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2024-2025 学年江苏省常州市溧阳中学、常州高级中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 是实数，已知 = (2,2 1,1)， = (4,3 5,2)，若 // ，则 的值为( )
A. 6 B. 3 C. 3 D. 6
2 1.曲线 = 2 + 在点(1,2)处的切线方程为( )
A. = + 1 B. = 3 1 C. = + 3 D. = 3 5
3.在三棱柱 1 1 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠ 1 = ∠ 1 = 60°，则异面直线 1与 1
所成角的正弦值为( )
A. 2 B. 3 C. 66 6 6 D.
30
6
4.盒中有 5 个红球，3 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球 2 个，再从盒
中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是( )
A. 3 3 3 110 B. 7 C. 8 D. 2
5.在空间直角坐标系 中，定义：经过点 ( 0, 0, 0)且一个方向向量为 = ( , , )( ≠ 0)的直线 的

方程为 0 = 0 = 0 ，经过点 ( 0, 0, 0)且法向量为 = ( , , )的平面的方程为 ( 0) + (
0) + ( 0) = 0.已知在空间直角坐标系 中，经过点 (1,0,2)的直线 的方程为 1 =

3 = 2 1，经
过点 的平面 的方程为 3 + + 2 7 = 0，则直线 与平面 所成角的正弦值为( )
A. 2 B. 3 5 C. 14 357 7 7 D. 7
6 2 3 5.若2 + 2 = 3 + 3 = 5 + 5 ，则( )
A. 2 > 3 > 5 B. 5 > 3 > 2
C. 2 > 5 > 3 D. 5 > 2 > 3
7.已知动点 是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1的对角线 1上一点，记 = ，当∠ 为钝角时， 1
的取值范围为( )
A. (0, 13 ) B. (
1
3 , 1) C. (0,
2 2
3 ) D. ( 3 , 1)
8.对于任意正实数 ， ，都有(2 )( ) 2 ≤ 0，则实数 的取值范围为( )
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A. (0, 12 ] B. [
1
2 , + ∞) C. ( ∞,
1
2 ] D. [
1
2 , 1]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是( )
A.任意向量 , , 满足( ) = ( )
B.若对空间中任意一点 ，有 = 1 + 1 + 1 6 3 2 ，则 ， ， ， 四点共面
C.已知{ , , }是空间的一组基底，若 = + ，则{ , , }也是空间的一组基底
D.已知 为平面 的一个法向量， 为一条直线， 为直线 的方向向量，则“ ⊥ ”是“ // ”的充要条件
10 2 3 1.对于随机事件 ， ，若 ( ) = 5， ( ) = 5， ( | ) = 4，则( )

A. ( ) = 3 1 9 120 B. ( | ) = 6 C. ( + ) = 10 D. ( ) = 2
11.已知函数 ( ) = 3 3 2 1，则下列命题正确的是( )
A. 1 是 ( )的极大值
B.当 1 < < 0 时， ( 1) > ( )
C.当 > 2 时， ( )有且仅有一个零点 0，且 0 > 2
D.若 ( )存在极小值点 1，且 ( 1) = ( 2)，其中 1 ≠ 2，则 1 + 2 2 = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 服从两点分布，且 ( = 1) = 0.3，设 = 2 1，那么 ( = 1) = ______．
13.在矩形 中， = 3， = 4， ⊥平面 ， = 3，则平面 与平面 的夹角的正切
值为______．
14.若对任意的实数 ，函数 ( ) = ( )3 + ( )3 在 上是增函数，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知空间四点 (0,2,3)， (2, 2, 1)， (1,4,3)， ( 1,3, )．
(1)求以 ， 为邻边的平行四边形面积；
(2)若 、 、 、 四点共面，求 的值．
16.(本小题 15 分)
盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面
是黑色．
(1)随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，假设展示的这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也
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是红色的概率是多少？
(2)随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，放回后，再随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色.
两次展示的颜色中，黑色的次数记为 ，求随机变量 的分布和数学期望．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + 2 + (其中 ， 为常数)在 = 1 处取得极值．
(1)当 = 1 时，求 ( )的极值；
(2)若 ( )在[1, ]上的最大值为 2，求 的值．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， = ， = 2， = = = 4.点 在棱
上且与 ， 不重合，平面 交棱 于点 ．
(1)求证： / / ；
(2)若 为棱 的中点，求二面角 的正弦值；
(3)记点 ， 到平面 的距离分别为 1， 2，求 2 21 + 2的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ， ∈ ，其中 是自然对数的底数．
(1)当 = 1 时，求 ( ) = ( ) + sin2 在[0, ]上的值域；
(2)当 0 < ≤ 1 时，讨论 ( )的零点个数；
(3)当 ≥ 1 时，证明： ( ) > ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.7
13.5 312
14.{ | ≤ 32 }
15.解：(1) (0,2,3)， (2, 2, 1)， (1,4,3)，
则 = (2, 4, 4)， = (1,2,0)，
= 2 × 1 + ( 4) × 2 + ( 4) × 0 = 6，
又| | = 12 + 22 + 02 = 5，| | = 22 + ( 4)2 + ( 4)2 = 6，

∴ cos , =
= 6 = 5 ，| | | | 6× 5 5
∴ sin , = 1 cos2 , = 2 55 ；
∴四边形 的面积为 = | || |sin , = 5 × 6 × 2 55 = 12．
∴以 ， 为邻边的平行四边形 的面积为 12．
(2)由题意，得 = ( 1,1, 3)，
∵ 、 、 、 四点共面；
∴存在唯一一对实数 ， 使得 = + ；
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1 = 2 +
∴ 1 = 4 + 2 3 1 9，解得： = 8 , = 4 , = 2，
3 = 4
∴ 9的值为2．
16.解：(1)记“展示的一面颜色是红色”为事件 ，“剩下一面的颜色也是红色”为事件 ，
因为盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色
一面是黑色，
可得 ( ) = 1 13 + 3 ×
1
2 =
1
2， ( ) =
1
3，
1
所以 ( | ) = ( ) 3 2 ( ) = 1 = 3；
2
(2) 1若随机抽出一张卡片，颜色是黑色的概率为 1 ( ) = 2，
可得 的所有可能取值范围为 0，1，2，
此时 ( = 0) = ( 1 )2 = 1 1 1 2 12 4， ( = 1) = 2( 2 ) = 2， ( = 2) =
1
4，
所以 的分布列为：
0 1 2
1 1 1
4 2 4
则 ( ) = 0 × 14 + 1 ×
1
4 + 2 ×
1
4 = 1．
17.解：(1) ( ) = + 2 + ， ′( ) = 1 + 2 + ．
函数 ( ) = + 2 + 在 = 1 处取得极值，所以 ′(1) = 1 + 2 + = 0，
所以当 = 1 时， = 3，
则 ( ) = + 2 3 ， > 0，
1
2
′( ) = + 2 3 =
2 3 +1
=
(2 1)( 1)
，
1
由 ′( ) = 0，可得 = 2或 = 1，
′( )、 ( )随 的变化情况如下表：
1 1 1(0, ) ( , 1) 1 (1, + ∞)2 2 2
( ) + 0 0 +
( ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值单调递增
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所以 ( )的单调递增区间为(0, 12 )和(1, + ∞)
1
，单调递减区间为( 2 , 1)，
1 5
所以 ( )的极大值为 ( 2 ) = 2 4，极小值为 (1) = 2．
(2)由(1)可知 = (2 + 1)，则 ( ) = + 2 (2 + 1) ， ∈ [1, ]，
( ) = 1 + 2 (2 + 1) = 2
2 (2 +1) +1 = (2 1)( 1)所以 ′ ，
= 0 ( 1)当 时， ( ) = ， ′( ) = ，
则 ′( ) ≤ 0 在 ∈ [1, ]上恒成立，所以 ( )在[1, ]上单调递减，
此时 ( )的最大值为 (1) = 1，与题干矛盾，所以 ≠ 0，
令 ′( ) = 0，可得 1 = 1, =
1
2 2 ，
因为 ( )在 = 1 处取得极值，所以 = 1 12 2 ≠ 1 = 1，即 ≠ 2，
当 < 0 时，2 1 < 0， 1 ≥ 0，此时 ′( ) ≤ 0 在 ∈ [1, ]上恒成立，所以 ( )在[1, ]上单调递减，
此时 ( )的最大值为 (1) = (2 + 1) = 1 = 2，解得 = 3，符合题意；
当 > 0， = 12 2 > 0，
1
当2 < 1，即 >
1
2时，
′( ) ≥在 ∈ [1, ]上恒成立，所以 ( )在[1, ]上单调递增，
( ) ( ) = 1 + 2 (2 + 1) = 2 = +1 1此时 的最大值为 ，解得 2 2 > 2，符合题意；
当 12 = 2 ≥ ，即 0 < ≤
1
2 时， ( )在(1, )上单调递减，
所以 ( )的最大值为 (1) = 1 + (2 + 1) = 1 < 0，不符合题意；
当 1 < 1 1 12 < ，即2 < < 2时，
( )在(1, 1 ) ( 12 上单调递减，在 2 , )上单调递增，
所以 ( )的最大值为 { (1), (2)} = { 1,1 + 2 (2 + 1) } = 2，
1 < 0 1 + 2 (2 + 1) = 2 = +1 1因为 ，所以 ，解得 2 2 > 2，此时不满足题意．
综上， 的值为 3 +1或 2 2 ．
18.解：(1)证明：因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又 平面 ，平面 ∩平面 = ，
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所以 // ；
(2)如图：
取 中点 ，连接 ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
在四边形 中， / / ，且 = = 3，
所以四边形 为矩形，所以 ⊥平面 ，
又在△ 和△ 中， = = 4， = = 2， = ，
所以△ ≌△ ( )，
所以， ⊥ ，
故 DA， ， 两两垂直，所以以 为原点，建立如图空间直角坐标系，
当 为 中点时， (2,0,0)， (2,4,0)， ( 2,4,0)， (0,0,4)， (1,0,2)， (0,4,0)，
所以 = (0,4,0)， = (4,0,0)， = (1,4, 2)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
⊥ ( 1, 则 1
, 1) (0,4,0) = 0 1 = 0 ，取 = (2,0,1)，
⊥ ( 1, 1, 1) (1,4, 2) = 0 1 2 1 = 0
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
⊥ ( , , ) (4,0,0) = 0 则 2 2 2( , , ) (1,4, 2) = 0
2 = 0
2 = 0，取
= (0,1,2)，
⊥ 2 2 2 2 2
所以 cos , = 2| = | | | 5．
所以二面角 的正弦值为： 1 ( 25 )
2 = 21．5
(3)设 (0,0, )，(0 < < 4)，则 = (0,4, )， = (2,0, )， = (0,0,4 )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
⊥ ( , , ) (4,0,0) = 0 = 0则 ( , , ) (0,4, ) = 0
4 = 0，取 = (0, , 4)， ⊥
| =
| 4
则 到平面 的距离为： 1 |
= ，
| 2+16

| | 4(4 )到平面 的距离为： 2 = | = ，| 2+16
2 2 16[ 2+(4 )2] 2 2 8 +16 8( +2)所以 1 + 2 = 2 ，+16 = 16 × ( 2+16 ) = 16 × [2 2+16 ]
设 + 2 = ，
则 ∈ (2,6)，
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+2 1 1 5+1 20
那么 2+16 = ( 2)2+16 = 2 4 +20 = ≤ +20 4 4 5 4
= 16 (当且仅当 = ，即 = 2 5时取“=”)，
所以 2 2 5+1 3 51 + 2 ≥ 16(2 ) = 16( ．2 2 ) = 8(3 5)
19.解：(1)当 = 1 时， ( ) = + sin2 + 1， ′( ) = 1 + 2 ，
因为 1 ≤ 2 ≤ 1，
所以 ′( ) = 1 + 2 ≤ < 0，
所以 ( )在[0, ]上单调递减，
又 (0) = 0， ( ) = + 1，
所以 ( )在[0, ]上的值域为[ + 1,0]；
(2)因为 ( ) = (0 < ≤ 1)，
所以 ′( ) = 1，
令 ′( ) = 1 = 0，得 = ，
当 < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) ≥ ( ) = 1 + ，
当 = 1 时，1 + = 0，
则 ( ) ≥ 0，
所以 ( )在( ∞, + ∞)上有且仅有 1 个零点；
当 0 < < 1 时，
令 ( ) = 1 + (0 < < 1)，
则 ′( ) = 1 1 1 = > 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递增，
所以 ( ) < (1) = 0，
即 ( ) < 0，
又 (0) = 0，
所以 ( )在( ∞, )上有 1 个零点，
1
又 ( 2 ) = + 2 ，
1
令 ( ) = + 2 (0 < < 1)，
( 1)2
则 ′( ) = < 0，
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所以 ( )在(0,1)上单调递减，
所以 ( ) > (1) = 0，
所以 ( 2 ) > 0，
所以 ( )在( , 2 )上有一个零点．
综上所述， = 1 时， ( )有一个零点，0 < < 1 时， ( )有 2 个零点；
(3)证明：当 ≥ 1， > 0 时， ( ) = ( 1) ≥ 1 ，
设 ( ) = + 1，
当 0 < ≤ 1 时， ≥ 0， > 0，
又由(2)知 1 ≥ 0，
所以 ( ) > 0，
当 > 1 时， ′( ) = 2 + ，
设 ( ) = 2 + ，
则 ′( ) = 1 , ′( ) > 1 1 > 0，
所以 ( )在(1, + ∞)单调递增，
所以 ( ) > (1) = 2 + 1 > 0，
所以 ′( ) > 0，
即 ( )在(1, + ∞)单调递增，
所以 ( ) > (1) = 2 + 1 > 0，
综上， ( ) > 0，
即当 ≥ 1 时， ( ) > ，
即 > ( )．
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