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2025年中考数学二轮复习押题预测 因式分解
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 岳麓区校级期末）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2﹣1 B．4x2+4x+4 C．x2+2x+1 D．x2﹣2x﹣1
2．（2024秋 黔江区期末）已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
3．（2024秋 长寿区期末）下列等式从左到右变形，是因式分解的是（　　）
A． B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 D．x2+x+1＝x（x+1）+1
4．（2024秋 连江县期末）下列各式从左到右的变形是因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2
5．（2024秋 瓦房店市期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（x+1）2＝x2+2x+1 B．a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x2﹣2x＝x（x+2）
6．（2024秋 和平区校级期末）现定义对于一个数a，我们把{a}称为a的“邻一数”；若a≥0，则{a}＝a﹣1；若a＜0，则{a}＝a+1．例如{1}＝1﹣1＝0，{﹣0.5}＝﹣0.5+1＝0.5．下列说法，其中正确结论有（　　）个．
①若a＝b，则{a}≠{b}；
②当x＞0，y＜0时，{x}﹣1＝{y}+1，则（x﹣y）2﹣3（x﹣y）值为4；
③方程{m﹣1}＝﹣2的解为m＝0或m＝﹣2．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2024秋 重庆期末）若关于x的多项式x3+x2﹣7x﹣3可以分解为（x2+nx﹣1）（x+3），则n3的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6
8．（2024秋 黄陂区期末）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（a+1）＝a2+a B．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1
C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 D．（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2
9．（2024秋 西青区期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x3+2x2﹣3＝x2（x+2）﹣3 B．m2+10m+25＝（m+5）2
C．a5b3＝ab a4b2 D．2x（x﹣y）＝2x2﹣2xy
10．（2024秋 安阳期末）下列各式从左到右是因式分解的是（　　）
A．（a+1）（a﹣3）＝a2﹣2a﹣3 B．x2﹣25＝（x﹣5）（x+5）
C．a2+2a﹣1＝（a﹣1）2 D．y3+4y2﹣2＝y2（y+4）﹣2
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 连江县期末）我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长的a的正方形纸片剪去1个长为a，宽为b的长方形和2个边长为b的正方形之后，再将图1阴影部分沿虚线剪开，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分的面积，请从因式分解的角度，用一个含有a，b等式表示从图1到图2的变化过程 　 　．
12．（2024秋 澄海区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使BE＝8．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为　 　．
13．（2024秋 沙坪坝区校级期末）设a，b，c是一个三角形的三边长，则a2﹣b2﹣c2﹣2bc　 　0（填＜，＞，＝）．
14．（2024秋 辛集市期末）分解因式：﹣mn+m2＝　 　．
15．（2024秋 河北区校级期末）已知a＝2024x+2023，b＝2024x+2024，c＝2024x+2025，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 丰泽区期末）有一块周长为20米的长方形菜地ABCD，若AB＝a米，BC＝b米，且满足a2b+ab2＝180．
（1）求这块长方形菜地ABCD的面积；
（2）求AC的长度．
17．（2024秋 綦江区期末）分解因式：
（1）3x（a﹣5）+y（5﹣a）；
（2）（x﹣1）（x﹣5）+4．
18．（2024秋 南昌县期末）【阅读学习】阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac．
例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形．利用不同的形式可表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来为 　 　；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38．求a2+b2+c2的值；
（3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
19．（2024秋 长沙期末）在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如：如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式：　 　；
（2）如图3，现有a×a，b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的矩形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此矩形的长和宽；
（3）如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若a+b+c＝8，ab+bc+ac＝22，求a2+b2+c2的值．
20．（2024秋 湛江期末）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值．
解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020
＝（x﹣6）2+1984
∵（x﹣6）2≥0，
∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，最小值为0，
∴（x﹣6）2+1984≥1984，
∴当（x﹣6）2＝0时，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值为1984，
∴代数式：x2﹣12x+2020的最小值是1984．
例如：分解因式：x2﹣120x+3456
解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60）2﹣122
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）．
（1）分解因式x2﹣46x+520；
（2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值；
（3）当m，n为何值时，代数式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出这个最小值．
2025年中考数学二轮复习押题预测 因式分解
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C C B B C B B
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 岳麓区校级期末）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2﹣1 B．4x2+4x+4 C．x2+2x+1 D．x2﹣2x﹣1
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可．
【解答】解：A．可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意；
B．可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意；
C．可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意；
D．不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，熟练掌握因式分解是关键．
2．（2024秋 黔江区期末）已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【考点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理．
【专题】因式分解；推理能力．
【答案】D
【分析】利用因式分解法即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2，
所以（a2+b2）（a+b）（a﹣b）﹣c2（a+b）（a﹣b）＝0，
则（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0．
因为a+b≠0，
所以a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
所以△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用及勾股定理的逆定理，熟知因式分解的步骤及勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．（2024秋 长寿区期末）下列等式从左到右变形，是因式分解的是（　　）
A． B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 D．x2+x+1＝x（x+1）+1
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可．
【解答】解：A、等号右边不是整式，不符合因式分解的定义，不符合题意；
B、符合将多项式分解成几个整式的积的形式，是因式分解，符合题意；
C、等号右边表示整式的积的形式，不符合题意；
D、等号右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键．
4．（2024秋 连江县期末）下列各式从左到右的变形是因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可．
【解答】解：A、等号右侧不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
B、等号右侧不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、符合因式分解定义，符合题意；
D、分解错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是关键．
5．（2024秋 瓦房店市期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（x+1）2＝x2+2x+1 B．a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x2﹣2x＝x（x+2）
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，就是因式分解，通过分析各项中，哪项等式右边为乘积的形式，即可解答题目．
【解答】解：A、（x+1）2＝x2+2x+1是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）是因式分解，符合题意；
D、x2﹣2x≠x（x+2），不是因式分解，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查因式分解的定义，解题关键在于需要掌握因式分解的定义．
6．（2024秋 和平区校级期末）现定义对于一个数a，我们把{a}称为a的“邻一数”；若a≥0，则{a}＝a﹣1；若a＜0，则{a}＝a+1．例如{1}＝1﹣1＝0，{﹣0.5}＝﹣0.5+1＝0.5．下列说法，其中正确结论有（　　）个．
①若a＝b，则{a}≠{b}；
②当x＞0，y＜0时，{x}﹣1＝{y}+1，则（x﹣y）2﹣3（x﹣y）值为4；
③方程{m﹣1}＝﹣2的解为m＝0或m＝﹣2．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】因式分解的应用；一元一次方程的解．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】直接根据新定义可判断①；由新定义得出x﹣y＝4，然后代入所给代数式计算可判断②；分类讨论可判断③．
【解答】解：①当a＝b时，{a}＝{b}，故不正确；
②当x＞0，y＜0时，{x}﹣1＝{y}+1，则x﹣1﹣1＝y+1+1，
∴x﹣y＝4，
∴（x﹣y）2﹣3（x﹣y）＝42﹣3×4＝4，故正确；
③当m﹣1≥0，即m≥1时，{m﹣1}＝m﹣1﹣1＝m﹣2＝﹣2，
解得m＝0（不符合条件，舍去）；
当m＜1时，{m﹣1}＝m＝﹣2，
∴方程{m﹣1}＝﹣2的解为m＝﹣2，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了新定义，解一元一次方程，理解新定义是解答本题的关键．
7．（2024秋 重庆期末）若关于x的多项式x3+x2﹣7x﹣3可以分解为（x2+nx﹣1）（x+3），则n3的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6
【考点】因式分解﹣分组分解法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据整式的乘法运算，再根据多项式的特点列方程求解．
【解答】解：由题意得：x3+x2﹣7x﹣3＝（x2+nx﹣1）（x+3）＝x3+（n+3）x2+（3n﹣1）x﹣3，
∴n+3＝1且3n﹣1＝﹣7，
解得：n＝﹣2，
∴n3的值为：﹣8，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，理解因式分解和整式乘法的关系是解题的关键．
8．（2024秋 黄陂区期末）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（a+1）＝a2+a B．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1
C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 D．（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可．
【解答】解：A、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
B、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
C、将多项式式分解成几个整式积的形式，属于因式分解，满足题意；
D、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是关键．
9．（2024秋 西青区期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x3+2x2﹣3＝x2（x+2）﹣3 B．m2+10m+25＝（m+5）2
C．a5b3＝ab a4b2 D．2x（x﹣y）＝2x2﹣2xy
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定，即可求解．
【解答】解：A．x3+2x2﹣3＝x2（x+2）﹣3，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B．m2+10m+25＝（m+5）2，是因式分解，故该选项正确，符合题意；
C．a5b3＝ab a4b2，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D．2x（x﹣y）＝2x2﹣2xy，是整式乘法，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．
10．（2024秋 安阳期末）下列各式从左到右是因式分解的是（　　）
A．（a+1）（a﹣3）＝a2﹣2a﹣3 B．x2﹣25＝（x﹣5）（x+5）
C．a2+2a﹣1＝（a﹣1）2 D．y3+4y2﹣2＝y2（y+4）﹣2
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式分成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此依次进行判断即可．
【解答】解：A、是整式的乘法，不符合题意；
B、是把一个多项式分成几个整式的积的形式，是因式分解，符合题意；
C、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，分解错误，不符合题意；
D、不是因式分解，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查因式分解的判断，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 连江县期末）我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长的a的正方形纸片剪去1个长为a，宽为b的长方形和2个边长为b的正方形之后，再将图1阴影部分沿虚线剪开，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分的面积，请从因式分解的角度，用一个含有a，b等式表示从图1到图2的变化过程 　a2﹣ab﹣2b2＝（a+b）（a﹣2b）　．
【考点】因式分解的应用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】a2﹣ab﹣2b2＝（a+b）（a﹣2b）．
【分析】根据题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积，再根据两者相等即可解决问题．
【解答】解：由题知，
图1中阴影部分的面积为：a2﹣ab﹣2b2．
图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣2b），
因为两个阴影的面积相等，
所以a2﹣ab﹣2b2＝（a+b）（a﹣2b）．
故答案为：a2﹣ab﹣2b2＝（a+b）（a﹣2b）．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，能用含a，b的代数式分别表示出图1和图2中阴影部分的面积是解题的关键．
12．（2024秋 澄海区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使BE＝8．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为　1或7　．
【考点】因式分解的应用；全等三角形的判定；矩形的性质．
【专题】因式分解；图形的全等；运算能力．
【答案】1或7．
【分析】根据题意得出△DCE是两条直角边分别为4和2的直角三角形，再结合点P的运动轨迹进行分类讨论即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠DCB＝∠A＝90°，BC＝AD＝6，DC＝AB＝4．
又∵BE＝8，
∴CE＝8﹣6＝2，
∴△DCE是两条直角边分别为4和2的直角三角形．
当点P在BC上时，
△ABP≌△DCE，
∴BP＝CE＝2，
∴t＝2÷2＝1．
当点P在CD上时（不包括端点），
此时△ABP是锐角三角形，
∴△ABP与△DCE不全等．
当点P在DA上时，
△ABP≌△CDE，
∴AP＝CE＝2，
∴t＝（6+4+6﹣2）÷2＝7．
综上所述：t的值为1或7．
故答案为：1或7．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用、全等三角形的判定及矩形的性质，巧用分类讨论的数学思想及熟知全等三角形的性质是解题的关键．
13．（2024秋 沙坪坝区校级期末）设a，b，c是一个三角形的三边长，则a2﹣b2﹣c2﹣2bc　＜　0（填＜，＞，＝）．
【考点】因式分解的应用；三角形三边关系．
【专题】因式分解；三角形；运算能力．
【答案】＜．
【分析】将所给代数式进行因式分解，再结合三角形三边的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
a2﹣b2﹣c2﹣2bc＝a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）．
因为a，b，c是一个三角形的三边长，
所以a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
所以（a+b+c）（a﹣b﹣c）＜0，
即a2﹣b2﹣c2﹣2bc＜0．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用及三角形三边的关系，熟知因式分解的步骤及三角形三边的关系是解题的关键．
14．（2024秋 辛集市期末）分解因式：﹣mn+m2＝　m（m﹣n）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】m（m﹣n）．
【分析】利用提公因式法分解即可．
【解答】解：﹣mn+m2＝m2﹣mn＝m（m﹣n），
故答案为：m（m﹣n）．
【点评】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法并根据每个多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键．
15．（2024秋 河北区校级期末）已知a＝2024x+2023，b＝2024x+2024，c＝2024x+2025，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于　3　．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据题意可得，a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，结合已知可得原式，代入计算即可．
【解答】解：由题意得，a﹣b＝（2024x+2023）﹣（2024x+2024）＝﹣1，
a﹣c＝（2024x+2023）﹣（2024x+2025）＝﹣2，
c﹣b＝（2024x+2025）﹣（2024x+2024）＝1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握因式分解是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 丰泽区期末）有一块周长为20米的长方形菜地ABCD，若AB＝a米，BC＝b米，且满足a2b+ab2＝180．
（1）求这块长方形菜地ABCD的面积；
（2）求AC的长度．
【考点】因式分解的应用；勾股定理；完全平方公式．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】（1）这块长方形菜地ABCD的面积为18平方米；
（2）AC的长度为8．
【分析】（1）根据周长为20米，得出a+b＝10，再由a2b+ab2＝180结合因式分解求出ab的值即可解决问题．
（2）利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）因为长方形ABCD的周长为20米，
所以a+b＝10．
又因为a2b+ab2＝180，
所以ab（a+b）＝180，
所以ab＝18，
故这块长方形菜地ABCD的面积为18平方米．
（2）在Rt△ABC中，
AC8，
所以AC的长度为8．
【点评】本题主要考查了因式分解的应该、完全平方公式及勾股定理，熟知勾股定理及巧用因式分解法是解题的关键．
17．（2024秋 綦江区期末）分解因式：
（1）3x（a﹣5）+y（5﹣a）；
（2）（x﹣1）（x﹣5）+4．
【考点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（a﹣5）（3x﹣y）；
（2）（x﹣3）2．
【分析】（1）先变形，再利用提公因式法因式分解即可；
（2）先展开并合并，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）3x（a﹣5）+y（5﹣a）
＝3x（a﹣5）﹣y（a﹣5）
＝（a﹣5）（3x﹣y）；
（2）（x﹣1）（x﹣5）+4
＝x2﹣5x﹣x+5+4
＝x2﹣6x+9
＝（x﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18．（2024秋 南昌县期末）【阅读学习】阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac．
例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形．利用不同的形式可表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来为 　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac　；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38．求a2+b2+c2的值；
（3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
【考点】因式分解的应用；数学常识；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；完全平方式．
【专题】探究型；推理能力．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．
【分析】（1）先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论；
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用S阴影＝S两正方形﹣S△ABD﹣S△BFG求解．
【解答】（1）解：∵正方形面积为（a+b+c）2，小块四边形面积总和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴由面积相等可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
故结论是：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）由（1）可知a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac），
∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝121﹣2×38＝45，
故a2+b2+c2的值为45；
（3）∵a+b＝10，ab＝20，
∴（a+b）2＝100，
∴a2+b2+2ab＝100，
∴a2+b2＝60，
∴S阴影＝S两正方形﹣S△ABD﹣S△BFG
＝a2+b2a2b（a+b）
（a2+b2﹣ab）
（60﹣20）
＝20．
故阴影部分的面积是20．
【点评】本题考查了几何面积与多项式的关系，正确掌握多项式变化与几何面积的关系是解题的关键．
19．（2024秋 长沙期末）在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如：如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式：　（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2　；
（2）如图3，现有a×a，b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的矩形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此矩形的长和宽；
（3）如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若a+b+c＝8，ab+bc+ac＝22，求a2+b2+c2的值．
【考点】因式分解的应用；完全平方公式的几何背景．
【专题】几何图形问题；因式分解；创新意识．
【答案】（1）（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2；
（2）图形见解答；
（3）20．
【分析】（1）由图中大矩形的面积＝中间的各图片的面积的和，就可得出代数式；
（2）面积为2a2+5ab+2b2，那么最小的正方形使用2次，较大的正方形使用2次，边长为a，b的长方形使用5次，依此即可求解；
（3）根据正方形面积＝（a+b+c）2，正方形面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式，根据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc），进行计算即可求解．
【解答】解：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2．
故答案为：（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2；
（2）说明：答案不唯一，画图正确，不论画在什么位置，
（3）由图4可得，正方形面积＝（a+b+c）2，正方形面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）
＝82﹣2×22
＝64﹣44
＝20．
【点评】此题考查的是因式分解的应用与几何的综合题．此题的立意较新颖，注意对此类问题的深入理解．
20．（2024秋 湛江期末）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值．
解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020
＝（x﹣6）2+1984
∵（x﹣6）2≥0，
∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，最小值为0，
∴（x﹣6）2+1984≥1984，
∴当（x﹣6）2＝0时，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值为1984，
∴代数式：x2﹣12x+2020的最小值是1984．
例如：分解因式：x2﹣120x+3456
解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60）2﹣122
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）．
（1）分解因式x2﹣46x+520；
（2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值；
（3）当m，n为何值时，代数式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出这个最小值．
【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；完全平方式．
【专题】计算题；阅读型；整式；运算能力；应用意识．
【答案】（1）（x﹣26）（x﹣20）；（2）y的最大值1314；（3）m＝4，n＝3，最小值为2020．
【分析】（1）把x2﹣46x+520化为x2﹣46x+232﹣9的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；
（2）首先把y配方写成y＝＝﹣（x﹣2）2+1314，根据平方的非负性得y的最大值；
（3）用拆项的方法首先把多项式化为m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+n2﹣6n+9+2020的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值．
【解答】解：（1）x2﹣46x+520
＝x2﹣46x+232﹣9
＝（x﹣23）2﹣9
＝（x﹣26）（x﹣20）；
（2）y＝﹣x2+2x+1313
＝﹣x2+2x﹣1+1314
＝﹣（x2﹣2x+1）+1314
＝﹣（x﹣1）2+1314，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+1314≤1314，
∴y的最大值1314；
（3）m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030
＝m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+n2﹣6n+9+2020
＝（m﹣n﹣1）2+（n﹣3）2+2020，
当m﹣n﹣1＝0，n﹣3＝0时代数式有最小值，
解得m＝4，n＝3，最小值为2020．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方、完全平方式，熟练掌握这三个知识点的综合应用，用拆项法把多项式化为完全平方的形式是解题关键．
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