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篇首寄语
我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。
《2024-2025学年六年级数学下册培优精练「北师大版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。
1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。
4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。
5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。
黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！
101数学创作社
2025年1月9日
目 录
【课内精选一】旋转 3
【课内精选二】平移、旋转、对称作图 5
【课内精选三】图案设计 9
【奥数解读】 13
【奥数拓展一】一笔画问题（一） 13
【奥数拓展二】一笔画问题（二） 14
【奥数拓展三】一笔画问题（三） 15
【奥数拓展四】一笔画问题（四） 16
2024-2025学年六年级数学下册培优精练「北师大版」
第三单元图形的运动·思维素养篇【从课内到奥数】
【课内精选一】旋转。
钟面上时针的运动是( )，算盘上算珠的运动是( )。（填“平移”或者“旋转”）
【答案】 旋转 平移
【分析】平移的意义：在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程，称为平移；把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转；据此解答。
【详解】根据分析：钟面上时针的运动是旋转，算盘上算珠的运动是平移。
【专项训练】
2．判断下面哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象，并填空。
(1)张叔叔开车在笔直的公路上行驶，车身整体的运动是( )现象，汽车转弯时，方向盘的运动是( )现象。
(2)乘坐电梯时，电梯的升降是( )现象。
(3)乘坐缆车上山时，缆车的运动是( )现象。
(4)电风扇工作时扇叶的转动是( )现象。
【答案】(1) 平移 旋转
(2)平移
(3)平移
(4)旋转
【分析】平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向作相同距离移动的图形运动。平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变。旋转是图形上的每一个点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，对应点到旋转中心的距离相等。旋转前、后图形的大小和形状没有改变，旋转中心是唯一不动的点。据此解答即可。
【详解】（1）张叔叔开车在笔直的公路上行驶，车身整体的运动是平移现象，汽车转弯时，方向盘的运动是旋转现象。
（2）乘坐电梯时，电梯的升降是平移现象。
（3）乘坐缆车上山时，缆车的运动是平移现象。
（4）电风扇工作时扇叶的转动是旋转现象。
3．根据下图，描述指针旋转现象。
【答案】指针从数字12逆时针旋转90°指到数字9
【分析】在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，旋转方向和钟表的指针旋转方向相同，叫顺时针旋转，旋转方向和钟表的指针旋转方向相反，叫逆时针旋转，通过观察可知，时钟被平均分成12个大格，每个大格是30°，9到12之间有3个大格，也就是90°，所以指针从数字12逆时针旋转90°指到数字9。
【详解】根据分析可知，指针从数字12逆时针旋转90°指到数字9。
4．资料卡：“大风车”转动的秘密。
风吹到巨大的风叶上时风车开始旋转，风的能量变成了风叶旋转的力量，也就是我们所说的风车的机械能，机械能通过风车内部的发电机进一步转化为电能。风电发动机由三个叶片组成，风吹动三个巨大的叶片，叶片在旋转中实现风能向电能的转换，这是无辐射、无污染的能源。
请根据以上材料中的信息解答下列各题。
（1）下面的哪些运动属于旋转？请在括号里打“√”。
①风力发电 ②推抽屉 ③时针1天走2圈 ④升国旗
( ) ( ) ( ) ( )
（2）图形旋转有三个关键要素，一是旋转的( )）。二是旋转的( )。三是旋转的( )。
【答案】（1）①√；③√
（2）中心点；方向；角度
【分析】（1）根据旋转的意义：在平面内，把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过程，称为旋转。这个点为旋转中心，旋转的角度叫旋转角。
（2）图形旋转有三个关键要素：一是旋转的中心点（或轴），二是旋转的方向（顺时针方向或逆时针方向），三是旋转的角度。
【详解】（1）属于旋转运动的有：①风力发电；③时针1天走2圈。
（2）图形旋转有三个关键要素：一是旋转的中心点。二是旋转的方向。三是旋转的角度。
【课内精选二】平移、旋转、对称作图。
按要求在方格纸上画图。
（1）画出图①绕点O顺时针旋转90°，得到图②。
（2）画出图①向右平移8格，得到图③。
【答案】见详解
【分析】（1）根据旋转的特征，将图①绕点O顺时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图②。
（2）根据平移的特征，将图①的各顶点分别向右平移8格，依次连接即可得到平移后的图③。
【详解】如图：
【专项训练】
1．动手操作。
（1）画出图形A绕点O顺时针旋转90°后得到图形B。
（2）把图形B先向右平移9格，再向下平移3格得到图形C。
【答案】（1）（2）见详解
【分析】（1）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。
（2）作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点；定方向、距离：确定平移方向和平移距离；过关键点沿平移方向画出平行线；由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连接对应点。
【详解】（1）（2）如图：
2．先画出图形OABC绕点O顺时针旋转90°、逆时针旋转90°的两个图形，再画出图形OABC向下平移3格后的图形。
【答案】见详解
【分析】把OABC绕点O顺时针旋转90°、逆时针旋转90°后，点O的位置不动，其余各部分均绕点O按相同方向旋转相同的度数即可；将图形OABC的各点向下平移3格后，再顺次连接各点即可。
【详解】如图所示：
3．动手操作。
（1）将图向左平移7格。
（2）将图绕点逆时针方向旋转90度。
（3）以直线为对称轴，画出图的轴对称图形。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）见详解
【分析】（1）画平移后的图形的方法：找出构成图形的关键点，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，再依据图形的形状顺次连接各对应点，画出最终的图形。
（2）画旋转一定角度后的图形的方法：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，找出构成图形的关键点，按一定的方向和角度分别画出各关键点的对应点，顺次连接画出的各点即可。
（3）作轴对称图形的方法：确定已知图形的关键点，如顶点、交点等；分别作出这些关键点关于对称轴的对称点；依次连接这些对称点，就得到了轴对称图形。
【详解】（1）（2）（3）如图：
【课内精选三】图案设计。
从下面左边四种瓷砖中选择两种，可以拼成不同的图案（如下图）。
（1）这两个图案各选择了哪几种瓷砖？
（2）任意选择两种瓷砖，设计几种不同的图案，与同学交流。
【答案】（1）②号和④号；①号和③号
（2）见详解（答案不唯一）
【分析】（1）观察图案可知：第一个图案选择的是②号和④号瓷砖各2块；第二个图案选择的是①号和③号瓷砖各2块。
（2）任意选择其中的2种瓷砖，通过轴对称、平移或旋转即可设计出不同的图案。
【详解】通过分析可得：
（1）第一个图案选择的是②号和④号瓷砖；第二个图案选择的是①号和③号瓷砖。
（2）
【专项训练】
1．利用下左面给出的图形，在下右面的方格中设计一个美丽的图案。
【答案】见详解
【分析】利用图形的平移可设计出美丽的图案。
【详解】
将图形进行左右和上下平移后，可画出如下图案：
答案不唯一。
2．把下面的图形，利用对称、平移和旋转等图形变换方式，分别设计成你喜欢的图案。
【答案】见详解
【分析】轴对称：对应点的连线垂直对称轴，对应点到对称轴的距离相等；
平移：将图形按照某一直线方向，作一定距离的移动；
旋转：将图形围绕旋转中心，按照一定的角度和方向转动。
第一个图形，可以将其顺时针旋转90°、180°，再将其逆时针旋转90°。
第二个图形，以平行四边形的一边为对称轴，画出轴对称图形的另一半。
第三个图形，以梯形的下底为对称轴，画出轴对称图形的另一半。
【详解】如图：
（答案不唯一）
3．利用旋转变换设计出一幅美丽的图案。
【答案】见详解
【分析】根据旋转的性质，在旋转变换图形中，对应点旋转的角度相等，因此可以把这个三角形以一点为中心连续旋转即可，例如顺时针旋转90°，即可得到一幅美丽的图案，据此解答即可。
【详解】根据分析，作图如下：
（答案不唯一）
【奥数解读】
“一笔画”问题属于操作问题中的一类，如果用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画图形。
【奥数拓展一】一笔画问题（一）。
如图所示，请你试一试，能将它们一笔画出来吗
解析：
通过尝试，图1、图2能够一笔画成，图3、图4无论如何也不能够一笔画成。
【专项训练】
1. 如图，看看这两个汉字哪个能一笔画成，哪个不能
解析：都不能。
2. 如图，判断这两个图形能够一笔画成吗
解析：都能。
3. 如图，这两个图形能够一笔画成吗 如果能，该怎么画
解析：第一个可以，第二个不可以。
【奥数拓展二】一笔画问题（二）。
如图1所示，为什么这两个图形不能一笔画成，这里面是不是有什么秘密
解析：
瑞士数学家欧拉通过研究发现：
(1)一笔画必须是连通的(图形各部分之间连接在一起)；
(2)全部是偶点的连通图形可以一笔画成，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；
(3)只有两个奇点的连通图形可以一笔画成，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；
(4)奇点的个数超过两个的图形不能一笔画成，这两个图形都有4个奇点，所以，不能一笔画成。
【专项训练】
1. 下面的图形能不能一笔画成
解析：第一个可以，第二个不可以。
2. 如图，这两个图形能不能一笔画成
解析：都能。
3. 近年来，智能手机兴起，手机应用的图标也是纷繁多样，下面的几个图标中，能不重复地一笔画完的图标有( )。
解析：B
【奥数拓展三】一笔画问题（三）。
如图1所示，一只蜗牛从A点出发，到达B点，必须不重复地经过每一条线，你能想出好办法吗
解析：
我们发现这张图上只有A、B两点是奇点，所以，首先可以一笔画成，而且一个是起点，一个是终点，根据题目的要求，A是起点，B是终点，有如图2所示的画法。
【专项训练】
1. 如图所示，这是一张公园的平面图，要想使游客走遍每一条路又不重复，公园应如何设置进出口 为什么
解析：
观察图可以知道，只有两个奇点，分别是B、G，所以，我们可以把B看作是进口，G看作是出口；或者把G看作是进口，而把B看作是出口。
2. 小刚是一名邮递员，他将他所要走的街道画成了一张地图(如图所示，其中的A点是邮局)，打算设计一种最好的方法，使得自己每天不重复地走遍每一条街，小刚想了想，很快就想出了方法，你知道小刚是怎样设计的吗
解析：如图
3. 同学们去参观展览馆，展览室①~⑦是如图所示分布的，图中的线段都是墙壁，空缺处是“门”，要想不重复地参观每一个展览室，从展览室①出发，应该怎么走
解析：如图
【奥数拓展四】一笔画问题（四）。
晨晨爸爸投递信件的街道如图1所示，图上数表示各街道的千米数，他从邮局出发，走遍各街道，最后回到邮局，走怎样的路线最合理 全程要走多少千米
解析：
(1+2+4+2+1)×2+3×6+2×4=20+18+8=46(千米)
答：全程要走46千米。
【专项训练】
1. 一个邮递员投递信件的街道如图所示，图上数表示各街道的长(单位：千米)，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局，请你为他设计一条最合理的路线，全程至少走多少千米
解析：至少走(8+4+2)×4+(4+4)×4+4×2=96(千米）。
2. 如图所示，这是一些街道的平面图，每段街道长1千米，有一辆洒水车从A点出发，要往每一条街道上洒水，最后仍回到A点，请你为它安排一条最合理的路线，并求出这条路线的长。
解析：1×3×4×2+4=28(千米)
3. 如图所示，这是快递员哥哥的送货路线图，他需要走遍每一条路线才能领到鸡腿盒饭，每个正方形格子的边长是200米，请聪明的你回答以下问题：
(1)快递员哥哥能否不重不漏地每条路线只走一遍走完全程(即一笔画) 如果不能，请算出至少多少笔可以画完全程路线图
(2)请你设计起点与终点，让快递员哥哥走最少的路就能领到鸡腿盒饭，那么这条最短路线的长度是多少米
解析：略。
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我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。
《2024-2025学年六年级数学下册培优精练「北师大版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。
1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。
4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。
5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。
黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！
101数学创作社
2025年1月9日
目 录
【课内精选一】旋转 3
【课内精选二】平移、旋转、对称作图 4
【课内精选三】图案设计 7
【奥数解读】 11
【奥数拓展一】一笔画问题（一） 11
【奥数拓展二】一笔画问题（二） 12
【奥数拓展三】一笔画问题（三） 13
【奥数拓展四】一笔画问题（四） 14
2024-2025学年六年级数学下册培优精练「北师大版」
第三单元图形的运动·思维素养篇【从课内到奥数】
【课内精选一】旋转。
钟面上时针的运动是( )，算盘上算珠的运动是( )。（填“平移”或者“旋转”）
【答案】 旋转 平移
【专项训练】
2．判断下面哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象，并填空。
(1)张叔叔开车在笔直的公路上行驶，车身整体的运动是( )现象，汽车转弯时，方向盘的运动是( )现象。
(2)乘坐电梯时，电梯的升降是( )现象。
(3)乘坐缆车上山时，缆车的运动是( )现象。
(4)电风扇工作时扇叶的转动是( )现象。
【答案】(1) 平移 旋转；(2)平移；(3)平移；(4)旋转
3．根据下图，描述指针旋转现象。
【答案】指针从数字12逆时针旋转90°指到数字9
4．资料卡：“大风车”转动的秘密。
风吹到巨大的风叶上时风车开始旋转，风的能量变成了风叶旋转的力量，也就是我们所说的风车的机械能，机械能通过风车内部的发电机进一步转化为电能。风电发动机由三个叶片组成，风吹动三个巨大的叶片，叶片在旋转中实现风能向电能的转换，这是无辐射、无污染的能源。
请根据以上材料中的信息解答下列各题。
（1）下面的哪些运动属于旋转？请在括号里打“√”。
①风力发电 ②推抽屉 ③时针1天走2圈 ④升国旗
( ) ( ) ( ) ( )
（2）图形旋转有三个关键要素，一是旋转的( )）。二是旋转的( )。三是旋转的( )。
【答案】（1）①√；③√；（2）中心点；方向；角度
【课内精选二】平移、旋转、对称作图。
按要求在方格纸上画图。
（1）画出图①绕点O顺时针旋转90°，得到图②。
（2）画出图①向右平移8格，得到图③。
【答案】如图：
【专项训练】
1．动手操作。
（1）画出图形A绕点O顺时针旋转90°后得到图形B。
（2）把图形B先向右平移9格，再向下平移3格得到图形C。
【答案】（1）（2）如图：
2．先画出图形OABC绕点O顺时针旋转90°、逆时针旋转90°的两个图形，再画出图形OABC向下平移3格后的图形。
【答案】如图所示：
3．动手操作。
（1）将图向左平移7格。
（2）将图绕点逆时针方向旋转90度。
（3）以直线为对称轴，画出图的轴对称图形。
【答案】（1）（2）（3）如图：
【课内精选三】图案设计。
从下面左边四种瓷砖中选择两种，可以拼成不同的图案（如下图）。
（1）这两个图案各选择了哪几种瓷砖？
（2）任意选择两种瓷砖，设计几种不同的图案，与同学交流。
【答案】（1）第一个图案选择的是②号和④号瓷砖；第二个图案选择的是①号和③号瓷砖。
（2）
【专项训练】
1．利用下左面给出的图形，在下右面的方格中设计一个美丽的图案。
【答案】将图形进行左右和上下平移后，可画出如下图案：
答案不唯一。
2．把下面的图形，利用对称、平移和旋转等图形变换方式，分别设计成你喜欢的图案。
【答案】如图：
（答案不唯一）
3．利用旋转变换设计出一幅美丽的图案。
【答案】根据分析，作图如下：
（答案不唯一）
【奥数解读】
“一笔画”问题属于操作问题中的一类，如果用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画图形。
【奥数拓展一】一笔画问题（一）。
如图所示，请你试一试，能将它们一笔画出来吗
解析：
通过尝试，图1、图2能够一笔画成，图3、图4无论如何也不能够一笔画成。
【专项训练】
1. 如图，看看这两个汉字哪个能一笔画成，哪个不能
解析：都不能。
2. 如图，判断这两个图形能够一笔画成吗
解析：都能。
3. 如图，这两个图形能够一笔画成吗 如果能，该怎么画
解析：第一个可以，第二个不可以。
【奥数拓展二】一笔画问题（二）。
如图1所示，为什么这两个图形不能一笔画成，这里面是不是有什么秘密
解析：
瑞士数学家欧拉通过研究发现：
(1)一笔画必须是连通的(图形各部分之间连接在一起)；
(2)全部是偶点的连通图形可以一笔画成，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；
(3)只有两个奇点的连通图形可以一笔画成，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；
(4)奇点的个数超过两个的图形不能一笔画成，这两个图形都有4个奇点，所以，不能一笔画成。
【专项训练】
1. 下面的图形能不能一笔画成
解析：第一个可以，第二个不可以。
2. 如图，这两个图形能不能一笔画成
解析：都能。
3. 近年来，智能手机兴起，手机应用的图标也是纷繁多样，下面的几个图标中，能不重复地一笔画完的图标有( )。
解析：B
【奥数拓展三】一笔画问题（三）。
如图1所示，一只蜗牛从A点出发，到达B点，必须不重复地经过每一条线，你能想出好办法吗
解析：
我们发现这张图上只有A、B两点是奇点，所以，首先可以一笔画成，而且一个是起点，一个是终点，根据题目的要求，A是起点，B是终点，有如图2所示的画法。
【专项训练】
1. 如图所示，这是一张公园的平面图，要想使游客走遍每一条路又不重复，公园应如何设置进出口 为什么
解析：
观察图可以知道，只有两个奇点，分别是B、G，所以，我们可以把B看作是进口，G看作是出口；或者把G看作是进口，而把B看作是出口。
2. 小刚是一名邮递员，他将他所要走的街道画成了一张地图(如图所示，其中的A点是邮局)，打算设计一种最好的方法，使得自己每天不重复地走遍每一条街，小刚想了想，很快就想出了方法，你知道小刚是怎样设计的吗
解析：如图
3. 同学们去参观展览馆，展览室①~⑦是如图所示分布的，图中的线段都是墙壁，空缺处是“门”，要想不重复地参观每一个展览室，从展览室①出发，应该怎么走
解析：如图
【奥数拓展四】一笔画问题（四）。
晨晨爸爸投递信件的街道如图1所示，图上数表示各街道的千米数，他从邮局出发，走遍各街道，最后回到邮局，走怎样的路线最合理 全程要走多少千米
解析：
(1+2+4+2+1)×2+3×6+2×4=20+18+8=46(千米)
答：全程要走46千米。
【专项训练】
1. 一个邮递员投递信件的街道如图所示，图上数表示各街道的长(单位：千米)，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局，请你为他设计一条最合理的路线，全程至少走多少千米
解析：至少走(8+4+2)×4+(4+4)×4+4×2=96(千米）。
2. 如图所示，这是一些街道的平面图，每段街道长1千米，有一辆洒水车从A点出发，要往每一条街道上洒水，最后仍回到A点，请你为它安排一条最合理的路线，并求出这条路线的长。
解析：1×3×4×2+4=28(千米)
3. 如图所示，这是快递员哥哥的送货路线图，他需要走遍每一条路线才能领到鸡腿盒饭，每个正方形格子的边长是200米，请聪明的你回答以下问题：
(1)快递员哥哥能否不重不漏地每条路线只走一遍走完全程(即一笔画) 如果不能，请算出至少多少笔可以画完全程路线图
(2)请你设计起点与终点，让快递员哥哥走最少的路就能领到鸡腿盒饭，那么这条最短路线的长度是多少米
解析：略。
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