资源简介

乐清市/瓯海区/永嘉县/苍南县
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2025 年九年级第二次学生素养检测（数学卷）
参考答案和评分标准
一、选择题（本题有 10小题，每小题 3分，共 30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错
选，均不给分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C D C A A C D
二、填空题（本题共 6小题，每小题 3分，共 18分）
11 2． 12． 1 x 6 13．AB=AC 3（或∠B=∠C，答案不唯一） 14． 15．2 2 16．2 10
5 4
三、解答题（本题有 8小题，共 72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（本题 8分）
解：原式 2 1 2 ··············································································（6分）
3 ······················································································ （2分）
18．（本题 8分）
解：（1）小明的解法：①错误； 小红的解法：②错误．·······················（2分）
4 a 2
原式= ························································（1分）
a 2 a 2 a 2 a 2
4 a 2
= ············································································（1分）
a 2 a 2
2 a
= ············································································（1分）
a 2 a 2
= 1 ······················································································（1分）
a 2
当 a 1时，原式= 1 = 1 = 1 ················································（2分）
a 2 1 2 3
19．（本题 8分）
4
解：（1）∵∠ACB=90°，AB=10，cosB= ，
5
∴ BC AB cosB 8．
在 Rt△ABC中， AC AB2 BC2 102 82 6．···················· （4分）
（2）∵DE垂直平分 AB，
∴AE=BE．
设 CE=x，则 AE=BE=8 x ,
在 Rt△ACE中， AE2 AC2 CE2 ,
∴ 8 x 2 62 7 x2 ，解得 x ，
4
7
∴tan∠CAE= CE 7 4 ．····················································（4分）
AC 6 24
20．（本题 8分）
5 6 7 7 8 8 8 9 10 10
解：（1）甲平均成绩： =7.8（环）···············（2分）
10
甲中位数：8环；甲众数：8环··················································（2分）
（平均成绩的计算过程、结果各一分，中位数、众数各一分）
（2）挑选甲，理由如下：
根据折线统计图的趋势看，甲状态持续上升；·······························（2分）
甲射击成绩方差小于乙射击成绩方差，说明甲比乙更稳定；············ （2分）
或挑选乙，理由如下：
乙射击成绩众数高于甲射击成绩，说明乙的高分成绩数量多；········· （2分）
乙方差虽大于甲方差，但 9 环及以上占比 50%，甲占比 30%，说明乙爆发力强，适合选拔
参与比赛。············································································ （2分）
（选甲与乙均可得满分，但至少需两个正确判断如上，每个判断 2分）
21．（本题 8分）
解：（1）由作图可知：OA=OB，OP=OQ，

∴∠OAB=∠OBA=180 O；
2

∠OPQ=∠OQP= 180 O，
2
∴∠OAB=∠OPQ，
∴PQ∥l．·············································································（4分）
（2）作图如下：
···················································（4分）
22．（本题 10分）
解：（1）由图可知加热时，y关于 x的函数为一次函数，
∴可设解析式为 y kx b，
将点（0，30）（10，60）代入，得
b 30, k 3,
解得
10k b 60

． b 30．
∴y关于 x的函数解析式为 y 3x 30．
当 y=90时，3x 30 90，解得 x 20．
∴第一次加热到 90°时间为 20分钟．··············································（3分）
（2 m）由题意可设加热后 y关于 x的表达式为 y ，
x
将（20，90）代入，得m 1800，
∴y关于 x 1800的表达式为 y ······················································（3分）
x
（3）由题意可知，加热时长为 10分钟．
恒温阶段8 60 10 470分钟，
费用为：10 100 470 60 29200元．
1800
间歇加热工作：对于 y ，令 y 60，得 x 30，
x
除第一次加热到 60℃需要 10分钟，后续 60℃加热到 90℃，自然降温到 60℃一轮需要 20分
钟．一天 8小时中，加热时间为10 23 10 10 250分钟，
费用为： 250 100 25000元．
25000 29200，因此仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
······························································································（4分）
23．（本题 10分）
解：（1）方法一：
由题意可知（0，n），（4，n）关于对称轴直线 x a对称，
0 4
∴ a 2，
2
∴该二次函数的解析式为 y x2 4x 1．
方法二：
将（0，n），（4，n）代入，得
a 1 n, a 2,
解得
16 8a a 1 n

． n 1．
∴该二次函数的解析式为 y x2 4x 1．··········································（4分）
2 图 1
（2）由判别式Δ= 2a 4 a 1 4a2 4a 4 2a 1 2 3 3 0，
∴二次函数的图象与 x轴都有两个交点．·····································（3分）
（3）如图 1，
（Ⅰ）若 a 3时，当 x 3时，函数有最小值为9 6a a 1 3，
解得 a 11 （舍去）；····························································（1分）
5
如图 2，
（Ⅱ）若 a 0时，当 x 0时，函数有最小值为 a 1 3， 图 2
解得 a 2；·········································································（1分）
如图 3，
（Ⅲ）若 0 a 3 2 2时，当 x a时，函数有最小值为 a 2a a 1 3，
解得 a1 2， a2 1（舍去），··················································（1分）
∴综上所述满足条件的 a的值为 2．
图 3
24．（本题 12分）
解：（1）如图 4
∵OC平分∠ACB，
∴∠1=∠2．·····················································（1分）
∵OC=OB，
∴∠2=∠4．·············································（1分）
∵∠4=∠3，·············································（1分）
∴∠1=∠3，
∴OC∥EF．··········································································（1分） 图 4
（2）①由（1）可设∠ADF=∠3=∠1=∠2=x,
设∠A=y，
∴∠EFB=∠A+∠ADF=x+y．····················································（1分）
∵∠E=∠DCB，
∴∠E=2x，···········································································（1分）
∵∠EBF=2∠A=2y，
∴在△BEF中，∠E+∠EFB+∠EBF=180°，即 2x x y 2y 180 ，（1分）
∴ x y 60 ，即∠EFB=60°．··············································· （1分）
②方法一：如图 5
连结 BD，延长 CO交 BD于点 R，交 AB于点 N，
设 DF=m，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°，即 BD⊥EF．
∵∠EFB=60°，∴BF=2DF=2m．
∵OC∥EF，∴CO⊥BD，
图 5
∴DR=BR，∴FN=BN，∴NR= 1 DF m ．
2 2
2
∵F是 AB的中点,∴AF= AN ,
3
CN= 3 DF 3m∴ ，∴CR=CN-NR= m，
2 2
∴OR=m-1．
3m
∵BR= ，∴在 Rt△BOR中，OR2 BR2 OB2 ,
2
2

即 m 1 2 3m 8 1，解得m1 ，m2 0（舍去），
2 7
∴AB= 4m 4 8 32 ．·······················································（4分）
7 7
方法二：如图 6
连结 BD，作 BM∥EF交 DC的延长线于点 M，设 DF=m，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°，即 BD⊥EF．
∵∠EFB=60°，∴BF=2DF=2m．BD= 3m．
∵BM∥EF，F是 AB的中点，
∴BM=2DF=2m，∠DBM=∠BDF=90°,
∴DM= 7m．
∵OC∥EF，∴OC∥BM，
∴∠1=∠M，∠2=∠5， 图 6
∵∠1=∠2，∴∠M=∠5，
∴BC=CM= 1 DM 7 m，
2 2
∵∠2=∠4=∠5=∠M，∴△OBC∽△CBM,
7
OC BC 1 m 8
∴ ，∴ 2 ，解得m ，
BC BM 7 2m 7m
2
∴AB= 4m 4 8 32 ．·······················································（4分）
7 7

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