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专题07 比例
一、选择题
1．（23-24六年级下·浙江温州·期末）下列选项中，两个量成反比例关系的是（ ）。
A．聪聪的年龄和体重 B．看一本书，已经看过的与未看过的页数
C．速度一定，路程和时间 D．长方形的面积一定，长和宽
2．（23-24六年级下·浙江绍兴·期末）已知，且和都不为0，当一定时，和（ ）。
A．成正比例关系B．成反比例关系 C．不成比例关系 D．以上都不对
3．（23-24六年级下·浙江杭州·期末）加工同一批零件，师傅用了8分钟，徒弟用了10分钟。下列说法不成立的是（ ）。
A．师傅的工作效率比徒弟高 B．师傅的工作效率和工作时间成正比例
C．师傅的用时比徒弟少 D．徒弟5分钟做的量，师傅只需4分钟
4．（22-23六年级下·浙江湖州·期末）“如东→南通→苏州→湖州”城际铁路（南浔至长兴段）起于苏浙省界南浔镇沈庄洋村，终于长兴站，线路全长64.8km，设计速度160km/h。现需要将这幅图画在长60cm，宽50cm的长方形图纸上，你认为选比例尺是（ ）最合适。
A．1∶10000000 B．1∶100000 C．1∶10000 D．1∶100
5．（23-24六年级下·浙江杭州·期末）升入中学，我们将会学习这样的知识：“三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。”在小学，我们可以看作是“图形的放大和缩小”。根据你的理解，下图中（ ）两个三角形相似。
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④
二、填空题
6．（23-24六年级下·浙江绍兴·期末）将一个正方体的每条棱的长度都按的比例缩小，那么，它的表面积会缩小到原来的( )，体积会缩小到原来的( )。（填上合适的分数）
7．（23-24六年级下·浙江绍兴·期末）线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离( )米，已知用这个比例尺画的绍兴地铁“2号线”全长36.7厘米，那么，绍兴地铁“2号线”实际全长( )千米。
8．（23-24六年级下·浙江杭州·期末）在比例尺是100∶1的精密零件设计图上，有个边长是4厘米的正方形。这个正方形的实际边长是( )厘米，实际面积是( )平方厘米。
9．（23-24六年级下·浙江杭州·期末）三个相关联的量，A表示单价，B表示数量，C表示总价。如果A一定，那么B和C成( )比例关系；如果C一定，那么A和B成( )比例关系。
10．（23-24六年级下·浙江嘉兴·期末）从地图上量得甲、乙两地的距离为6cm，而两地的实际距离是300km，这幅地图的比例尺是( )。
11．（23-24六年级下·浙江嘉兴·期末）A、B、C三种量的关系是B×C＝A（A、B、C均不为0），如果C一定，那么A和B成( )比例。
12．（23-24六年级下·浙江嘉兴·期末）在比例尺是1∶60000000的地图上，量得甲乙两地的距离是8厘米，一架飞机上午10时从甲地飞往乙地，下午2时到达。这架飞机的速度是( )千米/时。
13．（22-23六年级下·浙江·期末）在比例m∶0.5＝n∶中，两个内项的积是最小合数，那么m＝( )，m和n成( )比例关系。
14．（23-24六年级下·浙江杭州·期末）一个直角三角形，两个锐角度数的比是2∶1，较小的锐角是( )度。将这个三角形按2∶1放大后，新得到的三角形的内角和是( )度。
15．（22-23六年级下·浙江绍兴·期末）已知m和n均是正数，且m＝n，那么m和n成( )比例关系。
16．（22-23六年级下·浙江绍兴·期末）男生人数的等于女生人数的，男女生的人数比是( )。
17．（22-23六年级下·浙江金华·期末）一个比例中，两个外项的积是最小的合数，一个内项是，一个内项是( )。
三、判断题
18．（22-23六年级下·浙江温州·期末）工作时间一定，生产每个零件所用的时间和零件总数成反比例。( )
19．（22-23六年级下·浙江绍兴·期末）如果“x＋y＝125”，那么，x和y就成正比例关系。( )
20．（23-24六年级下·浙江杭州·期末）如果y＝8x（x≠y），那么x与y成正比例。( )
21．（23-24六年级下·浙江绍兴·期末）《小学生数学报》的单价一定，订阅的费用与订阅的数量成正比例关系。( )
22．（23-24六年级下·浙江衢州·期末）因为，所以。( )
四、计算题
23．（23-24六年级下·浙江嘉兴·期末）解方程。
（1） （2） （3）
五、解答题
24．（22-23六年级下·浙江绍兴·期末）李阿姨家装修房子，用边长是8分米的方砖铺地，要用50块；如果改用边长是10分米的方砖铺地，要用几块？（用比例解）
25．（22-23六年级下·浙江温州·期末）防疫期间，某大型集团公司承接了一批防疫口罩订单，计划每天生产150万个，30天完成。实际每天生产180万个，实际用了多少天？（用比例解答）
26．（23-24六年级下·浙江绍兴·期末）工程队修一段公路，原计划每天修4.8千米，18天修完。实际提前2天修完，实际每天修多少千米？
27．（22-23六年级下·浙江·期末）在一幅比例尺是的地图上，量得A、B两座城市之间的距离是15cm。一辆客车和一辆小轿车同时从两地相向而行，3小时相遇。已知客车和小轿车的速度比是，这两辆车的速度各是多少？
28．（23-24六年级下·浙江宁波·期末）学校要给一间功能教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。
每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 …
所需地砖的数量/块 600 400 300 200 150 …
（1）每块地砖的面积和所需地砖的数量成（ ）比例关系。
（2）如果铺这一地面用了500块地砖，所用的地砖每块面积是多大？（用比例解答）
29．（23-24六年级下·浙江嘉兴·期末）一个带有容积刻度的圆柱形容器，里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分组成的几何体铁块。以同样的速度往容器中注水（如左下图），注水时间与水面对应刻度的关系如右下图所示。
（1）图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的（ ）倍。
（2）每秒注水多少毫升？
（3）铁块圆柱部分的体积是多少立方厘米。
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参考答案
1．D
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【详解】A．聪聪的年龄和体重，不是乘积一定，也不是比值一定，所以不成比例；
B．书的总页数一定，但已经看过的页数与未看过的页数，这两个量的和一定，比值不一定，乘积也不一定，所以它们不成比例；
C．根据路程÷时间＝速度（一定），是比值一定，路程和时间成正比例；
D．长方形的长×长方形的宽＝长方形的面积（一定），是乘积一定，长和宽成反比例。
故答案为：D
2．B
【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系，据此根据等式的性质2，将转化后，确定比例关系。
【详解】，两边同时×，可得，当一定时，也一定，和成反比例关系。
故答案为：B
3．B
【分析】A．加工同一批零件，工作时间越少的工作效率越高，据此比较两人工作时间即可；
B．两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；
C．将徒弟用时看作单位“1”，师傅和徒弟的时间差÷徒弟用时＝师傅的用时比徒弟少几分之几；
D．将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，徒弟工作效率×工作时间＝相应工作量，徒弟工作量÷师傅工作效率＝师傅需要的时间。
【详解】A．8＜10，师傅的工作效率比徒弟高，说法正确；
B．工作效率×工作时间＝工作总量，师傅的工作效率和工作时间成反比例，选项说法错误；
C．（10－8）÷10
＝2÷10
＝
师傅的用时比徒弟少，说法正确；
D．×5÷
＝×8
＝4（分钟）
徒弟5分钟做的量，师傅只需4分钟，说法正确。
说法不成立的是师傅的工作效率和工作时间成正比例。
故答案为：B
4．B
【分析】根据生活常识可知，铁路交通一般是弯曲的。64.8km≈65km，因此要将这幅图画在长60cm，宽50cm的长方形纸上，最好将它变成65cm左右，也就是比例尺为65cm：65km，再将其化简，最后根据各选项选择正确答案即可。
【详解】64.8km≈65km
65cm∶65km
＝65cm∶6500000cm
＝65∶6500000
＝1∶100000
所以，将这幅图画在长60cm，宽50cm的长方形图纸上，我认为选比例尺是1∶100000最合适。
故答案为：B
【点睛】解答此题的关键是熟练掌握“比例尺＝图上距离÷实际距离”这个公式。
5．C
【分析】把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1；把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。
【详解】①和④
高：2∶4＝1∶2；底：1∶2，所以①和④两个三角形相似。
升入中学，我们将会学习这样的知识：“三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。”在小学，我们可以看作是“图形的放大和缩小”。根据你的理解，①和④两个三角形相似。
故答案为：C
6．
【分析】把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。假设正方体的棱长是9厘米，计算出按缩小后的棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别计算出缩小前后的表面积和体积，将原来的表面积和体积看作单位“1”，缩小后的表面积÷原来的表面积＝它的表面积会缩小到原来的几分之几，缩小后的体积÷原来的体积＝体积会缩小到原来的几分之几。
【详解】假设正方体的棱长是9厘米。
9×＝3（厘米）
（3×3×6）÷（9×9×6）
＝54÷486
＝
＝
（3×3×3）÷（9×9×9）
＝27÷729
＝
＝
它的表面积会缩小到原来的，体积会缩小到原来的。
7． 1000 36.7
【分析】
根据比例尺的意义可知，线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离1千米，那么图上36.7厘米就相当于实际距离36.7千米。
【详解】1千米＝1000米
36.7×1＝36.7（千米）
填空如下：
线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离（1000）米，已知用这个比例尺画的绍兴地铁“2号线”全长36.7厘米，那么，绍兴地铁“2号线”实际全长（36.7）千米。
8． 0.04 0.0016
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出这个正方形的实际边长；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方形的实际面积，据此解答。
【详解】4÷＝0.04（厘米）
0.04×0.04＝0.0016（平方厘米）
在比例尺是100∶1的精密零件设计图上，有个边长是4厘米的正方形。这个正方形的实际边长是0.04厘米，实际面积是0.0016平方厘米。
9． 正 反
【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。
【详解】根据总价÷数量＝单价，如果A一定，那么B和C成正比例关系；根据单价×数量＝总价，如果C一定，那么A和B成反比例关系。
10．1∶5000000
【分析】根据图上距离∶实际距离＝比例尺，写出图上距离与实际距离的比，化简即可。
【详解】6cm∶300km＝6cm∶30000000cm＝（6÷6）∶（30000000÷6）＝1∶5000000
这幅地图的比例尺是1∶5000000。
11．正
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【详解】B×C＝A，所以A÷B＝C（一定），商一定，那么A和B成正比例。
A、B、C三种量的关系是B×C＝A（A、B、C均不为0），如果C一定，那么A和B成正比例。
12．1200
【分析】已知地图的比例尺和甲乙两地的图上距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率“1千米＝100000厘米”，求出甲乙两地的实际距离。
已知一架飞机上午10时从甲地飞往乙地，下午2时即14时到达，则这架飞机飞行了（14－10）小时，根据“速度＝路程÷时间”，求出这架飞机的速度。
【详解】8÷
＝8×60000000
＝480000000（厘米）
480000000厘米＝4800千米
下午2时＝14时
14时－10时＝4（小时）
4800÷4＝1200（千米/时）
这架飞机的速度是1200千米/时。
13． 6 正
【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，两个内项的积是最小合数，则两个外项的积也是最小的合数，最小的合数是4，根据积÷因数＝另一个因数，即可求出m的值；
两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，转化后进行分析。
【详解】m∶0.5＝n∶，根据比例的基本性质，可得0.5n＝m＝4，m＝4÷＝4×＝6；
0.5n＝m，两边同时÷m÷0.5，可得n÷m＝÷0.5＝÷＝×2＝，m和n成正比例关系。
在比例m∶0.5＝n∶中，两个内项的积是最小合数，那么m＝6，m和n成正比例关系。
14． 30 180
【分析】直角三角形两锐角和是90度，两锐角和除以总份数，求出一份数，一份数乘其中较小份数＝较小锐角的度数；根据图形放大与缩小的意义，一个图形按一定的比例放大或缩小， 是指对应边的放大或缩小，面积也随之改变，形状不变，也就是说放大或缩小后的图形与原图形相似，当然三角形的内角和也不会改变（即使三角形的形状改变内角和也不会改变）。据此即可解答。
【详解】90÷（2＋1）×1
＝90÷3×1
＝30（度）
所以一个直角三角形，两个锐角度数的比是2∶1，较小的锐角是30度。将这个三角形按2∶1放大后，新得到的三角形的内角和是180度。
15．正
【分析】正比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。反比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。根据m＝n，看m、n的积或m、n的比值是否为定值，据此解答。
【详解】m＝n，等式两边同时除以n得到＝，也就是m与n的比值是定值，所以m和n成正比例关系。
16．8∶9
【分析】根据男生人数的等于女生人数的，把它写成数量关系式为：男生人数女生人数；再根据比例的基本性质改写成比例进行化简即可解答。
【详解】因为男生人数女生人数
所以男生人数∶女生人数＝
因此男女生的人数比是8∶9。
17．6
【分析】根据比例的基本性质，两个外项的积＝两个内项的积。最小的合数是4，所以两个内项的积为4。
【详解】4÷
＝
＝6
另一个内项是6。
【点睛】此题考查了最小合数以及比例的基本性质。
18．√
【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定， 还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，就成反比例；如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。
【详解】因生产每个零件所用的时间×零件总数＝总工作时间（一定）
原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断。
19．×
【分析】根据x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，进行分析。
【详解】如果“x＋y＝125”， x和y是加法关系，不成比例关系。
故答案为：×
【点睛】关键是理解正比例的意义，商一定是正比例关系。
20．√
【分析】根据正比例的概念，结合题干，分析判断即可。
【详解】因为y＝8x，所以有y÷x＝8，那么x与y成正比例。
所以判断正确。
【点睛】本题考查了正比例的概念，商一定的两个量成正比例。
21．√
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【详解】因为订阅的费用÷订阅的数量＝单价（一定），也就是订阅的费用与订阅的数量的比值一定，符合正比例的意义，所以《小学生数学报》的单价一定，订阅的费用与订阅的数量成正比例关系。
故答案为：√
【点睛】题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
22．×
【分析】根据比例的基本性质，内向之积＝外向之积，把8x＝15y，化成比例，即可解答。
【详解】8x＝15y
x∶y＝15∶8
因为8x＝15y，所以x∶y＝8∶15，是错的
故答案为：×
【点睛】本题考查比例的基本性质，根据比例的基本性质解答问题。
23．（1）；（2）x＝10；（3）x＝3
【分析】（1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时减去2，再同时除以即可；
（2）根据比例的基本性质，把式子转化为，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以即可；
（3）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以即可。
【详解】（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
24．32块
【分析】根据题意可知，房子的面积一定，即每块方砖的面积×方砖的块数＝房子的面积（一定），乘积一定，那么每块方砖的面积与方砖的块数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。
【详解】解：设如果改用边长是10分米的方砖铺地，要用块。
（10×10）＝8×8×50
100＝3200
＝3200÷100
＝32
答：要用32块。
25．25天
【分析】由题意可知：这批防疫口罩的总数量是一定的，即每天生产口罩的数量与生产时间的乘积是一定的，则每天生产口罩的数量与生产时间成反比例，据此即可列比例求解。
【详解】解：设实际用了x天。
150×30＝180x
4500＝180x
180x＝4500
x＝4500÷180
x＝25
答：实际用了25天。
【点睛】解答此题的关键是弄清楚哪两种量成何比例，进而列比例求解。
26．5.4千米
【分析】根据题意可知：工作总量是一定的，工作效率和工作时间成反比例关系，设实际每天修千米，据此列比例解答。
【详解】解：设实际每天修千米。
（18－2）＝4.8×18
16＝86.4
＝86.4÷16
＝5.4
答：实际每天修5.4千米。
【点睛】明确工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例关系，据此列出比例是解答本题的关键。
27．千米/小时；千米/小时
【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，依据公式求出实际距离，用实际距离除以时间求出客车和小轿车的速度和，再按比例分配求出他们的速度。
【详解】15÷
＝15×3000000
＝（厘米）
＝450（千米）
（千米/小时）
150÷（2＋3）×2
＝30×2
＝60（千米/小时）
150÷（2＋3）×3
＝30×3
＝90（千米/小时）
答：客车的速度是千米/小时，小轿车的速度是千米/小时。
【点睛】此题考查比例尺的应用，明确实际距离与图上距离的换算方法是解题的关键。
28．（1）反
（2）0.24平方米
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答即可。
（2）可假设所用的地砖每块面积是x平方米，根据每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系，据此即可列比例求解。
【详解】（1）0.2×600＝0.3×400＝0.4×300＝0.6×200＝0.8×150＝120（平方米）
因为每块地砖的面积×需要的块数＝铺地面积（一定），所以每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系。
（2）解：设所用地砖的面积为x平方米。
500x＝0.2×600
500x＝120
500x÷500＝120÷500
x＝0.24
答：所用的地砖每块面积是0.24平方米。
29．（1）2
（2）10毫升
（3）30立方厘米
【分析】（1）从图中可知，水先填满圆柱周围空间，再填满圆锥周围空间。当容器里有圆柱时，水面刻度上升到了200毫升；当容器里有圆锥时，水面刻度上升了300－200＝100毫升；因为圆柱形容器的底面积不变，容积刻度和水面高度成正比，所以用200÷100即可求出圆柱的高是圆锥高的倍数。
（2）当注水第25秒至40秒时，水漫过了圆柱和圆锥。水面刻度从300毫升到450毫升时，即增加了水的体积450－300＝150毫升，用时40－25＝15秒，用150÷15＝10毫升，即求出了每秒注水量。
（3）当容器里有圆柱时，水面刻度上升到了200毫升，用时17秒。此时容积刻度＝圆柱体积＋水的体积，水的体积：10×17＝170毫升＝170立方厘米，所以圆柱体积＝水面刻度－水的体积＝200－170＝30毫升＝30立方厘米。
【详解】（1）200÷（300－200）
＝200÷100
＝2
图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的2倍。
（2）（450－300）÷（40－25）
＝150÷15
＝10（毫升）
答：每秒注水10毫升。
（3）200－17×10
＝200－170
＝30（毫升）
＝30（立方厘米）
答：铁块圆柱部分的体积是30立方厘米。
【点睛】理解圆柱形容器的底面积不变，容积刻度和水面高度成正比是解此题的关键。
答案第14页，共14页
答案第13页，共13页

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