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2024-2025学年上海实验学校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.现有以下两项调查：从台刚出厂的大型挖掘机中抽取台进行质量检测；在某校名学生中，型、型、型和型血的学生依次有，，，人为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为的样本完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是( )
A. 都采用简单随机抽样
B. 都采用分层随机抽样
C. 采用简单随机抽样，采用分层随机抽样
D. 采用分层随机抽样，采用简单随机抽样
2.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A. 恰好有一个白球与都是红球 B. 至多有一个白球与都是红球
C. 至多有一个白球与都是白球 D. 至多有一个白球与至多一个红球
3.已知的两条渐近线与直线围成三角形区域，那么，表示该区域的不等式组是( )
A. B. C. D.
4.有个盲盒，其中有个内有奖品若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方知道盲盒内部是否有奖品打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有( )
A. B.
C. D. 无法确定与的大小关系
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
5.若事件与互斥，且，，则 ______．
6.某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第百分位数是______．
7.上海市实验学校为了组织体育节，从高二年级挑选名志愿者完成项工作，每人至少完成项，每项工作由人完成，则不同的安排方式共有______种
8.在展开式中，的系数是______．
9.若双曲线的一条渐近线方程为，则______．
10.已知具有线性相关关系的两个变量、之间的一组数据如表：
若回归方程为，则 ______．
11.随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了的严重的影响现调查了某市名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到列联表如下，则 ______结果精确到
室外工作 室内工作 总计
有呼吸系统疾病
无呼吸系统疾病
总计
12.设随机变量的分布列如下：
；
当时，；
若为等差数列，则；
的通项公式可能为．
其由所有正确命题的序号是______．
13.上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：若军营所在区域为：；若军营所在区域为：；试问军营在两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为______．
14.上海市实验学校举办盛大体育节，高二班组成篮球队参赛，为了取得优异比赛成绩，篮球队有名队员做传球训练第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第次传球后篮球在队员甲手中的概率为______．
三、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一个盒子里装有标号为，，，的张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张．
若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率；
若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率．
16.本小题分
已知椭圆的长轴长为，离心率为直线与椭圆有两个不同的交点、．
求椭圆的方程；
若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点与不重合在椭圆上，求的值．
17.本小题分
某高校承办了年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
求、的值，并估计这名候选者面试成绩的平均数；
在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取人，然后再从这人中选出人，求选出的两个来自同一组概率．
18.本小题分
某市中学体育节开展趣味运动比赛，其中、两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得分，失败者不得分，其中累计得分领先对方分即可赢得最终胜利，或者局比赛结束积分领先赢得最终胜利假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．
求趣味比赛班以比赢得最终胜利的概率；
此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望．
19.本小题分
马尔可夫链是因俄国数学家安德烈马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
记该同学第天选择米饭套餐的概率为，
证明：为等比数列；
当时，恒成立，求取值范围．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，双曲线对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体对任意直线，记，为与的两个交点，定义若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意直线，，均有，则称为“好点”求所有好点所构成的区域的面积．
参考答案
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15.解：标签的选取是无放回的，
则样本空间，，，，，，，，，，，，
其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共个基本事件，
所以两张标签上的数字为相邻整数的概率．
标签的选取是有放回的，
则样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，
其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共个基本事件，
所以两张标签上的数字为相邻整数的概率．
16.解：因为椭圆的长轴长为，
所以，
解得，
因为椭圆的离心率为，
所以，
所以，
又，
则椭圆的标准方程为；
由题意得关于直线：的对称点，
因为点在椭圆上，
所以，
整理得，
解得或，
当时，，
此时点与点重合，不符合题意．
所以．
17.解：因为第三、四、五组的频率之和为，
所以，
解得，
所以前两组的频率之和为，
即，所以；
平均数为，
第四、第五两组志愿者分别有人，人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为，分别设为，，，，第五组志愿者人数为，设为，
这人中选出人，所有情况有种情况，分别为：
，，，，，，，，，
其中选出的两人来自同一组的有：
，，，，，，共种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为．
18.解：记事件“班以比赢得最终胜利“，
则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜时，此时班以比赢得最终胜利，
因此；
根据题意可得的可能取值为，，，
当时，即班前两局获胜，或者班前两局获胜，
则．
当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜，或者第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜，；
当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局、两个班级各胜一局，
则；
所以的分布为：
所以的数学期望为．
19.解：设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择米饭套餐”，
那么为“第天不选择米饭套餐”，
根据题意可得，
根据全概率公式可得：．
证明：设为“第天选择米饭套餐”，那么，
根据题意可得，
根据全概率公式可得：
，
所以，又因为，
因此数列是以为公比，为首项的等比数列．
根据可得，
当为正偶数时，，
当为大于的奇数时，，
所以当时，，所以．
20.解：根据题目：平面直角坐标系中，双曲线对平面内不在上的任意一点，
记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记，为与的两个交点，
定义若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，
且对任意直线，，均有，则称为“好点”．
设为好点，考虑，需满足的充要条件．
对任意直线，设的倾斜角为，
则的参数方程可写为
将代入的方程，
有两个不同的实数解，，这等价于，
且判别式．
化简得
当的倾斜角满足时，由中参数的几何意义及的定义，
可知，．
当与交于轴异侧两点时，由双曲线的性质知．
此时，显然满足，且．
当且仅当时，取到最小值，这里直线：．
当与交于轴同侧两点时，要求满足且．
根据题意，对任意这样的，均有，
所以，等价于．
换言之，，需满足：对任意，都不成立，
所以对任意，均有
在中令，分别得，
由此可知．
反之，当时，注意到当时有，
故
，所以成立．
因此，为好点当且仅当即．
第1页，共1页

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