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2024-2025 学年重庆市万州第二高级中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.若复数 = 1+ ，则| | =( )
A. 2 B. 2 C. 10 D. 10
2.已知平面向量 = (1,3)， = (2, 1)，若 ⊥ ( + )，则实数 的值为( )
A. 10 B. 8 C. 5 D. 3
3.用斜二测画法画水平放置的△ 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形 ′ ′ ′.已知点 ′是斜
边 ′ ′的中点，且 ′ ′ = 2，则△ 的面积为( )
A. 4 2 B. 8 2 C. 2 2 D. 6 2
4.下列说法正确的是( )
A.若空间四点共面，则其中必有三点共线
B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面
C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面
D.若空间四点不共面，则任意三点不共线
5.在梯形 中， // ， ⊥ ，| | = 2，| | = 2| |.若点 在线段 上，则| + 4 |的最小
值是( )
A. 72 B. 4 C. 8 D.
9
2
6.如图，已知圆台形水杯盛有水(不计厚度)，杯口的半径为 4，杯底的半径为 3，高为 6.5，
当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为 的球(球被完全
浸没)，水恰好充满水杯，则 =( )
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 3.25
7.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2，点 在正方体的内切球表面上运动，且满足 1 //平面 1 1，
则 的最小值为( )
A. 63 B.
3
3 C.
3 6
2 D. 6
8.在锐角△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为△ 的面积，且 3 = 2 ( )2，则 的取
值范围为( )
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A. ( 7 , 25 ) B. ( 725 7 25 , + ∞) C. (
24 25 24
25 , 24 ) D. ( 25 , + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 1， 2均为复数，且 2 ≠ 0，则下列结论正确的是( )

A.若 1 2 = 0，则 1 = 0 B.若 1 = 2，则 1 + 2是实数
C.若 21 < 0，则 1是纯虚数 D.若 3 = 31 2，则 1 = 2
10.在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，其外接圆半径为 ，内切圆半径为 = 2，满足 +
+ = 2，△ 的面积 △ = 6，则( )
A. + + = 6 B. 2 + 2 + 2 = 12
C. + + = 24 D. = 2 6
11.如图 1，扇形 的弧长为 24 ，半径为 12 2，线段 上有一动点 ，弧 上一点 是弧的三等分点，
现将该扇形卷成以 为顶点的圆锥，使得 和 重合，则在图 2 的圆锥中( )
A.圆锥的表面积为 144(1 + 2)
B.当 为 中点时，线段 的长为 11 2
C.存在 ，使得 ⊥
D. = 3 30
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 3.已知向量 与 的夹角为4 ，且| | = 2，|
| = 2，则 在 上的投影向量为______．
13.18 世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、
1
球、台等几何体 的统一体积公式 = 6 ( + 4 + )(其中 ， ， ， 分别为
的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高)，我们也称为“万能求积公式”.
1 4
例如，已知球的半径为 ，可得该球的体积为 = 6 × 2 (0 + 4 ×
2 + 0) = 3
3
1 1
已知正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，可得该正四棱锥的体积为 = 6 × [0 + 4 × ( )
2
2 +
2] = 23 .类似
地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球 的表面积为 36 2，若用距离球心 都为 2 的两个平行
平面去截球 ，则夹在这两个平行平面之间的几何体 的体积为 3．
14.锐角△ 的内角所对边分别是 ， ， 且 = 1， = 1，若 ， 变化时，4 2 2
存在最大值，则正数 的取值范围______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知向量| | = 10，| | = 5， ⊥ ( 12 +
)．
(1)求向量 与 的夹角 的大小；
(2)若向量 = + ， = 2 ( ∈ )，当| |取得最小值时，求| + |．
16.(本小题 15 分)
如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 3，点 在棱 1上，点 在棱 1上，点 在棱 1上，且 = 1 =
1 = 1，点 是棱 1 1中点．
(1)求证： ， ， ， 四点共面；
(2)求证：平面 1 //平面 1F.
17.(本小题 15 分)
已知 ， ， 分别是△ 对边，且2 = sin(

6 ).点 为三角形内部一点，且满足∠ = ∠ =
∠ = 120°．
(1)求角 ；
(2)若 2 ( )2 = 8，求 + + 的值．
18.(本小题 17 分)
现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥 1 1 1 1，下部是正四棱柱 1 1 1 1(如
图所示)，且正四棱柱的高 1 是正四棱锥的高 1的 4 倍．
(1)若 = 6， 1 = 2，求该几何体的体积．
(2)若正四棱锥的侧棱长为 6， 1 = 2．
( )求正四棱锥 1 1 1 1的侧面积．
( )若 ， 分别是线段 1 1， 1上的动点，求 + + 1的最小值．
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19.(本小题 17 分)
在△ 中，∠ ，∠ ，∠ 对应的边分别为 ， ， ，2 = 3(sin2 + sin2 sin2 )．
(1)求 ；
(2)若 为 边中点， = 3，求 的最大值；
(3)奥古斯丁 路易斯 柯西( , 1789 年 1857 年)，法国著名数学家，柯西在数学领域有
非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等
式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在(1)的条件下，若 = 2， 是△ 内一点，过
2 2 2
作 ， ， 垂线，垂足分别为 ， ， ，借助于三维分式型柯西不等式： 1， 2， 3 ∈ +

， 1 +
2
+
3 ≥
1 2 3
( 1+ 2+ 3)2 | | 9| | | |
+ + ，当且仅当
1
=
2
=
3
时等号成立.求 =1 2 3 1 2 3 | |
+ | | + | |的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.92 3
14.(0, 4 33 )
15.解：(1)因为 ⊥ ( 12 + )，| | = 10，| | = 5，
1
所以 ( 2 +
) = 0，即 = 1 22 = 5，

所以 = =
5 2
10× 5 = 2 ，又 ∈ [0, ]，| | | |
= 所以 4；
(2)因为向量 = + ， = 2 ( ∈ )，| | = 10，| | = 5， = 5，
则 = (1 ) + ( + 2) ，
2
所以| |2 = [(1 ) + (2 + ) ]2 = (1 )2 2 + (2 + )2 + 2(1 )(2 + )
= 10(1 )2 + 5(2 + )2 + 10(1 )(2 + )
= 5 2 10 + 50 = 5( 1)2 + 45 ≥ 45，
所以当 = 1 时，| |取得最小值，
此时 + = 2 ，
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所以| + |2 = |2 |2 = 4 2 +
2
4 = 25，
所以| + | = 5．
16.证明：(1)根据题意可知，正方体 1 1 1 1的棱长为 3，
点 在棱 1上，点 在棱 1上，点 在棱 1上，且 = 1 = 1 = 1，点 是棱 1 1中点，
如图：在 1上取一点 使得 = 1，
连接 ， ，则 = = 1， = 1 = 2，又因为 // 1，
所以四边形 1 是平行四边形，所以 1 // ，
同理四边形 是平行四边形，所以 // ，且 = ，
又 // ，且 = ，所以 // ， = ，所以四边形 是平行四边形，
所以 // ，所以 1 // ，所以 ， ， ， 1四点共面；
2
(2)因为 是 1
3
1的中点，所以 1 =
1 =
2，因为 1 = 1，所以 ，1 3
2
因为 = 3，且∠ = ∠ 1 = 90°，所以△ 1 ∽△ ，
所以∠ 1 = ∠ = ∠ ，所以 // ，
因为 1 = = 2， 1 // ，所以四边形 1 为平行四边形，所以 1 // ，
因为 ∩ 1 = ， 平面 1 ， 1 平面 1 ，
∩ = ， 平面 1 ， 平面 1 ，
所以平面 1 //平面 1F.
17. (1) 3 1解： 由2 = sin( 6 ) = 2 2 ，
可得 = 3 ，
在三角形中， = cos( + ) = + ，
则有 3 = ，
因为 > 0，可得 = 3，
由 ∈ (0, ) ，可得 = 3；
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(2)由 2 ( )2 = 8，可得 2 + 2 2 = 2 8，
由余弦定理，可得 2 + 2 2 = 2 = ，
所以 2 8 = ，解得 = 8，
设| | = ，| | = ，| | = ，
由题意∠ = ∠ = ∠ = 120°，
又 △ + △ + △ = △ ，
1 3 + 1 3 + 1 3 = 1 = 1则有2 2 2 2 2 2 2 2 × 8 ×
3
2 ，
整理得 + + = 8，
所以 + +
= ( | | | + | | | | + | | | |) 120°
= 12 ( + + ) =
1
2 × 8 = 4．
18.解：(1)由条件可知，正四棱柱的高 1 = 8，
所以正四棱柱的体积为 6 × 6 × 8 = 288，
1
三棱锥 1 1 1 1的体积为3 × 6 × 6 × 2 = 24，
所以该几何体的体积为 288 + 24 = 312；
(2)( ) 1 = 62 221 = 4 2，
所以 1 1 = 4 2 × 2 = 8，
正四棱锥 1 1 1 1侧面的高为 62 42 = 2 5，
所以正四棱锥的侧面积为 4 × 12 × 8 × 2 5 = 32 5；
( )如图，将长方形 1 1，△ 1 1和△ 1 1展开在一个平面，
1 = 1 = 1 = 6， 1 1 = 1 1 = 8，
设∠ 1 1 = ，cos∠ 1 1 = cos∠ 1 1 = =
4
6 =
2
3， 1 1 = 1 = 8， 1 = 8 2，
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∠ 51 1 = 4，所以 = ，3
所以 2 = 2 = 2 × 5 × 2 = 4 5，3 3 9
2 = 1 2 2 = 1 2 × ( 5 23 ) =
1，
9
cos∠ 1 1 = cos( 4 + 2 ) = cos 4 2 sin

4 2 =
2+4 10，
18
当 ， ， ， 1四点共线时， + + 1最短，
所以 1 = 21 + 21 1 2
8
1 1 1 cos∠ 1 = 3 29 + 8 5，
+ + 8所以 1的最小值为3 29 + 8 5．
2 2 2
19.解：(1)由正弦定理可得 2 = 3( 2 + 2 2) + 12 = 3 = ，
= 3 ，因为 ∈ (0, )，所以 = 3；
(2)
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，即 3 = 2 + 2 ，
所以 2 + 2 = 3 + ≥ 2 ，当且仅当 = 时取等号，所以 ≤ 3，
当且仅当 = = 3 1时取等号，因为 为 边中点，所以 = ( + 2 )，
所以
2
= 1 ( +
2 2
4 )
2 = 1 4 ( + 2
+ ) = 14 (
2 + + 2) = 14 (3 + 2 ) ≤
9
4，
所以| | ≤ 3 32，当且仅当 = = 3时取等号，所以 的最大值为2；
(3) = | | + 4| | + | |
2 4 2 2 ( + +4)2 2( + +4)2
因为 | | | | | | = | |+ | |+ | | ≥ 2 =△ 3
，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，可知 2 + 2 4 = ，
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2
所以( + )2 2 4 = ，所以 3 = ( + )2 4 = ( + ) 43 ，
( + +4)2
所以 ≥ 2 3 ( + )2 4，令 = + + 4，则 + = 4，
2 2
≥ 2 3 ( + +4) 12( + )2 4 = 2 3. 4 = 2 3 12 8
，
2 +1
= ( + )
2 4 ≤ ( + )2 = ( + )
2
又 3 2 4 + ≤ 4，当且仅当 = 时取等号，
因为 + > ，所以 2 < + ≤ 4，所以 6 < ≤ 8 1 1 1，所以8 ≤ < 6，
令 = 1 = 1 1 ≤ 1 < 112 8 ，显然 在 单调递增， +1 12(1 1)2 1 8 6
2 3 3
1
当 =
1
8时，
32 3
取得最小值，此时 取得最小值 3 ，当且仅当 = = 2 时取等号．
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