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2024-2025 学年天津市塘沽紫云中学教育集团校高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1. + =( )
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是( )
A.三点确定一个平面 B.梯形确定一个平面
C.两条直线确定一个平面 D.四边形确定一个平面

3.复数 满足 (5 + 12 ) = 13 ，则 的虚部为( )
A. 12 5 12 13 B. 13 C. 13 D.
5
13
4.如图， 为 的边 上的中线，且 = , = ，那么 为( )
A. 2
B. 2
C. 2 +
D. + 2
5.四边形 直观图为如图矩形 1 1 1 1，其中 1 1 = 2， 1 1 = 1，则 的周长为( )
A. 8
B. 10
C. 12
D. 16
6.“ < 0”是“复数 2 + (2 ) 在复平面内对应的点在第一象限”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若棱长为 2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. 12 B. 24 C. 36 D. 144
8.在△ 中，若 = 4， = 5 ， = ，则 6
=( )
A. 10 3 B. 5 3 C. 10 D. 10 3
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9.设 ， 为空间两条不同的直线， ， 为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若 ⊥ ， // ，则 ⊥ ；
②若 // ， // ，则 // ；
③若 ， 且 // ， // ，则 // ；
④若 ⊥ ， // 且 // ，则 ⊥ ．
其中所有正确命题的序号是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
10.设 ， ∈ ，向量 = ( , 1)， = (1, )， = (2, 4)，且 ⊥ ， / / ，则
| + | =( )
A. 5 B. 10 C. 2 5 D. 10
11.在△ 中， 2 + = 2 ，则△ 的形状为( )
A.等边三角形 B.等腰三角形或直角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
12.正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正
多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种
柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一
个正八面体 的棱长都是 3(如图)，则下列说法错误的是( )
A. ⊥
B.直线 与平面 所成的角为 60°
C.若点 为棱 9 2上的动点，则三棱锥 的体积为定值 4
D. + 3( 6+ 2)若点 为棱 上的动点，则 的最小值为 2
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
13. 是虚数单位，若复数 = (1 + )(2 )( ∈ )为纯虚数，则 = ______．
14.在△ 中，∠ = 30°， = 2， = 2，那么 等于______．
15.已知向量 = (2,0)， = (1,1)，则 在 方向上的投影向量的坐标______．
16.已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______．
17 = 3+ .已知复数 1 2 ( ∈ )满足| | = 5，则 = ______．
18.如图， ， ， 分别是三棱锥 的棱 ， ， 的中点， = 10， = 6，
= 7，是三角形 的周长为______，异面直线 与 所成的角为______．
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19.立方、堑堵、阳马和鳖臑等这些名词都出自中国古代数学名著《九章算术 商功》，在《九章算术 商功》
中有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”意思是说：把一块长方体
沿斜线分成相同的两块，这两块叫“堑堵”，如图，
再把一块“堑堵”沿斜线分成两块，其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为“阳马”，余
下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”，如图，
现有一四面体 ，已知 = 2， = 3， = 4， = 5， = 13， = 29，根据上述史料中
“鳖臑”的由来，可求得这个四面体的体积为 ，及该四面体的外接球的体积为 ．
20.在菱形 中， = 6，∠ = 60°， = 2 ， = 2 ，已知点 在线段 上，且 = + 12
，
则| | = ______，若点 为线段 上一个动点，则 的最小值为______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题 12 分)
已知向量 ， 满足 = (2,1)， = (1, 3)．
(Ⅰ)求向量 ， 的数量积 ；
(Ⅱ)求向量 ， 夹角 的余弦值；
(Ⅲ)求| + 2 |的值．
22.(本小题 12 分)
如图，四棱柱 1 1 1 1的底面 是菱形， 1 ⊥平面 ， = 1， 1 = 2，∠ = 60°，
点 为 1的中点．
(1)求证：直线 1//平面 ；
(2)求证： 1 ⊥ ；
(3)求二面角 1 的余弦值．
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23.(本小题 13 分)
在△ 3中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 = 5， = 11， = 5．
(1)求 的值；
(2)求△ 的面积；
(3)求 sin( )的值．
24.(本小题 13 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， = ， ⊥ ， 为 上的点，且 ⊥
平面 ．
(Ⅰ)求证：平面 ⊥平面 ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(Ⅲ)在棱 上是否存在一点 ，使 //平面 ，若存在，求 的长；若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 2
14. 22
15.(1,1)
16.2 2
17.±4
18.15 3
19.4 29 29 ； 6
20.7 374
21.解：(Ⅰ) ∵ = (2,1)， = (1, 3)，
∴ = 2 × 1 + 1 × ( 3) = 1；
(Ⅱ) ∵ = (2,1)， = (1, 3)，
∴ | | = 5，| | = 10，

∴ = = 1 = 2；
| || | 5× 10 10
(Ⅲ) ∵ + 2 = (2,1) + 2(1, 3) = (4, 5)，
∴ | + 2 | = 42 + ( 5)2 = 41．
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22.解：(1)证明：连接 交 于点 ，连接 ，如图，
则 为 的中点，
由于 是 1的中点，故 // 1，
∵ 平面 ， 1 平面 ，
∴ 1//平面 ；
(2)证明：在四棱柱 1 1 1 1中，底面 是菱形，则 ⊥ ，
又 1 ⊥平面 ，且 平面 ，则 1 ⊥ ，
∵ 平面 1 1， 1 平面 1 1， ∩ 1 = ，
∴ ⊥平面 1 1，又 1 平面 1 1，
∴ 1 ⊥ ；
(3)连接 1 ， 1 ，
∵ = ， 是 的中点，∴ ⊥ ，
∵ 1// 1， 1 ⊥平面 ，∴ 1 ⊥平面 ，
又 平面 ，∴ 1 ⊥ ，
由底面 是菱形，得 ⊥ ，
又 1 ∩ = ， 1， 平面 1 1，
∴ ⊥平面 1 1，又 1 平面 1 1，
∴ 1 ⊥ ，
则∠ 1 为二面角 1 的平面角，
1 = 22 + (
1 )2 17，2 = 2 = 1
2 + ( 1 2 5， 2 22 ) = 2 1 = 1 + 1 = 2，
17+5 2
由余弦定理可知 cos∠ 1 = 4 4 =
7 85
2× 17 5 85
，
2 × 2
∴二面角 1 的余弦值为
7 85．
85
23.解：(1)在△ 中，因为 = 5， = 11， = 35，
所以由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，
得 = 52 + 112 2 × 5 × 11 × 35 = 4 5；
(2)在△ 3中，因为 = 5， = 11， = 5，
4
则 ∈ (0, 2 )， = 1 cos
2 = 5，
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1
所以△ 的面积 = 2 =
1
2 × 5 × 11 ×
4
5 = 22；
(3) 在△ 中，由正弦定理 = ，
= 可得 =
5 4 5
4 5 × 5 = 5 ，
= 5 < 4 5 = ，所以 < ，
又 ∈ (0, 2 ) = 1 sin
2 = 2 5， 5 ，
sin( ) = = 5 × 3 2 5 4 5所以 5 5 5 × 5 = 5 ．
24.(Ⅰ)证明：∵ ⊥平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
(Ⅱ)解：作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ，则∠ 为直线 与平面 所成角．
∵ = ， ⊥ ， = 2，
∴ = 1, = 2，
△ 中，由勾股定理得 = 6，
∴ sin∠ = 6；6
(Ⅲ)解：作 // ，交 于 ，
∵ // ， // ，
∴ // ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
∵ ⊥平面 ，
∴ ⊥ ．
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∵ = 6，3 ∴ =
6，
3
∴棱 上存在一点 ， = 6，使 //平面 ．3
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