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2024-2025 学年上海市奉贤区奉城高级中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法中错误的是( )
A.一组数据的平均数、中位数可能相同
B.一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多
C.平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量
D.极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量
2.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽
取 40 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 500 和 300 名学生，则不同的抽样结果的种数为( )
A. 25 + 15500 300 B. 25 15 20 20 20500 300 C. 500 + 300 D. 500 20300
3.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，线段 1 1上有两个动点 、 ，
且 = 2，则下列结论中错误的是( )2
A. ⊥
B.异面直线 、 所成的角为定值
C.直线 与平面 所成的角为定值
D.以 、 、 、 为顶点的四面体的体积为定值
4.抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件 、
和 ，则下列说法错误的是( )
A. 7事件 、 和 两两互斥 B. ( ) + ( ) + ( ) = 8
C.事件 与事件 ∪ 是对立事件 D.事件 ∪ 与 ∪ 相互独立
二、填空题：本题共 12 小题，共 60 分。
5.在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 ( 1,2)，则 =______．
6.若一个样本空间 = {1,2,3,4,5,6}，令事件 = {2,3,5}， = (1,2,4,5,6)，则 ( | ) = ______．
( + ) ( )
7.已知函数 ( ) = ，若 → 0 2 2 = 3，则常数 的值为：______．
8.某运动员在某次男子 10 米气手枪射击比赛中的得分数据(单位：环)为：9.6，9.9，9.2，9.4，9.9，10.1，
10.2，9.7，9.6，9.3，10.0，10.4，则这组数据的第 25 百分位数为______．
9.已知关于正整数 的方程 1 = 5 512 12 ，则该方程的解为______．
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10.某校从 450 名同学中用随机数法抽取 30 人参加这一项调查.将这 450 名同学编号为 001，002，…，449，
450，假设从第 1 行第 7 列的数字开始，则第 5 个被抽到的同学的编号为______．
64844217 55721754 55068331
04744767 21763350 25839212
06766301 63785916 95556719
11.若 cos( 3 7 4 + ) = 5 , < < 4， = ______．
12.设 是正整数，化简 1 + 2 2 + 4 3 + + 2 1 = ．
13.设有两个罐子， 罐中放有 2 个白球、1 个黑球， 罐中放有 3 个白球，这些球的大小与质地相同.现在
从两个罐子中各摸 1 个球并交换，求这样交换 3 次后，黑球还在 罐中的概率为：______．
14.若组合数 3 1 23 < 23 < 23，则 的最大值为：______．
15.若函数 ( ) = 3 2在区间( , + 3)内有最大值，则实数 的取值范围是______．
16.(1)甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排拍照，记甲、乙两人不相邻的概率为 ；
(2)高二年级举行演讲比赛，共有 10 名学生参赛，其中一班有 3 名，二班有 2 名，其他班有 5 名.记一班的
3 名学生恰好被排在一起的概率为 ；
(3)一个盒子中有大小与质地相同的 20 个球，10 个红球，10 个白球，两人依次不放回地各摸 1 个球，记
第一个人摸出 1 个红球，且第二个人摸出 1 个白球的概率为 ；
(4)从一个放有大小与质地相同的 3 个黑球、2 个白球的袋子里摸出 2 个球并放入另外一个空袋子里，再从
后一个袋子里摸出 1 个球，记该球是黑色的概率为 .则 、 、 、 从小到大的顺序为：______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，∠ = ∠ = 90°， ⊥平面 ， 是 的
中点， = = = 1， = 2．
(1)证明： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小．
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18.(本小题 14 分)
平面向量 = (3 , cos2 ), = ( , 3) 3，函数 = ( ) = + 2 ．
(1)求函数 = ( )的最小正周期与零点；
(2)在三角形 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ( ) = 3， = 2, = 7，求三角形
的面积．
19.(本小题 14 分)
(1)若(3 + 1 2 ) ( ≥ 2，且 ∈ )的二项展开式中前三项的系数成等差数列，求 的值，并求其二项展开
式中所有的有理项；
(2)若(1 + 2 )8 = 0 + 1 + 2 2 + + 88 ，求 0 + 1 + 2 + + 8的值，并求系数最大的项．
20.(本小题 14 分)
某公园有一块如图所示的区域 ，该场地由线段 、 、 及曲线段 围成.经测量，∠ = 90°，
= = 100 米，曲线 是以 为对称轴的抛物线的一部分，点 到 、 的距离都是 50 米，现拟在
该区域建设一个矩形游乐场 ，其中点 在线段 或曲线段 上，点 、 分别在线段 、 上，且该
游乐场最短边长不低于 30 米.设 = 米，游乐场的面积为 平方米．
(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段 的方程；
(2)求面积 关于 的函数解析式 = ( )；
(3)试确定点 的位置，使得游乐场的面积 最大. (结果精确到 0.1 米)
21.(本小题 14 分)
已知 ∈ ， ( ) = (2 + 1) 2 ．
(1)若 = 1 是函数 = ( )的驻点，求 的值；
(2) 1当 ≥ 2时，求函数 = ( )的单调区间；
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(3)当 = 2 时，对于任意的 ∈ [1, ]，是否存在 ≥ 1，且 ∈ ，使得 ( ) ≤ 3 成立，若存在，
求 的取值范围？若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.2 55
6.23
7. 3
8.9.5
9.1 或 3
10.447
11. 210
12.3
1
2
13.1427
14.11
15.( 3, 2]
16. ， ， ，
17.解：取 的中点 ，连接 ， ， ，
因为∠ = ∠ = 90°，所以 // ， = 2， = 1，
// = 1因为 ， 分别是 ， 中点，得出 ， 2 = ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 // ， 平面 ， 不在 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
又因为 = 2 + 2 = 2， = 2 + ( )2 = 12 + (2 1)2 = 2，
所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
又因为 ∩ = ，且 ， 平面 ，
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所以 ⊥平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
过 在平面 内作 ⊥ ，垂足为 ，
则∠ 为直线 与平面 所成角，

在直角三角形 中，tan∠ = tan∠ = =
1 = 2，2 2

所以∠ = 4，
故直线 与平面 所成角为4．
18.解：(1) = 3 3cos2 = 32 2
3 3
2 2 2 = 3sin(2

6 )
3
2 ，
所以 ( ) = 3sin(2 6 )，最小正周期为 ，
令 ( ) = 0，即 sin(2 6 ) = 0，
所以 2 6 = ( ∈ )，则函数 = ( )

的零点为 = 2 + 12 ( ∈ )；
(3) ( ) = 3，即 sin(2 6 ) = 1，
4+ 2 7 1
因为 为三角形内角，所以 = 3， = 2×2× = 2，
即 2 2 3 = 0，解得 = 3，
所以△ 1的面积为2 = 3 ×
3 = 3 32 2 ．
5
19. 1 1解：(1)二项展开式的通项公式为 3 +1 = ( ) ( 3 62 ) = ( 2 ) ，
2 21 = 1 + 所以前三项的系数为 ，2， 8 ，所以 8 ，即
2 9 + 8 = 0 解得 = 8 或 = 1，
8 5
因为 ≥ 2，所以 = 8，所以 1 +1 = ( 2 ) 8 3
6 ，
8 5
所以3 6 为整数，所以 为 2，8，
1
所以 = ( 2 23 2 ) 8 = 7
1 8 8 4 1 4
9 = ( 2 ) 8 = 256 ，
1
综上可得：展开式中的有理项为 3 = 7 ， 9 = 256
4；
(2)令 = 1，得 0 + 1 + 2 + + 8 = (1 + 2)8 = 38 = 6561，
二项展开式的通项公式为 = (2 ) = +1 8 82 ，
所以 = 82 ( = 0,1,2, …, 8)，
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2 8 ≥ +18 2 +1假设系数 最大，则 1 1，解得 5 ≤ ≤ 6， 82 ≥ 8 2
所以 5 = 6 = 1792，所以系数最大的项为 1792 5和 1792 6．
20.解：(1)以 为坐标原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则 (100,0)， (50,50)， (0,60)，
设曲线段 所在抛物线的方程为 = 2 + ( < 0)，
由题意可知，点 (0,100)和 (50,50)在此抛物线上，
故 = 0.02， = 100，
所以曲线段 的方程为： = 0.02 2 + 100(0 ≤ ≤ 50)；
(2)由题意，线段 的方程为： = + 100(50 ≤ ≤ 100)
当点 在曲线段 上时， = ( 0.02 2 + 100)(30 ≤ ≤ 50)，
当点 在线段 上时， = ( + 100)(50 ≤ ≤ 70)，
( ) = ( 0.02
2 + 100), 30 ≤ ≤ 50
所以 ( + 100), 50 < ≤ 70 ，
(3)当 30 ≤ ≤ 50 时， ′( ) = 0.06 2 + 100，
令 50 6′( ) = 0，得 1 = ，3 =
50 6
2 (舍去)，3
当 ∈ [30, 50 6 时，3 ) ′( ) > 0；当 ∈ (
50 6 , 50]时，3 ′( ) < 0，
因此当 = 50 6时， = ( 50 6 ) = 1000 6是极大值，也是最大值．3 3 9
当 50 < ≤ 70 时， ( ) = ( 50)2 + 2500，
当 = 50 时， = (50) = 2500 是最大值．
因为10000 6 ，
9 > 2500
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所以 = 50 6时， 取得最大值，此时3 (
50 6 , 200 )，3 3
所以当点 在曲线段 上且其到 的距离约为 66.7 米时，游乐场的面积 最大．
21.解：(1)由 ( ) = (2 + 1) 2 ， > 0，
则 ′( ) = 2 +1 + 2 2，
因为 = 1 是函数 = ( )的驻点，
所以 ′(1) = (2 + 1) + 2 = 0，解得 = 1．
(2)由 ( ) = (2 + 1) 2 ， > 0，
( ) = 2 +1 + 2 =
2 (2 +1) +2 = ( 1)( 2)则 ′ 2 2 2 ，
令 ′( ) = 0 1，得 = 或 = 2，
1 (
1
2 1)( 2) = ( ) = = 1 ( 2)
2
当 2时， ′ 2 2 2 ≥ 0，
则函数 ( )的单调递增区间为(0, + ∞)，无单调递减区间；
> 1 1 < 2 1当 2时， ，令 ′( ) > 0，得 0 < < 或 > 2；
令 1′( ) < 0，得 < < 2，
1 1
所以函数 ( )的单调递增区间为(0, )和(2, + ∞)，单调递减区间为( , 2)．
1
综上所述，当 = 2时，函数 ( )的单调递增区间为(0, + ∞)，无单调递减区间；
当 > 1 1 12时，函数 ( )的单调递增区间为(0, )和(2, + ∞)，单调递减区间为( , 2)．
(3)当 = 2 2时， ( ) = 2 5 ，
由(2)知，函数 ( )在[1,2]上单调递减，在(2, ]上单调递增，
且 (1) = 0， ( ) = 2 5 2 < 0，
所以当 ∈ [1, ]时， ( ) = (1) = 0，
由题意，对于任意的 ∈ [1, ]， ( ) ≤ 3，
即为存在 ≥ 1，且 ∈ ，使得 0 ≤ 3 成立，
设 ( ) = 3， ≥ 1，且 ∈ ，则 ′( ) = 1 > 0 恒成立，
所以函数 ( )在[1, + ∞)上单调递增，
又 (3) = 3 < 0， (4) = 1 4 > 0，
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所以要使 0 ≤ 3 成立，则 ≥ 4， ∈ ．
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