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2024-2025 学年北京 166 中高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.若集合 = { 2, 1,0}，集合 = { ∈ | = 1 }，则 ∩ 等于( )
A. { 1,0,1} B. { 2, 1,0,1} C. {0} D.
2.已知 ， ∈ ，且 > ，则下列各式中一定成立的是( )
A. 1 < 1 B.
3 > 3 C. > 2 D. 2| | > 2| |
3.在( 2 6 ) 的展开式中，常数项为( )
A. 20 B. 20 C. 160 D. 160

4.设函数 ( ) = 2 2 + 1 ( + ) ( )，若 → 0 0 0 = 8，则 0 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.若函数 ( ) = ln( + )的图象如图， 为常数.则函数 ( ) = + 的图象是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数 ( ) = 2 在区间(1,2)上单调递增，则实数 的值可以为( )
A. 1 B. 0 C. 13 D. 1
7.“ 1 ≤ ≤ 1”是“不等式 2 2 + 1 ≥ 0 在 ∈ (0, + ∞)上恒成立”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.由四名员工负责五月一日和五月二日某单位的白天值守工作.每天从这四人中任选两人值班，则恰好有一
人这两天都在单位值守的安排方案的种数是( )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 36
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29.已知椭圆 ： 5 +
2 = 1 的左、右焦点分别为 1、 2，直线 = ( 2 < < 2)与 交于 ， 两点，
若△ 1 的面积是△ 2 面积的 2 倍，则 =( )
A. 4 B. 1 C. 23 3 D.
2
3
10.进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为 0，1 信号数码进行发送与接收的.在信道内传输 0，1
信号，信号的传输相互独立.发送 0 时，接收方收到 0(正确)的概率为 ，收到 1(错误)的概率为 1 ；发送
1 时，接收方收到 1(正确)的概率为 ，收到 0(错误)的概率为 1 .考虑两种传输方案：单次传输和三重传
输.单次传输是指每个信号只发送 1 次，三重传输是指每个信号重复发送 3 次.无论哪种方案，接收方收到的
信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数
最多的即为译码(例如，若依次收到 1，0，1，则译码为 1).下列结论中正确的是( )
A.采用单次传输时，若依次发送 1，0，1，则依次收到 1，0，1 的概率为(1 ) × 2
B.采用三重传输时，若发送数码 0，则译码为 0 的概率为(1 ) 2 + 3
C.发送 0，若 0.5 < < 1，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率
D.当 = 时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.动点 在圆 ： 2 + 2 6 8 + 21 = 0 上运动，则点 到 轴的最近距离是______．
12.双曲线 的焦点在 轴上，渐近线方程为 =± 2 ，焦距为 2 5，则双曲线 的方程为______．
13.李红同学想到一个命题：“设函数 ( )的定义域为区间 ，若导函数 ′( )在区间 上单调递增，则函数
( )在区间 上也单调递增”.王正同学想举反例说明这个命题是假命题，但又苦于找不到合适的函数 ( )，
你能找到一个函数 ( )作为反例吗？答： ( ) = ______. (写出一个具体的函数解析式)
14.现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多 2 人，但其中甲教师
和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有______种．(用数字作答)

15.已知函数 ( ) = , > ( ≤ 0)．
, ≤
(1) = 0 时，函数 ( )的最小值为______；
(2)设函数 ( )的值域为 ，若( ∞,0) ，则实数 的取值范围是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 13 分)
长方体 1 1 1 1中， 为棱 1的中点， = 1， = 2， 1 = 2 2．
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( )求证： ⊥平面 1 ；
(Ⅱ)求平面 1与平面 1 的夹角的余弦值．
17.(本小题 14 分)
设函数 ( ) = 3 3 2．
(Ⅰ)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(Ⅱ)求函数 ( )的极值；
(Ⅲ)求函数 ( )在区间[ , ]( > 0)上的最大值．
18.(本小题 13 分)
一个不透明的袋子中有若干个除颜色以外完全相同的小球，白球有 个，黑球有 个，其余 个球均为红球．
( )设 = 6， = 4， = 0，小杨同学每次从袋中随机取一个球记录颜色后放回袋中，如此这般共取三次，
求记录中恰好有两次白色的概率；
(Ⅱ)设 = 6， = 4， = 0，小衡同学从袋中随机抽取两个球，设这两个球中黑球的个数为 ，求 的分布
列与期望；
(Ⅲ)设 = 100， = 100， = 100，小石同学从袋中随机抽取三个球，设事件 为“三个球的颜色都相同”，
设事件 为“三个球的颜色各不相同”，请比较事件 与事件 发生概率的大小关系. (直接写出结果即可)
19.(本小题 15 分)
设 ≥ 0，函数 ( ) = 1, ( ) = ( + 1) + 1 ．
( )讨论函数 ( ) ( )的单调区间；
(Ⅱ) 1求证：当 = 2时，不等式 ( ) ≤ ( )在区间[1, ]上恒成立；
(Ⅲ) > 0 时，直线 = 1 是否有可能为曲线 = ( )的切线，请说明理由．
20.(本小题 15 分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上有一点 (1,2)，直线 ： = + 2．
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( )求抛物线 的方程；
(Ⅱ)在抛物线 上任取一点 (异于点 )，已知直线 与直线 交于点 ，过点 与 轴平行的直线与抛物线 交
于点 .证明：直线 与直线 = 2 交于定点．
21.(本小题 15 分)
对于数列{ }，记 = { 1, 2, …, }( = 1，2，3，…)，其中 { 1, 2, …, }表示 1， 2，…， 这
个数中最大的数.并称数列{ }是{ }的“控制数列”，如数列 1，2，3，2 的“控制数列”是 1，2，3，3．
(Ⅰ)若各项均为正整数的数列{ }的“控制数列”为 1，3，4，4，写出所有的{ }；
(Ⅱ)设 = 2 2 ( ∈ )．
( ) 当 > 0 时，证明：存在正整数 ，使 ， +1， +2 +1 +2，…是等差数列；
(ⅱ)当 ∈ [ 2,2] 时，求 1 + 21 2 +
3
3 +
4
4的值(结果可含 )．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.2
12. 2
2
4 = 1
13. 2， ∈ (答案不唯一)
14.54
15. 1 ； ( ∞, 1]．
16.(Ⅰ)证明：以 为坐标原点，以 ， ， 1所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
因为 为棱 1的中点， = 1， = 2， 1 = 2 2，
可得 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,1,0)， (0,0, 2)， 1(2,1, 2)， 1(0,1,2 2)，
可得 = ( 2,0, 2)， = (0,1,0)， 1 = (2,1, 2)，
因为 = 2 × 0 + 0 ×× 1+ 2 × 0 = 0，
1 = 2 × 2 + 0 × 1 + 2 × 2 = 0，
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与 1不共线，所以 为平面 1 的法向量，
所以 ⊥平面 1 ；
(Ⅱ)解平面 1的法向量为 = ( , , )， = ( 2, 1, 2)， 1 = (0,1, 2)，
= 0 2 + 2 = 0
则
，即 ，
1 = 0 + 2 = 0
令 = 1，可得 = ( 2, 2, 1)，
(1) 1由 可得平面 1 的法向量为 = 2 = ( 2, 0, 1)，
= 2 × 2 + 0 1 = 1，| | = 2 + 0 + 1 = 3，| | = 2 + 2 + 1 = 5，
设平面 1与平面 1 的夹角为 ，
则 = |cos < 1 15， > | = | | | = ．| | | 3× 5 = 15
17.解：(Ⅰ)函数 ( ) = 3 3 2，则 ′( ) = 3 2 6 ，
则 ′(1) = 3，又 (1) = 2，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 ( 2) = 3( 1)，
即 3 + 1 = 0；
(Ⅱ) ( )的定义域为 ， ′( ) = 3 2 6 = 3 ( 2)，
令 ′( ) = 0，可得 = 0 或 = 2，
当 < 0 或 > 2 时， ′( ) > 0，当 0 < < 2 时， ′( ) < 0，
所以 ( )在( ∞,0)和(2, + ∞)上的单调递增，在(0,2)上单调递减，
所以函数 ( )的极大值为 (0) = 0，极小值为 (2) = 4；
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 ( )的大致图象如图所示：
令 ( ) = 0，即 3 3 2 = 0，解得 = 0 或 = 3，
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所以当 0 < ≤ 3 时，函数 ( )在区间[ , ]( > 0)上的最大值为 (0) = 0，
当 > 3 时，函数 ( )在区间[ , ]( > 0)上的最大值为 ( ) = 3 3 2．
18.解：(Ⅰ)根据题意， = 6， = 4， = 0，小杨同学每次从袋中随机取一个球记录颜色后放回袋中，
6 3
则其每次取到白色球的概率 = 6+4 = 5，
3
如此这般共取三次，记录中恰好有两次白色的概率 = 2 × ( )21 3 5 × (1
3 ) = 545 125；
(Ⅱ)根据题意， = 6， = 4， = 0， 可取的值为 0、1、2，
2
( = 0) = 6 = 15 1
1 1 2
2 45 = 3， ( = 1) =
6 4 = 242 45 =
8
15， ( = 2) =
4 = 6 = 22 45 15， 10 10 10
则 的分布列为
0 1 2
1 8 2
3 15 15
( ) = 0 × 13+ 1 ×
8 + 2 × 215 15 =
4
5；
3 1 1 1 6
(Ⅲ)根据题意， ( ) = 3 1003 ， ( ) =
100× 100× 100 = 10 ，
300
3
100
3
100
由于106 > 3 3100，故 ( ) > ( )．
19.解：( )设 ( ) = ( ) ( ) = 1 ( + 1) 1 ，其定义域为(0, + ∞)．
2
对 ( ) +1 1 ( +1) +1 ( 1)( 1)求导得： ′( ) = + 2 = 2 = 2 ．
当 = 0 时， ′( ) = ( 1) 2 ．
令 ′( ) > 0 ( 1)，即 2 2 > 0，因为 > 0，所以 ( 1) > 0，解得 0 < < 1；
令 ′( ) < 0，解得 > 1．
所以 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减．
当 0 < < 1 1时， > 1．
令 ′( ) > 0 ( 1)( 1)，即 2 > 0，解得 0 < < 1
1
或 > ；
令 ′( ) < 0 1，解得 1 < < ，
1 1
所以 ( )在(0,1)和( , + ∞)上单调递增，在(1, )上单调递减．
2
当 = 1 时， ′( ) = ( 1) 2 ≥ 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
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当 > 1 1时，0 < < 1．
( 1)( 1) 1令 ′( ) > 0，即 2 > 0，解得 0 < < 或 > 1；
令 ′( ) < 0 1，解得 < < 1，
( ) (0, 1 ) (1, + ∞) ( 1所以 在 和 上单调递增，在 , 1)上单调递减．
综上，当 = 0 时， ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减；
1
当 0 < < 1 时， ( )在(0,1)和( , + ∞) (1,
1
上单调递增，在 )上单调递减；
当 = 1 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
1
当 > 1 时， ( )在(0, )和(1, + ∞)
1
上单调递增，在( , 1)上单调递减．
(Ⅱ) = 1 3 1 1证明：当 2时，设 ( ) = ( ) ( ) = 2 + 2 + 1. ∈ [1, ]．
2
对 ( ) 3 1 1 +3 2 ( 1)( 2)求导得： ′( ) = 2 2 2 = 2 2 = 2 2 ，
当 ∈ [1,2 时， ′( ) ≥ 0， ( )单调递增；
当 ∈ [2, ]时， ′( ) ≤ 0， ( )单调递减．
(1) = 3 1 + 1 1 × 1 + 1 = 3 ( ) = 3 12 1 2 2， 2 +
1
2 + 1 =
5+ 1 12 2 ，
2 2
( ) (1) = 5+ 12
1 3 = 1 + 1 1 = 2 +2 = ( 2 2)2 2 2 2 2 < 0，
所以 ( ) = (1) =
3
2 > 0，即 ( ) ( ) ≥ 0，所以 ( ) ≤ ( )在区间[1, ]上恒成立．
(Ⅲ)假设直线 = 是曲线 = ( )的切线，设切点为( 0, 0)，
+1 1 +1 1′( ) = 2，则切线斜率 = 0 2
①，
0
且 0 = ( + 1) 0 +
1
= 0 1②.0
由①得 20 ( + 1) 0 + 1 = 0，即( 0 1)( 0 1) = 0
1
，解得 0 = 1 或 0 = ，
当 0 = 1 时，代入②得 1 = 1，解得 = 2．
1 1
当 0 = 时，代入②得( + 1)ln + = 1 1 = 0，即( + 1)ln
1
+ = 0，
设 ( ) = ( + 1)ln 1 + ， > 0，
对 ( )求导得： ′( ) = ln 1
+1
+ 1 = ln
1 1
．
令 ( ) = ln 1 1 1 1 1 ，对 ( )求导得 ′( ) = + 2 = 2 ．
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当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 > 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减．
( ) = (1) = 1 1 = 1 < 0，所以 ′( ) < 0， ( )在(0, + ∞)上单调递减．
又 (1) = (1 + 1) 1 + 1 = 1 > 0， →+∞时， ( ) → ∞，所以存在唯一的 0 ∈ (1, + ∞)，使得 ( 0) = 0，
所以当 > 0 时，直线 = 1 有可能为曲线 = ( )的切线．
20.解：(Ⅰ)因为点 (1,2)在抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上，
所以 4 = 2 ，解得 = 2，
所以抛物线 的方程为 2 = 4 ．
2
(Ⅱ)证明：设 ( 0, 0)

，则 = 00 4，
2
2 2 3 +4 0 3 0+4 2( 4)
则直线 的方程为 2 = 0 1 ( 1)，与直线 ： = + 2 联立，解得 =
0 0 = 2 = 0 ，
0 0 0+1 20 0 2
4 0+1
2 2 2
则 = 2( 0 4) = = ( 0 4) ( 0 4) 2( 0 4) 0 2
，所以 4 ( 2，即 ( ,0 2) ( 0 2)2 0 2
)，
2( 0 4)0 2 2
= 0 2 = 4( 0 2)( 0 4 0+8) = 4( 0 2)( 0 4 0+8) 4( 2)则 2 =
0 ，
0 ( 4)
2 4 4 3+32 64 ( 2 8)( 2 4 +8) 20 0 0 0 0 0 0 0 8
4 ( 0 2)2
4( 2)
2
所以直线 的方程为 0 00 = 2 ( 4 )， 0 8
2 2
令 = 2，则 0 (2 0)( 0 8)4 = 4( 2) ，化简得 = 2，0
即直线 与直线 = 2 的交点为(2,2)，为定点．
21.解：(Ⅰ)数列{ }的各项为：1，3，4，1，1，3，4，2，1，3，4，3，1，3，4，4，……．
(Ⅱ)( ) 1当 > 0 时， ( ) = 2 2 的对称轴为 = ，
∴ > 1当 时单调递增，由于 = 1，2，3，……，
1
所以当 = [ ] + 1， ≥ 时，有 = ，

由于 = 2 是等差数列，

所以存在正整数 ，使 ， +1 ， +2 +1 +2，…是等差数列．
( ) ( ) = 2 2 1的对称轴 = ，由于 = 1，2，3，……，
1 = 2， 2 = 4 4， 3 = 9 6， 4 = 16 8，
①当 ∈ [ 2, 25 )时，此时 1 = 2 最大，
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由于 = { 1, 2, ……, }( = 1，2，3……)，
所以 1 = 2 = 3 = 4 = 1 = 2，

所以 1 + 2 + 3 41 2 3 + 4 = ( 2)(
1 + 1 + 1 11 2 3+ 4 ) =
25( 2)
12 ，
②当 ∈ ( 25 ,
1
2 ]时， 1 = 2 = 3 = 1 = 2， 4 = 4，
35 34
所以 11 +
2 3 4
2 + 3 + 4 = 6 ，
∈ ( 1③当 2 ,
2
3 ]时，
2 1 = 3 2 < 0， 3 1 = 8 4 > 0， 1 = 2 = 1 = 2， 3 = 3， 4 = 4，

所以 1 + 2 + 3 + 4 = 1 + 1 + 3 + 4 = 17 141 2 3 4 1 2 3 4 2 ，
④当 ∈ ( 23 , 1]时， 2 1 = 3 2 > 0，
故 = ，

所以 1 + 2 + 3 + 4 = 1 + 2 + 3 + 41 2 3 4 1 2 3 4 = 10 8，
⑤当 ∈ (1,2]时， ( ) 1开口向上，对称轴为 = < 1，
所以 = 2 2 单调递增，所以 = ，

则 11 +
2 3 4 1 2
2 + 3 + 4 == 1 + 2 +
3 + 43 4 = 10 8，
25( 2)
12 , 2 ≤ ≤
2
5
35 34 2 1
, < ≤
综上所述， 1
2 3 4 6 5 2
1 + 2 + 3 + 4 = 17 14 1 2 ．
2 , 2 < ≤ 3
10 8, 23 < ≤ 2
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