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2025年中考数学二轮复习押题预测 相交线与平行线
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 三亚期末）已知AB∥CD，现将一个含30°角的直角三角尺EFG按如图方式放置，其中顶点F、G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，若∠EHB＝45°，则∠AFG的度数为（　　）
A．120° B．115° C．110° D．105°
2．（2024秋 溧阳市期末）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，∠1＝40°，∠2＝110°，则∠3+∠4的值为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．150°
3．（2024秋 姑苏区校级期末）如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论：①EG⊥FG；②∠P+∠PHB＝∠PGD；③∠P＝2∠E；④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
4．（2024秋 长春期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．（2024秋 南岸区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝50°，则∠EGF的大小为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．75°
6．（2024秋 青山区期末）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　）
A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180°
C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180°
7．（2024秋 南京期末）如图，下列条件中：①∠1＝∠C，②∠2＝∠C，③∠BAC+∠C＝180°，④∠ABE+∠2＝180°．能判断AB∥CD的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024秋 武侯区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，AG⊥EF于点G．若∠A＝54°，则∠1的度数是（　　）
A．36° B．54° C．126° D．144°
9．（2024秋 西安期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于点F，EG∥BC，交AC于点E，CG⊥EG于点G．则下列结论不正确的是（　　）
A．∠CEG＝2∠DCA B．∠ADC＝∠GCD
C．∠DFE＝120° D．
10．（2024秋 淮北期末）如图，已知DE∥BC，，若，则BE的长为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 沭阳县期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨a、b上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束AB按每秒6°的速度顺时针旋转180°便立即回转，光速灯C的光束自CD以每秒2°的速度顺时针旋转180°便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为　 　秒时，两束光线平行．
12．（2024秋 鼓楼区校级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，此时AB⊥OC，三角板OAB绕点O以15度/秒的速度顺时针旋转，同时三角板OCD绕点O以10度/秒的速度逆时针旋转，时间为t秒，当AB与CD第三次平行时，t＝ 　 　秒．
13．（2024秋 镇海区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　 　．
14．（2024秋 道外区期末）已知直线AB∥CD，P是平面内一点，若∠BPD＝30°，∠CDP＝20°，则∠ABP的度数为 　 　度．
15．（2024秋 道外区期末）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠BEF＝50°，则∠MFD＝　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 德化县期末）如图，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD于点F，∠ADC＝90°．
（1）如图1，判断∠CBF与∠BFC是否相等，并说明理由；
（2）如图2，过F点作EF∥BC交AB于E，连接DE，DE恰好平分∠ADC，∠2＝61°，求∠1的度数；
（3）如图3，过点D作DH∥BF，交AB于点H．线段BF上有一点P，点M在射线PF上，∠PCM＝∠ADH，且满足∠BCM＝5∠FCM，求∠BCP与∠PCF的比值．
17．（2024秋 泉港区期末）如图，AC与BD相交于点E，∠1＝65°，∠D＝65°．
（1）若∠A＝30°，试求∠ACD的度数；
（2）取线段AB的中点F，连结EF．若∠AFE+∠BCD＝180°，∠A＝∠AEF．求证：CA平分∠BCD．
18．（2024秋 邗江区期末）将一副三角板按图1方式摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM、ON，求∠MON的度数．
【初步认识】
（1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD．图2中，ON、OD、OB在同一条直线上，则∠MON＝ 　 　°；图3中，∠AOC＝∠BOD，则∠MON＝ 　 　°；
【深度理解】
（2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中∠MON的度数并说明理由；
（3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　 　；
A．由特殊到一般
B．方程
C．分类讨论
D．整体
【拓展应用】
（4）若将条件“分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM、ON”改为“在∠AOC和∠BOD内部分别作出射线OM、ON，使得∠COM∠AOC，∠DON∠BOD”（n为正整数），请你直接写出∠MON的度数　 　°（用含n的代数式表示）；
【大胆创新】
（5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板COD绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过180°），使得边CD与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 　 　°．
19．（2024秋 中牟县期末）综合与实践
学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°．
（1）操作判断
若∠DCB＝55°，则∠ACE＝ 　 　；若∠ACE＝158°，则∠DCB＝ 　 　；
（2）性质探究
由（1）猜想∠ACE与∠DCB的数量关系，并证明你的猜想；
（3）拓展应用
当∠BCE＜180°且点B在直线CE的上方时，这两个三角尺存在一组边互相平行，请直接写出∠BCE所有可能的度数（不必说明理由）．
20．（2024秋 溧阳市期末）已知：如图，直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折线，且∠APB＜90°，Q是a，b之间且在折线APB左侧的一点．
（1）若∠1＝30°，∠P＝84°，则∠2＝ 　 　度；
（2）若∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，请探究∠Q，∠1，∠2间满足的数量关系并说明理由；
（3）若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，∠2之间满足的数量关系．
2025年中考数学二轮复习押题预测 相交线与平行线
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C C C C D C B
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 三亚期末）已知AB∥CD，现将一个含30°角的直角三角尺EFG按如图方式放置，其中顶点F、G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，若∠EHB＝45°，则∠AFG的度数为（　　）
A．120° B．115° C．110° D．105°
【考点】平行线的性质．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】由AB∥CD可得∠EGD＝∠EHB＝45°，结合∠FGE＝60°可得出∠FGD的度数，再由AB∥CD得出∠AFG＝∠FGD，即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EHB＝45°，
∴∠EGD＝∠EHB＝45°，
∵∠E＝30°，∠FGE＝60°，
∴∠FGD＝∠FGE+∠EGD＝60°+45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠AFG＝∠FGD＝105°．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2．（2024秋 溧阳市期末）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，∠1＝40°，∠2＝110°，则∠3+∠4的值为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．150°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】利用平行线的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：
∵AE∥BF，
∴∠1＝∠3＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠4＝180°，
∵∠2＝110°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝70°，
∴∠3+∠4＝40°+70°＝110°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2024秋 姑苏区校级期末）如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论：①EG⊥FG；②∠P+∠PHB＝∠PGD；③∠P＝2∠E；④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质；直角三角形的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由角平分线的性质以及平行线的性质可求出∠EGF＝90°，即可判断①；设PG交AB于点M，GE交AB于点N，根据平行的性质即有∠PGD＝∠PMB，再结合三角形外角的性质即可判断②；根据角平分线的性质有∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，再证∠P+∠PHB＝∠PGD，∠E+∠EHB＝∠EGD，即可得∠PGD＝2∠EGD，即可判断③；先证∠P＝∠F，根据∠E+∠F＝90°，即有∠P+∠E＝90°，再结合∠P＝2∠E，即可判断④正确．
【解答】解：∵GF平分∠PGC，EG平分∠PGD，
∴，
∵∠PGC+∠PGD＝180°，
∴∠PGF+∠PGE＝90°，
∴EG⊥FG，
故①正确；
设PG交AB于点M，GE交AB于点N，如图，
∵AB∥CD，
∴∠PGD＝∠PMB，
∵∠P+∠PHB＝∠PMB，
∴∠P+∠PHB＝∠PGD，
故②正确；
∵HE平分∠PHB，EG平分∠PGD，
∴∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，
∵AB∥CD，
∴∠ENB＝∠EGD，∠PMB＝∠PGD，
∵∠P+∠PHB＝∠PMB，∠E+∠EHB＝∠ENB，
∴∠P+∠PHB＝∠PGD，∠E+∠EHB＝∠EGD，
∵∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，
∴∠P＝2∠E，
故③正确；
∵AB∥CD，
∴∠PMA＝∠PGC，
∴∠AHP﹣∠PGC＝∠AHP﹣∠PMH＝∠P，
∵∠AHP﹣∠PGC＝∠F，
∴∠P＝∠F，
∵∠FGE＝90°，
∴∠E+∠F＝90°，
∴∠P+∠E＝90°，
∵∠P＝2∠E，
∴∠E＝30°，
∴∠P＝∠F＝2∠E＝60°，
故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，三角形的外角性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用平行线的性质和三角形的外角的性质是解答本题的关键．
4．（2024秋 长春期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据垂线段最短即可解答．
【解答】解：小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为垂线段最短．
故选：C．
【点评】本题考查垂线段最短，解答本题的关键是熟练掌握垂线段的性质：垂线段最短．
5．（2024秋 南岸区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝50°，则∠EGF的大小为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．75°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质求出∠BEF的度数，进而求出∠BEG的度数即可得到答案．
【解答】解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠FEG，
∵AB∥CD，∠EFG＝50°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝130°，
∴∠BEG＝65°，
∴∠EGF＝∠BEG＝65°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
6．（2024秋 青山区期末）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　）
A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180°
C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】C
【分析】作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：作EF∥AB．
∵AB∥CD，AB∥EF，
∴CD∥EF，
∴∠BAE+∠FEA＝180°，∠C＝∠FEC＝γ，
∴α+（β﹣γ）＝180°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
7．（2024秋 南京期末）如图，下列条件中：①∠1＝∠C，②∠2＝∠C，③∠BAC+∠C＝180°，④∠ABE+∠2＝180°．能判断AB∥CD的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：①由同位角相等，两直线平行判定AB∥CD，故①符合题意；
②由同位角相等，两直线平行判定AC∥DE，不能判定AB∥CD，故②不符合题意；
③由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥CD，故③符合题意；
④由对顶角的性质得到∠2和∠ABE的对顶角互补，由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥CD，故④符合题意．
故能判断AB∥CD的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
8．（2024秋 武侯区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，AG⊥EF于点G．若∠A＝54°，则∠1的度数是（　　）
A．36° B．54° C．126° D．144°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】由直角三角形的性质求出∠AEG＝36°，由平行线的性质推出∠EFD＝∠AEG＝36°，由邻补角的性质得到∠1＝144°．
【解答】解：∵AG⊥EF，
∴∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝90°﹣∠A＝90°﹣54°＝36°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠AEG＝36°，
∴∠1＝180°﹣∠EFD＝144°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质推出∠EFD＝∠AEG．
9．（2024秋 西安期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于点F，EG∥BC，交AC于点E，CG⊥EG于点G．则下列结论不正确的是（　　）
A．∠CEG＝2∠DCA B．∠ADC＝∠GCD
C．∠DFE＝120° D．
【考点】平行线的性质；直角三角形的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据角平分线定义、平行线性质、直角三角形性质逐项分析判断即可．
【解答】解：∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ECB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECB＝2∠DCE，
∴∠CEG＝2∠DCA，故选项A不符合题意；
∵∠ADC＝90°﹣∠ECF，∠GCD＝90°﹣∠FCB，且∠ECF＝∠FCB，
∴∠ADC＝∠GCD，故选项B不符合题意；
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠DFE＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°90°＝135°，故选项C符合题意；
∵∠DFE＝135°，
∴∠DFB＝180°﹣135°＝45°，
∵∠A＝90°，
∴∠DFB∠A，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线定义、平行线性质、直角三角形性质，熟练掌握以上知识点是关键．
10．（2024秋 淮北期末）如图，已知DE∥BC，，若，则BE的长为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】DE∥BC，可得△DOE∽△COB，根据相似三角形的性质求出，即可求解．
【解答】解：由平行线可知△DOE∽△COB，
∴，即，
解得：OB
∴BE．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 沭阳县期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨a、b上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束AB按每秒6°的速度顺时针旋转180°便立即回转，光速灯C的光束自CD以每秒2°的速度顺时针旋转180°便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为　3或43.5　秒时，两束光线平行．
【考点】平行线的性质；一元一次方程的应用；平行线的判定．
【专题】运算能力．
【答案】3或43.5．
【分析】分旋转小于180°时和大于180°两种情况，根据平行线的性质表示出数据，列出一元一次方程，求解即可．
【解答】解：设光速灯A旋转时间为t秒，则C旋转的时间为（t+6）秒，
当AB旋转小于180°时，如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等），
∵a∥b，
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠1＝∠3，
∵AB按每秒6°的速度顺时针旋转，CD以每秒2°的速度顺时针旋转，
∴∠1＝（6t）°，∠3＝（12+2t）°，
∴6t＝12+2t，
∴t＝3；
当AB旋转大于180°回转时，如图所示：
∵a∥b，AB∥CD，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝[180﹣（6t﹣180）]°＝（360﹣6t）°，∠3＝（12+2t）°，
∴360﹣6t＝12+2t，
∴t＝43.5；
综上：旋转时间为3秒或43.5秒，
故答案为：3或43.5．
【点评】本题考查了平行线的性质，一元一次方程，正确计算相应的旋转角度数是解题的关键．
12．（2024秋 鼓楼区校级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，此时AB⊥OC，三角板OAB绕点O以15度/秒的速度顺时针旋转，同时三角板OCD绕点O以10度/秒的速度逆时针旋转，时间为t秒，当AB与CD第三次平行时，t＝ 　15.6　秒．
【考点】平行线的判定与性质；一元一次方程的应用．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】15.6．
【分析】根据题意，先求出第一次平行时两三角板旋转的角度之和，再将此度数加上360度得出第三次平行时旋转的角度之和即可解决问题．
【解答】解：固定三角板OCD，旋转三角板OAB至AB与CD平行的位置，如图所示，
∵AB∥CD，
∴∠AMO＝∠D＝30°，
又∵∠ABO＝45°，
∴∠BOM＝45°﹣30°＝15°，
∴三角板AOB顺时针旋转的角度为45°﹣15°＝30°，
即两三角板旋转的角度之和为30°时，AB与CD第一次平行，
∴当两三角板旋转的角度之和为390°时，AB与CD第三次平行，
∴15t+10t＝390，
解得t＝15.6．
故答案为：15.6．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质及一元一次方程的应用，熟知平行性的判定与性质及能根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
13．（2024秋 镇海区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　130°　．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】130°．
【分析】先求得∠BOD的度数，再根据对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC，根据垂直的定义即可求解．
【解答】解：∵∠BOD：∠BOC＝2：7，∠BOD+∠BOC＝180°，
∴，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°
∵EO⊥CD，
∴∠EOC＝90°，
∴∠AOE＝∠EOC+∠AOC＝90°+40°＝130°，
故答案为：130°．
【点评】本题考查了对顶角相等，垂直的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．（2024秋 道外区期末）已知直线AB∥CD，P是平面内一点，若∠BPD＝30°，∠CDP＝20°，则∠ABP的度数为 　10或50　度．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】10或50．
【分析】分两种情况：当点P在AB、CD之间时；当点P在AB、CD之外时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当点P在AB、CD之间时，如图：
过点P作PE∥CD，
∴∠CDP＝∠EPD＝20°，
∵∠BPD＝30°，
∴∠BPE＝∠BPD﹣∠EPD＝10°，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE，
∴∠ABP＝∠BPE＝10°；
当点P在AB、CD之外时，如图：
过点P作PE∥CD，
∴∠CDP＝∠EPD＝20°，
∵∠BPD＝30°，
∴∠BPE＝∠BPD+∠EPD＝50°，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE，
∴∠ABP＝∠BPE＝50°；
综上所述：∠ABP的度数为10°或50°，
故答案为：10或50．
【点评】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
15．（2024秋 道外区期末）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠BEF＝50°，则∠MFD＝　80°　．
【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】80°．
【分析】由平行线的性质推出∠AFE+∠BEF＝180°，∠DFE＝∠BEF＝50°，得到∠AFE＝130°，由折叠的性质得：∠MFE＝∠AFE＝130°，即可求出∠MFD＝∠MFE﹣∠DFE＝80°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE+∠BEF＝180°，∠DFE＝∠BEF＝50°，
∴∠AFE＝130°，
由折叠的性质得：∠MFE＝∠AFE＝130°，
∴∠MFD＝∠MFE﹣∠DFE＝130°﹣50°＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质推出∠DFE＝50°∠AFE＝130°，由折叠的性质得到∠MFE＝∠AFE＝130°．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 德化县期末）如图，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD于点F，∠ADC＝90°．
（1）如图1，判断∠CBF与∠BFC是否相等，并说明理由；
（2）如图2，过F点作EF∥BC交AB于E，连接DE，DE恰好平分∠ADC，∠2＝61°，求∠1的度数；
（3）如图3，过点D作DH∥BF，交AB于点H．线段BF上有一点P，点M在射线PF上，∠PCM＝∠ADH，且满足∠BCM＝5∠FCM，求∠BCP与∠PCF的比值．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∠CBF＝∠BFC，理由见解答过程；
（2）77°；
（3）或3．
【分析】（1）根据AB∥CD得∠BFC＝∠ABF，再根据BF平分∠ABC得ABF＝∠CBF，由此即可得出答案；
（2）根据角平分线定义得∠ABC＝2∠2＝122°，根据EF∥BC得∠AEF＝∠ABC＝122°，再根据DE恰好平分∠ADC及AB∥CD得∠AED＝∠FDE＝45°，然后根据∠1＝∠AEF﹣∠AED即可得出答案；
（3）依题意有以下两种情况：①当点M都在线段BF上时，设∠FCM＝α，则∠BCM＝5∠FCM＝5α，∠BCF＝6α，设∠ADH＝β，则∠PCM＝∠ADH＝β，∠HDF＝90°﹣β，根据DH∥BF及（1）的结论得∠CBF＝∠BFC＝90°﹣β，由三角形内角和定理可得出β＝3α，则∠BCP＝∠BCM﹣∠PCM＝2α，∠PCF＝∠BCF﹣∠BCP＝4α，据此可得出∠BCP与∠PCF的比值；②当点P在PF的延长线上时，设∠FCM＝α，则∠BCM＝5∠FCM＝5α，∠BCF＝4α，设∠ADH＝β，则∠PCM＝∠ADH＝β，同理可得∠CBF＝∠BFC＝90°﹣β，由三角形内角和定理可得出β＝2α，则∠PCF＝∠PCM﹣∠FCM＝α，∠BCP＝∠BCF﹣∠PCF＝3α，据此可得出∠BCP与∠PCF的比值，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）∠CBF＝∠BFC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BFC＝∠ABF，
∵∠ABC的平分线交CD于点F，
∴ABF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠BFC；
（2）∵∠ABC的平分线交CD于点F，∠2＝61°，
∴∠ABC＝2∠2＝122°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝122°，
∵∠ADC＝90°，DE恰好平分∠ADC，
∴∠FDE∠ADC＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠FDE＝45°，
∴∠1＝∠AEF﹣∠AED＝122°﹣45°＝77°；
（3）依题意有以下两种情况：
①当点M都在线段BF上时，如图3①所示：
设∠FCM＝α，则∠BCM＝5∠FCM＝5α，
∴∠BCF＝∠BCM+∠FCM＝6α，
设∠ADH＝β，则∠PCM＝∠ADH＝β，
∵∠ADC＝90°，
∴∠HDF＝∠ADC﹣∠ADH＝90°﹣β，
∵DH∥BF，
∴∠BFC＝∠HDF＝90°﹣β，
由（1）的结论得：∠CBF＝∠BFC＝90°﹣β，
在△BCF中，∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，
∴90°﹣β+90°﹣β+6α＝180°，
∴β＝3α，
∴∠BCP＝∠BCM﹣∠PCM＝5α﹣β＝2α，
∴∠PCF＝∠BCF﹣∠BCP＝6α﹣2α＝4α，
∴；
②当点P在PF的延长线上时，如图3②所示：
设∠FCM＝α，则∠BCM＝5∠FCM＝5α，
∴∠BCF＝∠BCM﹣∠FCM＝4α，
设∠ADH＝β，则∠PCM＝∠ADH＝β，
同理可得：∠CBF＝∠BFC＝90°﹣β，
在△BCF中，∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，
∴90°﹣β+90°﹣β+4α＝180°，
∴β＝2α，
∴∠PCF＝∠PCM﹣∠FCM＝β﹣α＝α，
∴∠BCP＝∠BCF﹣∠PCF＝4α﹣α＝3α，
∴3，
综上所述：∠BCP与∠PCF的比值或3．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
17．（2024秋 泉港区期末）如图，AC与BD相交于点E，∠1＝65°，∠D＝65°．
（1）若∠A＝30°，试求∠ACD的度数；
（2）取线段AB的中点F，连结EF．若∠AFE+∠BCD＝180°，∠A＝∠AEF．求证：CA平分∠BCD．
【考点】平行线的判定与性质；对顶角、邻补角．
【专题】运算能力．
【答案】（1）30°；
（2）见解答．
【分析】（1）由∠1＝65°，∠D＝65°得AB∥CD，根据两直线平行内错角相等得∠ACD＝∠A＝30°；
（2）由AB∥CD得∠ABC+∠BCD＝180°，由∠AFE+∠BCD＝180°，得∠AFE＝∠ABC，进而得EF∥BC，根据∠A＝∠AEF，∠A＝∠ACD，可得CA平分∠BCD．
【解答】（1）解：∵∠1＝65°，∠D＝65°，
∴∠1＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠A＝30°；
（2）证明：如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠AFE+∠BCD＝180°，
∴∠AFE＝∠ABC，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ACB，
∵∠A＝∠AEF，∠A＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ACB，
即CA平分∠BCD．
【点评】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
18．（2024秋 邗江区期末）将一副三角板按图1方式摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM、ON，求∠MON的度数．
【初步认识】
（1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD．图2中，ON、OD、OB在同一条直线上，则∠MON＝ 　135　°；图3中，∠AOC＝∠BOD，则∠MON＝ 　135　°；
【深度理解】
（2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中∠MON的度数并说明理由；
（3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　A　；
A．由特殊到一般
B．方程
C．分类讨论
D．整体
【拓展应用】
（4）若将条件“分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM、ON”改为“在∠AOC和∠BOD内部分别作出射线OM、ON，使得∠COM∠AOC，∠DON∠BOD”（n为正整数），请你直接写出∠MON的度数　　°（用含n的代数式表示）；
【大胆创新】
（5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板COD绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过180°），使得边CD与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 　45或75或165　°．
【考点】平行线的性质；数学常识；列代数式；规律型：图形的变化类．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）135°；135°；
（2）∠MON＝135°，理由见解析；
（3）A；（4）；
（5）45或75或165．
【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，根据角平分线的定义得到∠MOC+∠NOD ，于是得到结论；
（3）小明与小丽解决以上问题的方法，用到的是由特殊到一般的数学思想；
（4）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，根据角平分线的定义得到∠MOC+∠NOD，于是得到结论．
（5）分三种情况画出图形求解即可．
【解答】解：（1）图2中，，
图3中，∠MDN
＝135°；
故答案为：135°；135°；
（2）猜想：∠MON＝135°，理由如下：
图1中，∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，
∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线，
∴∠MOC+∠NOD，
∴∠MON＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD＝45°+90°＝135°；
（3）明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了由特殊到一般的数学思想，
故选：A．
（4）∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（5）如图，当CD∥AB时，则∠BOD＝∠D＝45°；
如图，当CD∥BF时，设CD交AB于点E，
则∠OEC＝∠ABF＝30°，
∴∠DOE＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∴∠BOD＝180°﹣105°＝75°；
如图，当CD∥AF时，设CD交AB于点E，
则∠CEO＝∠A＝60°，
∴∠DEO＝180°﹣60°＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣120°﹣45°＝15°，
∴∠BOD＝180°﹣15°＝165°．
综上可知，旋转的角度为45°或75°或165°45°、75°、165°．
故答案为：45或75或165．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，通过图形直观得出各个角之间的和差关系是解决问题的关键．
19．（2024秋 中牟县期末）综合与实践
学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°．
（1）操作判断
若∠DCB＝55°，则∠ACE＝ 　125°　；若∠ACE＝158°，则∠DCB＝ 　22°　；
（2）性质探究
由（1）猜想∠ACE与∠DCB的数量关系，并证明你的猜想；
（3）拓展应用
当∠BCE＜180°且点B在直线CE的上方时，这两个三角尺存在一组边互相平行，请直接写出∠BCE所有可能的度数（不必说明理由）．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）125°，22°；
（2）∠ACE+∠DCB＝180°，理由见解析；
（3）∠BCE＝30°或45°或120°或135°或165°．
【分析】（1）根据∠DCB和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACE和∠ACD求得∠DCB的度数；
（2）根据∠ACD＝90°﹣∠DCB，以及∠BCE＝90°﹣∠DCB，进行计算即可得出结论；
（3）分五种情况进行讨论：当CB∥DE时，当AC∥DE时，当AB∥DE时，当AB∥CD时，当AB∥CE时，分别求得∠BCE的度数．
【解答】解：（1）∵∠DCB＝55°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝35°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°+35°＝125°；
∵∠ACD＝∠ACE﹣90°＝158°﹣90°＝68°，
∠DCB＝90°﹣68°＝22°．
故答案为：125°，22°．
（2）猜想：∠ACE+∠DCB＝180°．
理由如下：∵∠ACD＝90°﹣∠DCB，
又∵∠BCE＝90°﹣∠DCB，
∴∠ACE＝∠ACD+∠BCE+∠DCB
＝90°﹣∠DCB+90°﹣∠DCB+∠DCB
＝180°﹣∠DCB，
即∠ACE+∠DCB＝180°．
（3）存在，30°、45°、120°、135°、165°．
理由：当CB∥DE时，∠BCE＝120°；
当AC∥DE时，∠BCE＝30°；
当AB∥DE时，∠BCE＝165°；
当AB∥CD时，∠BCE＝135°；
当AB∥CE时，∠BCE＝45°．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的定理和角之间的数量关系是解题的关键．
20．（2024秋 溧阳市期末）已知：如图，直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折线，且∠APB＜90°，Q是a，b之间且在折线APB左侧的一点．
（1）若∠1＝30°，∠P＝84°，则∠2＝ 　54　度；
（2）若∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，请探究∠Q，∠1，∠2间满足的数量关系并说明理由；
（3）若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，∠2之间满足的数量关系．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）54；
（2）∠Q＝∠1+∠2或∠Q＝180°﹣∠1﹣∠2；
（3）∠EQG＝90°+∠1+∠2．
【分析】（1）图1，过P作PC∥直线a，根据平行线的性质得到∠1＝∠APC，∠2＝∠BPC，于是得到结论；
（2）如图2，由已知条件得到四边形MQNP是平行四边形，根据平行四边形的性质得到∠MQN＝∠P＝∠1+∠2，根据平角的定义即可得到结论；
（3）由垂直的定义得到∠QEP＝90°，由平行线的性质得到∠QFE＝∠P，根据平角的定义得到结论．
【解答】解：（1）如图，过P作PC∥直线a，
∴PC∥b，
∴∠1＝∠APC，∠2＝∠BPC，
∴∠2＝∠APB﹣∠1＝54°；
故答案为：54；
（2）如图，∵QM∥PB，QN∥PA，
∴∠PMQ+∠P＝180°，∠PMQ+∠MQN＝180°，
∴∠MQN＝∠P＝∠1+∠2，
∴∠EQN＝180°﹣∠MQN＝180°﹣∠1﹣∠2；
即∠Q＝∠1+∠2或∠Q＝180°﹣∠1﹣∠2；
（3）∵QE⊥AP，
∴∠QEP＝90°，
∵QF∥PB，
∴∠QFE＝∠P，
∴∠EQF＝90°﹣∠QFE＝90°﹣∠1﹣∠2，
∴∠EQG＝180°﹣∠EQF＝90°+∠1+∠2．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键．
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