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2025年中考数学二轮复习押题预测 一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 温州期末）已知y＝x（x﹣2），0≤x≤4，下列说法正确的是（　　）
A．当x＝0时，y有最小值 B．当x＝0时，y有最大值
C．当x＝1时，y有最小值 D．当x＝1时，y有最大值
2．（2024秋 南岸区期末）已知实数a，b，c，m，n，其中a≠0，满足，.则以下说法：①b2﹣12ac≥0；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3c＝0的两根为3m，n．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024秋 丰都县期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．（x﹣1）2＝﹣1 B．（x﹣1）2＝0 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝2
4．（2024秋 梁平区期末）将一元二次方程﹣3x+4＝2x2化为一般形式为（　　）
A．2x2﹣3x+4＝0 B．2x2﹣3x﹣4＝0
C．2x2+3x﹣4＝0 D．2x2+3x+4＝0
5．（2024秋 荣昌区期末）关于x的二次三项式A＝2x2+5x+1，关于x的代数式B＝x2﹣mx+2，下列说法：①当A﹣B为关于x的二次三项式时，则m≠﹣5；②当多项式A与3B的差中不含x项时，则；③当m＝5时，A+B的值总是正数．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2024秋 黔江区期末）若数a使关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解，且使关于y的分式方程2的解为正整数，则满足条件的a的值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
7．（2024秋 西湖区校级期末）如图，在长方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB为半径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（　　）
A．DF的长 B．BE的长 C．EF的长 D．BD的长
8．（2024秋 城阳区期末）方程x2＝2025x的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2025
C．x1＝0，x2＝2025 D．无实数根
9．（2024秋 庐江县期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．请问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可以列出关于x的方程是（　　）
A．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 B．（x+4）2＝x2+（x﹣2）2
C．（x﹣4）2＝x2+（x+2）2 D．（x+4）2＝x2+（x+2）2
10．（2024秋 连平县期末）在一幅长为50cm、宽为30cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是2400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（　　）
A．x2+40x﹣225＝0 B．x2+80x﹣225＝0
C．x2﹣40x﹣225＝0 D．x2﹣80x﹣225＝0
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 紫金县期末）若x1，x2是方程x2﹣5x+4＝0的两个根，则代数式　 　．
12．（2024秋 武侯区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足|x1+x2|＝2x1x2，则m＝　 　．
13．（2024秋 黔江区期末）一个直角三角形的斜边长是，两条直角边长的和是9cm，则这个直角三角形的面积为 　 　．
14．（2024秋 武侯区期末）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2025的值为　 　．
15．（2024秋 庄河市期末）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根，则该三角形的周长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 江北区模拟）开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍．
（1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价；
（2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？
17．（2024秋 博罗县期末）已知x＝1是方程x2﹣kx+2k﹣5＝0的一个根，求k的值和方程的另一个根．
18．（2024秋 庄河市期末）解方程：
（1）；
（2）2m2+3m﹣8＝0．
19．（2024秋 城阳区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣px﹣6﹣p＝0．
（1）若方程的一个根是0，求p的值；
（2）求证：无论p为何值，该方程都有两个不相等的实数根．
20．（2024秋 浦东新区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0．
（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）选择一个满足（1）的条件的k，并求此时方程的根．
2025年中考数学二轮复习押题预测 一元二次方程
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C A C A C A A
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 温州期末）已知y＝x（x﹣2），0≤x≤4，下列说法正确的是（　　）
A．当x＝0时，y有最小值 B．当x＝0时，y有最大值
C．当x＝1时，y有最小值 D．当x＝1时，y有最大值
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】配方解析式化成顶点式，画出图象，由图象的对称性增减性顶点，确定函数的最大值或最小值，逐一判断即得．
【解答】解：y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
A．∵当x＝1时，y有最小值，∴A选项不正确；
B．∵当x＝4时，y有最大值，∴B选项不正确；
C．∵当x＝1时，y有最小值，∴C选项正确；
D．∵当x＝4时，y有最大值，∴D选项不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数对称性，增减性是解题的关键．
2．（2024秋 南岸区期末）已知实数a，b，c，m，n，其中a≠0，满足，.则以下说法：①b2﹣12ac≥0；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3c＝0的两根为3m，n．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】①根据题意，可得 b＝a（3m+n），c＝amn，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式＝a2（3m﹣n）2，根据a，m，n是实数，可知a2（3m﹣n）2≥0．
②若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可．
③利用根与系数的关系进行判断即可．
【解答】解：①∵，，
∴b＝a（3m+n），c＝amn，
则b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn
＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn
＝a2（9m2﹣6mn+n2）
＝a2（3m﹣n）2，
∵a，m，n是实数，
∴a2（3m﹣n）2≥0，
∴b2﹣12ac≥0．
故①正确；
②若m，n都为整数，其可能情况有：m，n都为奇数；m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，
当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数，
又∵，
∴b＝a（3m+n），
∵a为奇数，
∴a（3m+n） 必为偶数，这与b为奇数矛盾；
当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数，
又∵，
∴c＝amn，
∵a为奇数，
∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾；
综上所述，m，n不可能都为整数；
故②正确；
③∵，，
∴，3mn，
∴3m和n是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3c＝0的两根，
故③正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用和整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法以及根与系数的关系是解题的关键．
3．（2024秋 丰都县期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．（x﹣1）2＝﹣1 B．（x﹣1）2＝0 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝2
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】求出方程的根一一判断即可．
【解答】解：A、（x﹣1）2＝﹣1，方程无解，本选项不符合题意；
B、（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1，本选项符合题意；
C．（x﹣1）2＝1，x1＝0，x2＝2，本选项不符合题意；
D、（x﹣1）2＝2，x1＝1，x2＝1，本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开方法，解题的关键是在我直接开方法解方程．
4．（2024秋 梁平区期末）将一元二次方程﹣3x+4＝2x2化为一般形式为（　　）
A．2x2﹣3x+4＝0 B．2x2﹣3x﹣4＝0
C．2x2+3x﹣4＝0 D．2x2+3x+4＝0
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的一般形式，进行化简即可．
【解答】解：一元二次方程化为一般形式为：2x2+3x﹣4＝0，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是移项得到一般式ax2+bx+c＝0（a≠0）．
5．（2024秋 荣昌区期末）关于x的二次三项式A＝2x2+5x+1，关于x的代数式B＝x2﹣mx+2，下列说法：①当A﹣B为关于x的二次三项式时，则m≠﹣5；②当多项式A与3B的差中不含x项时，则；③当m＝5时，A+B的值总是正数．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】A
【分析】将A﹣B整理成x2+（5+m）x﹣1，得到5+m≠0，即可判断说法①；将A﹣3B整理成﹣x2+（5+3m）x﹣5，令5+3m＝0，解方程即可判断说法②；当m＝5时，求得A+B＝3x2+3，即可判断说法③．
【解答】解：A﹣B＝2x2+5x+1﹣（x2﹣mx+2）
＝2x2+5x+1﹣x2+mx﹣2
＝x2+（5+m）x﹣1，
∵A﹣B为关于x的二次三项式，
∴5+m≠0，
解得m≠﹣5，
故①正确，该说法符合题意；
A﹣3B＝2x2+5x+1﹣3（x2﹣mx+2）
＝2x2+5x+1﹣3x2+3mx﹣6
＝﹣x2+（5+3m）x﹣5，
∵多项式A与3B的差中不含x项，
∴5+3m＝0，
解得，
故②正确，该说法符合题意；
③A+B＝2x2+5x+1+（x2﹣mx+2）
＝2x2+5x+1+x2﹣mx+2
＝3x2+（5﹣m）x+3，
当m＝5时，A+B＝3x2+（5﹣5）x+3＝3x2+3＞0，
故③正确，该说法符合题意；
∴正确的个数是3个；
故选：A．
【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次方，解答本题的关键是熟练掌握配方法的应用．
6．（2024秋 黔江区期末）若数a使关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解，且使关于y的分式方程2的解为正整数，则满足条件的a的值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【考点】根的判别式；分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解可得a的取值范围，再解分式方程2，可得y且y≠1，最后结合正整数可得答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解，
∴22﹣4（﹣6+a）＞0，
即a＜7，
解关于y的分式方程2，可得y且y≠1，
∵y为正整数，
∴0，且y1，
∴a＞1，且a≠3，
∴a＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了分式方程的解．
7．（2024秋 西湖区校级期末）如图，在长方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB为半径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（　　）
A．DF的长 B．BE的长 C．EF的长 D．BD的长
【考点】解一元二次方程﹣公式法；矩形的性质．
【专题】一元二次方程及应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】A
【分析】利用公式法求出方程的根，并结合AB＝a，AD＝b对正根对应的线段进行判断即可．
【解答】解：由题知，
解方程x2+2ax＝b2得，
x，
所以方程的正根为x＝﹣a．
在Rt△ABD中，
BD．
又因为BF＝AB＝a，
所以x＝﹣BF+BD＝DF．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法及矩形的性质，熟知矩形的性质及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
8．（2024秋 城阳区期末）方程x2＝2025x的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2025
C．x1＝0，x2＝2025 D．无实数根
【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用因式分解法即可求得方程的解．
【解答】解：x2＝2025x
提取公因式x得x（x﹣2025）＝0
∴x1＝0或x2＝2025．
故选：C．
【点评】利用因式分解法解一元二次方程式是解题的关键．
9．（2024秋 庐江县期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．请问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可以列出关于x的方程是（　　）
A．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 B．（x+4）2＝x2+（x﹣2）2
C．（x﹣4）2＝x2+（x+2）2 D．（x+4）2＝x2+（x+2）2
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用；数学常识．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题中所给的条件可知，竿的长度为x尺，门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，运用勾股定理即可列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：根据题意得：（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2，
故选：A．
【点评】本题考查有实际问题抽象出一元二次方程及勾股定理的应用，找准等量，正确运用勾股定理，关系是解答本题的关键．
10．（2024秋 连平县期末）在一幅长为50cm、宽为30cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是2400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（　　）
A．x2+40x﹣225＝0 B．x2+80x﹣225＝0
C．x2﹣40x﹣225＝0 D．x2﹣80x﹣225＝0
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据金色纸边的宽度为x cm，则挂图的（50+2x）cm，宽就为（30+2x）cm，根据题目条件列出方程整理即可．
【解答】解：由题意得：（50+2x）（30+2x）＝2400，
整理得出：x2+40x﹣225＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题．理解题意是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 紫金县期末）若x1，x2是方程x2﹣5x+4＝0的两个根，则代数式　1　．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为x1，x2是方程x2﹣5x+4＝0的两个根，
所以，
则，
所以4+5＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
12．（2024秋 武侯区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足|x1+x2|＝2x1x2，则m＝　±6　．
【考点】根与系数的关系；绝对值；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】±6．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，建立关于m的等式进行求解，再结合一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0有两个实数根x1，x2，
所以x1+x2＝m，x1x2＝3．
又因为|x1+x2|＝2x1x2，
所以|m|＝6，
解得m＝±6，
且满足（﹣m）2﹣4×1×3≥0，
所以m＝±6．
故答案为：±6．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系、绝对值及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系、根的判别式及绝对值的性质是解题的关键．
13．（2024秋 黔江区期末）一个直角三角形的斜边长是，两条直角边长的和是9cm，则这个直角三角形的面积为 　9cm2　．
【考点】一元二次方程的应用；勾股定理．
【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】9cm2．
【分析】设一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为（9﹣x）cm，根据勾股定理列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为（9﹣x）cm，
由勾股定理得：x2+（9﹣x）2＝（3）2，
整理得：x2﹣9x+18＝0，
解得：x1＝3，x2＝6，
当x＝3时，9﹣x＝6；
当x＝6时，9﹣x＝3；
∴这个直角三角形的两条直角边长分别为3cm、6cm，
∴这个直角三角形的面积为3×6＝9（cm2），
故答案为：9cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，根据勾股定理列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2024秋 武侯区期末）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2025的值为　2027　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2027．
【分析】利用整体代入的思想解决问题即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣2＝0，
m2﹣m＝2，
∴m2﹣m+2025＝2+2025＝2027．
故答案为：2027．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
15．（2024秋 庄河市期末）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根，则该三角形的周长为 　15　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】15．
【分析】先求出方程的解，再结合三角形三边的关系即可解决问题．
【解答】解：由方程x2﹣9x+18＝0得，
x1＝3，x2＝6．
因为等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根，
则当3为腰长时，
3+3＝6，
故此情况舍去．
当6为腰长时，
3+6＞6，
此时三角形的周长为：3+6+6＝15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法、一元二次方程的解、三角形三边关系及等腰三角形的性质，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及三角形三边的关系是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 江北区模拟）开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍．
（1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价；
（2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？
【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）商家购进的每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元；
（2）每个套尺的售价为11元．
【分析】（1）设商家购进的每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的单价是（10﹣x）元，根据商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设每个套尺的售价为m元，根据想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设商家购进的每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的单价是（10﹣x）元，
由题意得：2，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，也符合题意，
∴10﹣x＝10﹣4＝6，
答：商家购进的每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元；
（2）设每个套尺的售价为m元，
由题意得：（m﹣6）×（305）+50×（8﹣4）＝400，
整理得：m2﹣21m+110＝0，
解得：m1＝10，m2＝11，
∵降价幅度不超过10%，
∴10%，
∴m，
∴m＝11，
答：每个套尺的售价为11元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
17．（2024秋 博罗县期末）已知x＝1是方程x2﹣kx+2k﹣5＝0的一个根，求k的值和方程的另一个根．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k＝4，x＝3．
【分析】先根据方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值，把x＝1代入方程x2﹣kx+2k﹣5＝0即可得到关于k的方程，求得k的值，然后代入原方程，最后再解方程即可．
【解答】解：由题意得：12﹣k+2k﹣5＝0，
解得k＝4，
则原方程可化为x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以另一个根为x＝3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的定义，解一元二次方程是解题的关键．
18．（2024秋 庄河市期末）解方程：
（1）；
（2）2m2+3m﹣8＝0．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
（2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可．
【解答】解：（1）x2，
x（x）＝0，
则x＝0或x，
所以．
（2）2m2+3m﹣8＝0，
Δ＝32﹣4×2×（﹣8）＝73＞0，
则x，
所以．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元二次方程﹣公式法，熟知因式分解法及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
19．（2024秋 城阳区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣px﹣6﹣p＝0．
（1）若方程的一个根是0，求p的值；
（2）求证：无论p为何值，该方程都有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）p＝﹣6；
（2）证明过程见解析．
【分析】（1）把x＝0代入一元二次方程得到﹣6﹣p＝0，然后解一次方程即可；
（2）先计算根的判别式的值得到Δ＝（﹣p）2﹣4×（﹣6﹣p），则利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论．
【解答】（1）解：把x＝0代入方程x2﹣px﹣6﹣p＝0得﹣6﹣p＝0，
解得p＝﹣6，
即p的值为﹣6；
（2）证明：∵Δ＝（﹣p）2﹣4×（﹣6﹣p）
＝p2+4（6+p）
＝p2+24+4p＞0
＝（p+2）2+20＞0，
∴无论p为何值，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．（2024秋 浦东新区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0．
（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）选择一个满足（1）的条件的k，并求此时方程的根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）k；
（2）k＝0，．
【分析】（1）根据Δ≥0，构建不等式求解；
（2）取k＝0，利用公式法求解（答案不唯一）．
【解答】解：（1）由题意，Δ≥0，
∴Δ＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）≥0
﹣12k+5≥0，
∴；
（2）k取0时，（答案不唯一）．
此时方程为x2+3x+1＝0，
解得 ．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
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