】2或3或5．
【分析】求出AB＝8，，设MN交BC于点G，连接PG．分三种情况，当MN经过AB的中点D时，BD＝4．由旋转性质得到，PQ＝PB，得到∠PQB＝∠B＝30°，得到∠DPQ＝60°，根据线段垂直平分线性质得到P D＝Q D，得到△PQD是等边三角形，得到PD＝PB，即得PB＝2；当MN经过AC的中点E时，EC＝2，求出∠CEG＝30°，得到，得到，根据∠QPG＝30°，求得∠GPB＝90°，即得PB＝5；当MN经过BC的中点F时，，可得PB＝3．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴，
PQ的垂直平分线MN经过△ABC一边中点，可分为以下三种情况：
经过AB的中点D；经过AC的中点E；经过BC的中点F．
设MN交BC于点G，连接PG，
则PG＝QG．
当MN经过AB的中点D时，如图：
，
由旋转知，PQ＝PB，
∴∠PQB＝∠B＝30°，
∴∠DPQ＝∠B+∠PQB＝60°，
连接DQ，
∵MN垂直平分PQ，
∴P D＝Q D，
∴△PQD是等边三角形，
∴PD＝QP，
∴PD＝PB，
∴；
当MN经过AC的中点E时，如图：
，
∵MN垂直PQ，
∴∠CEG＝90°﹣∠EGQ＝∠PQB＝30°，
设CG＝x，
则EG＝2x，
∵CG2+EC2＝EG2，
∴x2+22＝（2x）2，
∴，
∴，
∵PG＝QG，
∴∠PQB＝∠QPG＝30°，
∴∠APG＝∠APQ+∠QPG＝90°，
∴∠GPB＝180°﹣∠APG＝90°，
∴，
∴；
当MN经过BC的中点F时，如图：
，
∵∠BPF＝90°
∴，
∴．
综上：PB的长为：2或5或3．
故答案为：2或3或5．
【点评】此题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质，含30°直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，分类讨论，是解题的关键．
15．（2024秋 庄河市期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝150°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针方向旋转60°到△EBD的位置，连接CE，则CE的长为 　5　．
【考点】旋转的性质；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】5．
【分析】连接CD，由旋转得∠EDB＝∠ACB＝150°，∠CBD＝60°，DE＝AC＝4，BD＝BC，则可得△BCD为等边三角形，进而可得CD＝BC＝3，∠CDE＝90°，即△CDE为直角三角形，最后利用勾股定理计算CE的长即可．
【解答】解：连接CD，
由旋转得，∠EDB＝∠ACB＝150°，∠CBD＝60°，DE＝AC＝4，BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠CDB＝60°，CD＝BC＝3，
∴∠CDE＝∠EDB﹣∠CDB＝90°，
∴△CDE为直角三角形．
由勾股定理得，CE5．
故答案为：5．
【点评】本题考查旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 忠县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣1，1），C（0，3），根据要求作图，标上字母，并回答问题．
（1）作△ABC关于点D（0，1）成中心对称的△A1B1C1；
（2）作△A1B1C1向右平移2个单位后的△A2B2C2；
（3）当PA2+PC1的值最小时，在x轴上作一点P，并直接写出其最小值．
【考点】作图﹣旋转变换；轴对称﹣最短路线问题；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）见解析；（3）见解析，最小值为5．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；
（3）作点A2关于x轴的对称点A′，连接A′C1交x轴于点P，连接A2P，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，点P即为所求．最小值为A′C1的长5．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称最短问题，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，学会利用轴对解决最短问题．
17．（2024秋 庐江县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△A'B'C．点B'与点B是对应点，当点B'恰好落在边AB上，猜想A'B'与AC的位置关系并给予证明．
【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A'B'是AC的垂直平分线，证明见解答．
【分析】连接AA'，由旋转得CB＝CB'，CA＝CA'，∠A'CB'＝∠ACB＝90°．由题意得△CBB'是等边三角形，则∠BCB'＝∠CB'B＝60°，进而可得∠CAB＝∠ACB'＝30°，则AB'＝CB'，∠A'CA＝60°，即可得△A'CA为等边三角形，则AA'＝CA'，进而可知A'B'是AC的垂直平分线．
【解答】解：A'B'是AC的垂直平分线．
证明：连接AA'，
由旋转得，CB＝CB'，CA＝CA'，∠A'CB'＝∠ACB＝90°．
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△CBB'是等边三角形，
∴∠BCB'＝∠CB'B＝60°．
∵∠CAB+∠ACB′＝∠CB′B＝60°，
∴∠CAB＝∠ACB'＝30°，
∴AB'＝CB'．
∵∠A'CB'＝∠A'CA+∠B'CA＝90°，
∴∠A'CA＝60°．
∵CA＝CA'，
∴△A'CA为等边三角形，
∴AA'＝CA'．
∵AB'＝CB'，
∴A'B'是AC的垂直平分线．
【点评】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2024秋 北京期末）如图，已知，OE平分∠AOD．
（1）在图1中，若∠AOC＝30°，∠AOB＝70°，则∠AOD的度数为　110　°，∠BOE的度数为　15　°；
（2）将图1中的∠AOB绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究图2中∠AOC和∠BOE之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）若∠AOB从图2的位置继续绕点O顺时针旋转，∠AOC和∠BOE的数量关系是否会发生变化？若变化，请你画出发生变化时，射线OA所在的区域（用阴影表示），并写出变化后的数量关系；若不变化，请简要说明理由．
【考点】几何变换综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）110，15；
（2）∠AOC＝2∠BOE；理由见解析；
（3）∠AOC和∠BOE的数量关系会发生变化，变化后的数量关系为∠AOC+2∠BOE＝360°．图见解析．
【分析】（1）根据题干条件先求得∠COD＝140°，∠AOD＝110°，再根据角平分线的定义结合角的和差计算即可求解；
（2）设∠AOE＝∠DOE＝α，∠AOB＝β，则∠COD＝2∠AOB＝2β，再根据角的和差计算即可求解；
（3）同（2）分情况讨论，画出图形，根据角的和差计算即可求解．
【解答】解：（1）∵，∠AOB＝70°，
∴∠COD＝2∠AOB＝140°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝110°，
∵OE平分∠AOD，
∴，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝70°﹣55°＝15°，
故答案为：110，15；
（2）∠AOC＝2∠BOE；理由如下：
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠DOE，
设∠AOE＝∠DOE＝α，∠AOB＝β，则∠COD＝2∠AOB＝2β，
∴∠AOC＝2β﹣2α＝2（β﹣α），∠BOE＝β﹣α，
∴∠AOC＝2∠BOE；
（3）∠AOC和∠BOE的数量关系会发生变化；理由如下：
设∠AOE＝∠DOE＝α，∠AOB＝β，则∠COD＝2∠AOB＝2β，
如图3，当射线OA在∠COD外，且在射线CO上方时，
∴∠AOC＝2β+2α＝2（β+α），∠BOE＝β+α，
∴∠AOC＝2∠BOE；
如图4，当射线OA在射线CO下方时，
∴∠AOC＝360°﹣（2β+2α）＝360°﹣2（β+α），∠BOE＝β+α，
∴∠AOC+2∠BOE＝360°；
如图5，当射线OA在射线DO左边时，
∴∠AOC＝2α﹣2β＝2（α﹣β），∠BOE＝α﹣β，
∴∠AOC＝2∠BOE；
综上，当射线OA在射线CO下方且在射线DO右边时，如图6，
变化后的数量关系为∠AOC+2∠BOE＝360°．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义．
19．（2024秋 新乐市期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），把线路AD绕着点A逆时针旋转至AE（即AD＝AE），使得∠DAE＝∠BAC，连接DB、CE．
（1）如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　90　度．
（2）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝　120　度．
（3）如图3，设∠BAC＝α，∠BCE＝β，当点D在线段BC上移动时，α，β的数量关系是什么？请说明理由．
（4）设∠BAC＝α，∠BCE＝β，当点D在直线BC上移动时，请直接写出α，β的数量关系，不用证明．
【考点】几何变换综合题．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）90；
（2）120；
（3）α+β＝180°；
（4）α+β＝180°或α＝β．
【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；
（2）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC＝∠ACE＝60°，可求∠BCE的度数；
（3）由“SAS”可证△BAD≌△CAE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；
（4）由“SAS”可证△BAD≌△CAE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB＝45°，∠ADE＝∠AED＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
故答案为：90；
（2）∵∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°，
故答案为：120；
（3）α+β＝180°，
理由如下：
∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∴∠ACE+∠ACB＝∠B+∠ACB，
∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝β，
∴∠B+∠ACB＝β，
∵∠BAC＝α，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°；
（4）如图4，当点D在BC的延长线上时，α+β＝180°，
证明方法同（3）；
如图5，当点D在CB的延长线上时，α＝β，
理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB+∠BAE＝∠EAC+∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE，
∵∠BAC＝α，∠BCE＝β，
∴α＝β．
综上，α+β＝180°或α＝β．
【点评】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明△BAD≌△CAE是解题的关键．
20．（2024秋 四平期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点B′在BC的延长线上．
求证：BB′⊥C′B′．
【考点】作图﹣旋转变换．
【专题】作图题；证明题；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据旋转得到△AB′C′≌△ABC，即可得到AB′＝AB，∠AB′C′＝∠ABC＝45°，进而可以解决问题．
【解答】证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B′在BC的延长线上，
∴△AB′C′≌△ABC，∠AB′C′＝∠B＝45°，
∴AB′＝AB，
∴∠AB′B＝∠B＝45°，
∴∠BB′C′＝∠AB′C′+∠AB′B＝45°+45°＝90°，
∴BB′⊥C′B′．
【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，根据等边对等角得到∠AB′B＝∠B＝45°是解题的关键．
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