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(共19张PPT)
6.3.1 二项式定理
学习目标：
1.能用计数原理证明二项式定理；
2.掌握二项式定理及其二项式展开式的通项公式；
3.能解决与二项式定理有关的简单问题；
4.核心素养：数学抽象、数学运算。
组合数公式：
一、回顾旧知
1.我们知道
(1)观察以上展开式,分析其运算过程，你能发现什么规律
二、探索新知
(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数.
考虑b:
每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20
恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
对(a+b)2展开式的分析：
因为(a+b)3＝ (a+b) (a+b) (a+b)
对(a+b)3展开式进行分析：(每一项怎么来的)
展开时，每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个来相乘得项，所以展开后其项的形式有：a3 ,a2b,ab2, b3
最后结果要合并同类项.所以项的系数就是该项在展开式中出现的次数.可计算如下:
因为每个都不取b的情况有1种,即C30 ,所以a3的系数为C30;
因为恰有1个取b的情况有C31种，所以a2b的系数为C31;
因为恰有2个取b的情况有C32 种，所以ab2的系数为C32;
因为恰有3个取b的情况有C33 种，所以 b3的系数为C33;
故(a+b)3 ＝ C30 a3 ＋C31 a2b ＋ C32ab2 ＋ C33b3
因为恰有4个取b的情况有C44种，所以b4的系数为C44
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋ C42 a2b2 ＋ C43 ab3 ＋ C44 b4
因为(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
对(a+b)4展开式进行分析：(每一项怎么来的)
因为每个都不取b的情况有1种,即C40 ,所以a4的系数为C40;
因为恰有1个取b的情况有C41 种，所以a3b的系数为C41;
因为恰有2个取b的情况有C42 种，所以 a2b2的系数为C42;
因为恰有3个取b的情况有C43 种，所以 ab3的系数为C43;
二项展开式定理：
每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0
恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1
恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2b2前的系数为Cn2
......
恰有k个取b的情况有Cnk 种，则an-kbk前的系数为Cnk
......
恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn
分析(a+b)n的展开式：(每一项怎么来的)
因为(a+b)n＝ (a+b) (a+b) (a+b) … (a+b)
一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有
叫做
的二项展开式。
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式
（2）各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；
b的指数从0起依次增加1，直到n为止；
每一项里a、b的指数和均为n。
(1+x)n =Cn0+ Cn1 x+ Cn2 x2+ … +Cnk xk +…+Cnn xn
二项展开式定理：
（1）注意二项式定理中二项展开式的特征.
（2）区别二项式系数，项的系数。
（3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
注 意：
二项式系数：Cnk；
项的系数：二项式系数与数字系数的积
二项展开式定理：
1.二项式定理：
2.通项：
3.二项式系数：
注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念
三、课堂小结：
二项式系数：Cnk；
项的系数：二项式系数与数字系数的积
解:
四、巩固新知
例1：
例2：
(1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数;
解：
(1)(1+2x)7的展开式的第4项是
T3+1=C73·17-3·(2x)3
=35·23·x3
=280x3
所以第4项的系数是280.
解：
例2：
(1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数;
请看课本P31：练习
D
请看课本P31：练习
题型1：二项展开式通项的应用
学以致用：
题型2：与展开式中的特定项有关的问题
学以致用：

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