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2024-2025 学年上海市闵行三中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 为正整数，且 < 26，则(34 )…(27 )(26 ) =( )
A. 9 27 8 927 B. 34 C. 34 D. 34
2.已知函数 ( )的导函数 ′( )的图像如图所示，给出下列结论：
① ( )在区间( 1,1)上严格增；
② ( )的图像在 = 2 处的切线斜率等于 0；
③ ( )在 = 1 处取得极大值；
④ ′( )在 = 1 处取得极小值．
正确的个数是( )个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等 8 名学生中选派 4 名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人
参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为( )
A. 1860 B. 1320 C. 1140 D. 1020
4.若存在实常数 和 ，使得函数 ( )和 ( )对其公共定义域上的任意实数 都满足： ( ) ≥ + 和 ( ) ≤
+ 恒成立，则称此直线 = + 为 ( )和 ( )的“隔离直线”，已知函数 ( ) = 2( ∈ )， ( ) =
1
( < 0)， ( ) = 2 ( 为自然对数的底数)，有下列两个命题：
命题 ： ( )和 ( )之间存在唯一的“隔离直线” = 2 ；
命题 ： ( )和 ( )之间存在“隔离直线”，且 的最小值为 1．
则下列说法正确的是( )
A.命题 、命题 都是真命题 B.命题 为真命题，命题 为假命题
C.命题 为假命题，命题 为真命题 D.命题 、命题 都是假命题
二、填空题：本题共 12 小题，共 60 分。
5.某人抛硬币 100 次，其中 10 次正面向上，则正面向上的经验概率为______．
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6.已知事件 与事件 互斥，如果 ( ) = 0.4， ( ) = 0.3，那么 ( ∪ ) = ______．

7 ( ) = → 0 (2+ ) (2).已知函数 ，则 = ______．
8.若在(1 + )5的展开式中 3的系数为 80，则 = ______．
9.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，且满足关系式 ( ) = 3 ′(1) + ，则 ′(1) = ______．
10.已知(1 + )6的二项展开式中系数最大的项为______．
11.甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为 0.8，0.5，已知两人的投中互为独立事件，则两人
中至少有一个人投中的概率为______．
12.有编号分别为 1、2、3、4 的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，则恰有一个空盒子的放法数
为______．
13.已知函数 ( ) = + 2 在区间(1,2)上不单调，则实数 的取值范围为______．
14.甲、乙两人玩猜字游戏，先由甲在心中任想一个数，记为 ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数
字记为 ，且 、 ∈ {1,2,3,4,5,6}，若| | ≤ 1，则称甲、乙“心有灵犀”，现甲、乙玩此游戏，得出他们
“心有灵犀”的概率为______．
15.我们知道： = 1 1 + 1，相当于从两个不同的角度考察组合数：①从 个不同的元素中选出 个元
素并成一组的选法种数是 ；②对 个元素中的某个元素 ，若 必选，有 1 1种选法，若 不选，有 1
种选法，两者结果相同，从而得到上述等式，试根据上述思想化简下列式子： 0 + 1 1 2 2 + + +
= ______(1 ≤ < ≤ , , ∈ )．
16.若( 2 + )ln 1 ≤
2 3 2
3 + (1 ) 2 + 恒成立，求 2 的最小值为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
现有 5 名男生 4 名女生站成一排，求：
(1)女生都不相邻有多少种排法；
(2)男生甲、乙、丙排序一定(只考虑位置的前后顺序)，有多少种排法；
(3)男甲不在首位，男乙不在末位的概率．
18.(本小题 14 分)
已知二项式( 2 + 2 1 ) ( ∈ , > 0)的展开式中，第 4 项的系数与倒数第 4 项的系数之比为2．
(1)求所有项系数和与二项式系数和；
(2)将展开式中所有项重新排列，求有理数不相邻的概率．
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19.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 (1 ) ( 为实数)．
(1)若 ( )在 = 1 处有极值，求 ( )的单调递减区间；
(2)若 ( )在[ 3, 2]上是增函数，求 的取值范围．
20.(本小题 14 分)
一盒子中有大小与质地均相同的 20 个小球，其中白球 (3 ≤ ≤ 13)个，其余为黑球．
(1)当盒中的白球数 = 6 时有放回地依次取出 3 个球，求恰有一次取到黑球的概率．
(2)当盒中的白球数 = 6 时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用 表示事件”第一次取到白球”，
用 表示事件“第二次取到白球”，求 ( )与 ( )，并判断事件 与 是否独立．
(3)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取 10 个球，若其中恰有 3 个白球，则获奖，
否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量 ．
21.(本小题 14 分)
1
已知函数 ( ) = ， ( ) = 22 + 1( 为常数)．
(1)函数 ( )的图象在点(1, (1))处的切线与函数 ( )的图象相切，求实数 的值；
(2)若 = 0， ( ) = ( ) ( )， 1、 2∈[1,2]使得 ( 1) ( 2) ≥ 成立，求满足上述条件的最大整数 ；
(3)当 ≥ 2 时，若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数 1， 2，都有| ( 1) ( 2)| > | ( 1) ( 2)|
成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.0.1
6.0.3
7.12
8. 2
9. 12
10.20 3
11.0.9
12.144
13.( 12 , 1)
14.49
15. +
16. 53
17.解：已知现有 5 名男生 4 名女生站成一排，
(1)先排 5 名男生，再在每个排列形成的 6 个间隙中插入 4 个女生，
所以女生都不相邻的排法种数为 5 45 6 = 120 × 360 = 43200．
(2)9 人的全排列种数为 99，其中男生甲、乙、丙的排列种数为 33，
而男生甲、乙、丙排序一定，即男生甲、乙、丙的排列只有 1 种，
9
所以所求排列种数为 93 = 60480． 3
(3)9 人的全排列种数为 99，其中男甲在首位的排列种数为 88，男乙在末位的排列种数为 88，
男甲在首位且男乙在末位的排列种数为 77，
2 8 7 15 19
所以男甲不在首位，男乙不在末位的概率为 1 8 79 = 1 = ． 9 72 24
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2 4 5 18.解：(1)二项式( 2 + )
( ∈ , > 0)展开式的通项公式为： +1 = ( 2) (
2
) = 2 2 ， =
0，1，2， ， ，
23 3 23
由题意， 6
1
2 3 3 = 2 3 = 2 = 2，解得 = 7，
令 = 1 2，则所有项系数和为(12 + 1 )
7 = 37 = 2187，二项式系数和为27 = 128；
28 5
(2)由(1)知，二项式展开式的通项公式为 +1 = 2 7 2 ， = 0，1，2， ，7，
28 5
当 = 0，2，4，6 时， +1 = 2 7 2 为有理项，
4 4 1
所以由插空法得有理项不相邻的概率为： = 4 5 = ．
88 14
19.解：(1) ( ) = 2 + 2 (1 )的定义域为( ∞,1)，
2
又 ′( ) = 2 1 ，
所以 ′( 1) = 2 1 = 0 1，解得 = 2；
2
此时， ′( ) = 2 2 ( 2)( +1)1 = 1 = 1 ，
因为 < 1，令 ′( ) < 0，得 1 < < 1，
所以 ( )的单调递减区间为( 1,1)；
(2)依题意， ′( ) ≥ 0 且不恒为 0 对 ∈ [ 3, 2] 2 2恒成立，∴ 2 1 ≥ 0，即 2 ≥ 1 ，
1
即 ≤ (1 ) ，
∵ (1 ) = 2 + = ( 1 2 12 ) + 4在[ 3, 2]上单调递增，
∴ (1 ) 的最大值为 ( 2 1 )22 +
1
4 = 6，
∴ 1 1(1 ) 的最小值为 6，
∴ ≤ 16，即 ∈ ( ∞,
1
6 ].
20.解：一盒子中有大小与质地均相同的 20 个小球，其中白球 (3 ≤ ≤ 13)个，其余为黑球，
(1) 6 3 14 7有放回的抽取，每次抽取到白球的概率为20 = 10，取到黑球的概率为20 = 10，
3 7 189由 次独立重复试验知，恰有一次取到黑球的概率为 13 × ( 210 ) × 10 = 1000．
(2)当盒中的白球数 = 6 时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，
用 表示事件”第一次取到白球”，用 表示事件“第二次取到白球”，
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当 = 6 时，盒中有 6 个白球，14 个黑球，
( ) = 6 320 = 10， ( | ) =
5
19，

( | ) = 619， ( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | )
= 310 ×
5
19 +
7 6 3
10 × 19 = 10，
则 ( | ) ≠ ( )，所以事件 与 相互不独立．
(3) 20
3 7
从 个球中取 10 个球，恰有 3 个白球的概率 = 20 ，
1020
设 ( ) = 3 7 20 ，
( +1) 3
( +1)! (19 )!
+1
7
3 ≤ ≤ 12 = 19 = 3!( 2)!
7!(12 )! 2+12 +13
当 时， ( ) 3 7 ! (20 )!
=
20
2+22 40，
3!( 3)! 7!(13 )!
2 + 12 + 13 ( 2 + 22 40) = 53 10 ，
当 3 ≤ ≤ 5 时， ( + 1) > ( )，
当 6 ≤ ≤ 12 时， ( + 1) < ( )，
因此 (3) < (4) < (5) < (6) > (7) > > (13)，
而 (3) = 7 6 313 = 13 > 13 = (13)，
则 ( ) = (6)， ( ) = (13)，
所以当 = 6 时，参与者获奖的可能性最大；当 = 13 时，参与者获奖的可能性最小．
21.解：(1) ∵ ( ) = ，
∴ ′( ) = 1 ， ′(1) = 1，
∴函数 ( )的图象在点(1, (1))处的切线方程为 = 1，
= 1
∵直线 = 1 与函数 ( )的图象相切，由 = 1 2 + 1 消去 得
2 2( + 1) + 4 = 0，
2
则△= 4( + 1)2 16 = 0，解得 = 1 或 3，
(2)当 = 0 时，
∵ ( ) = ( ) ( ) = 12
2 1 ( ∈ [1,2])，
∴ ( ) = 1 = (1 )(1+ )′ ，
当 ∈ (1,2]时， ′( ) < 0，
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∴在[1,2]上单调递减，
( ) = (1) =
3
2， ( ) = (2) = 2 3，
则[ ( 1) ( 2)] = ( )
3
( ) = 2 2，
∴ ≤ 32 2 < 1，故满足条件的最大整数是 = 0．
(3)不妨设 1 > 2，
∵函数 ( ) = 在区间[1,2]上是增函数，
∴ ( 1) > ( 2)，
∵函数 ( )图象的对称轴为 = ，且 ≥ 2，
∴函数 ( )在区间[1,2]上是减函数，
∴ ( 1) < ( 2)，
∴ | ( 1) ( 2)| > | ( 1) ( 2)|等价于 ( 1) ( 2) > ( 2) ( 1)，
即 ( 1) + ( 1) > ( 2) + ( 2)，
等价于 ( ) = ( ) + ( ) = + 12
2 + 1 在区间[1,2]上是增函数，
( ) = 1等价于 ′ + + ≥ 0 在区间[1,2]上恒成立，
等价于 ≤ + 1 在区间[1,2]上恒成立，
∴ ≤ 2，又 ≥ 2，
∴ = 2．
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