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2024-2025学年福建省厦门市、泉州市五校高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，且，则( )
A. B. C. D.
2.二项式的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
3.如图，一套俄罗斯套娃由个大小各不相同套娃组成，将这个套娃放置在一个上下两层的展示架上，上层放置个，下层放置个，且要求每层的套娃左边都比右边的大，则不同的放置方法共有( )
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
4.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量满足，，，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.甲、乙、丙三名射击运动员进行射击训练已知甲、乙、丙的枪中分别装有、、发子弹每次随机选一人射击，直到所有子弹射完为止则不同的射击顺序有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知函数有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数与的图象上存在关于对称的点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式，则( )
A. 展开式中的系数为 B. 展开式中二项式系数最大的项是第项
C. 展开式中各项系数之和为 D. 展开式中系数最大的项是第项或第项
10.某生物制药企业使用两条生产线生产同一种疫苗第条生产线的疫苗效价不达标的概率为，第条生产线的疫苗效价不达标的概率为，生产后的疫苗混放在一起已知第、条生产线生产的疫苗数分别占总数的，记“任取一份疫苗是由第条生产线生产”为事件，“任取一份疫苗效价不达标”为事件，则( )
A. B. C. D.
11.某数学研究小组在研究函数时得出以下几个结论，则正确的有( )
A. 当时，恒成立
B. 过原点且与曲线相切的直线有且仅有条
C. 若有个零点，，，且，则
D. 若，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.银行卡的密码由位数字组成某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字如果记得密码的最后一位数字是奇数，则连续次都没按对的概率为______．
13.现有甲、乙等人需在五一假期值班天，每天至少有人值班，且每人只值班天若要求甲、乙在同一天值班，则不同的安排方案有______种用数字作答
14.已知对任意，不等式恒成立，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
某同学参加投篮比赛比赛规则如下：先后在两个不同位置投篮其中第一次投篮投进得分，投不进得分，第二次投篮投进得分，投不进得分，两次投篮的总得分不低于分就能获奖已知这位同学在第一个位置投篮投进的概率是，在第二个位置投篮投进的概率为，每次投篮是否投进相互之间没有影响．
求至少投进一个球的概率；
Ⅱ求这位同学两次投篮的总得分的分布列、期望及方差；
Ⅲ求这位同学能获奖的概率．
17.本小题分
已知函数，．
若为的极值点，求的单调区间和最小值；
Ⅱ是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
在量子通信中，通过发送和接收光子实现信息的传递光子可制备为“”和“”两种偏振态发送器和接收器独立选择测量基，基的匹配规则如下：当发送器与接收器的测量基相同时，接收器可准确测得光子的偏振态当基不同时，接收器测量结果完全随机即测得“”或“”光子的概率均为现发射器使用基，从两个“”、两个“”光子中随机选取两个依次发送接收器每次随机地以或基测量，每次发送和接收相互独立．
求发射器第一次发送“”光子的条件下，第二次发送“”光子的概率；
Ⅱ求接收器测量到两个“”光子的概率；
Ⅲ已知接收器测量到两个“”光子，求发送器正好也是发送两个“”光子的概率．
19.本小题分
已知函数．
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
Ⅱ若，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ由题意知，，即切点为，
由已知，
则，
曲线在点处的切线方程为，即．
Ⅱ，得或．
在，，单调递增．
在，，单调递减，
的极小值点为，，
因为，，故在区间上的最大值为，最小值为．
16.解：Ⅰ设“至少投进一个球”为事件，则；
Ⅱ这位同学投篮三次的总得分的所有可能取值为，，，，
，
则随机变量的分布列为：


，
，
；
Ⅲ设“这位同学获奖”为事件，
由题意可知这位同学没有获奖的概率为，
则，故获奖的概率为．
17.解：Ⅰ已知函数，，
则，
因为是极值点，所以，即，解得，
此时，
在，，单调递减，
在，，单调递增，
；
Ⅱ，令，得，即，
若，则，
在，，单调递减，，
令，解得，矛盾；
若，，在单调递减，在单调递增，
，令，解得；
综上，存在，使得的最小值为．
18.解：Ⅰ设事件“发射器第一次发送偏振态的光子”，事件“第二次发送偏振态的光子”，
则，，
由条件概率公式，；
Ⅱ设事件“接收器测量到两个偏振态光子”，
事件“发射器先后发射了，光子”，事件“发射器先后发射了，光子”，事件“发射器先后发射了，光子”，
事件“发射器先后发射了，光子”，事件“发射器使用基发送偏振态光子时接收器测量结果为”，
事件发射器使用基发送偏振态光子时接收器测量结果为”，
则，，，，，
则，，，
，
由全概率公式，得；
Ⅲ．
19.解：Ⅰ，，
令，则，则在上恒成立，仅在时取等号，
所以在上单调递增，即在上单调递增．
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，符合题意；
当时，．
令，则，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以．
所以，又在上单调递增，
所以，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
Ⅱ证明：由得，当，时，，即，
要证不等式，只需证明，
只需证明，即只需证，
，
则，
当时，恒成立，故F在上单调递增，
又，所以恒成立，所以原不等式成立．
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