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2024-2025 学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在以下调查中，适合用普查的是( )
A.调查某批次汽车的抗撞击能力 B.调查一批 灯的寿命
C.调查某城市居民的食品消费结构 D.调查一个班级学生的身高情况
2.函数 ( )在定义域内可导且导函数为 ′( )，且 ′( )的图象如图所示，则 ( )
的图象可能是( )
A. B.
C. D.
3.若一个三位数的各位数字之和为 10，则称这个三位数为“十全十美数”，如 208，136 都是“十全十美
数”，则这样的“十全十美数”共有( )个
A. 32 B. 64 C. 54 D. 96
4.设 ， 为非负整数， 为正整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ≡ ( ).
若 为质数， 为不能被 整除的正整数，则 1 ≡ 1( )，这个定理是费马在 1636 年提出的费马小定理，
它是数论中的一个重要定理.现有以下 2 个命题：
①250 + 1 ≡ 2( 7)；
②对于任意正整数 ， 13 = 0( 7)．
则下列说法正确的是( )
A.①真②真 B.①假②真 C.①真②假 D.①假②假
二、填空题：本题共 12 小题，共 60 分。
5.已知集合 = {1,2,3}， = { | 2 < 8}，则 ∩ = ______．
6 = 4 .复数 1 2 的虚部为______．
7.从 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是______．
8.已知向量 与 的夹角为 120°， = (2,0)，| | = 1，则 = ______．
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9.甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为 0.8 和 0.6，两人同时命中的概率为 0.5，则甲、乙两人至少
有一人命中的概率为______．
10 2.在( 2 )
9的展开式中，常数项为______．
11.已知甲、乙两组数据分别为两组学生射击移动靶时的命中率，其茎叶图如图所
示.其中 ， ∈ .若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则 = ______．
12.若( + 5)2025 = 0 + 1 + 2 2 + + 20252025 ， = 0 + 1 + 2 + + 2025，则 被 7 除所得的余
数为______．
13 1 .已知函数 ( ) = 2 , ∈ [ 2 , 2 ]，则 ( )的最小值为______．
14.“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就.在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字 1，余下的数
逐行从左到右排列，得到数列{ }为 2，3，3，4，6，4，5，10，…，若 = 10， ∈ ，则 的最大值
为______．
15.某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为 ，左右两端均为半球形，其半径为 ，
若其表面积为 ，则胶囊的体积 取最大值时 = ______．
16.设 1、 2、 、 8是 1、2、3、4、5、6、7、8 的一个排列， = { | = | 1 2| + | 3 4| + | 5 6| + | 7
8|}，则集合 中所有元素的和为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = = 1 = 1．
(1)求该直三棱柱的侧面积和体积；
(2)求直线 1 与 1所成的角．
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18.(本小题 14 分)
已知 ( ) = 3 + cos2 12．
(1)求函数 = ( )的单调减区间；
(2)求函数 = ′( )的最小值，以及取最小值时自变量 的取值．
19.(本小题 14 分)
某学校高一年级的学生有 1200 人，其中男生 800 人，女生 400 人，为了了解高一年级学生的身高信息，
采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表：
高一女生身高样本的频率分布表
组别 频数频率
[140,148) 4 0.10
[148,156) 8
[156,164)
[164,172) 12 0.30
[172,180) 2 0.05
(1)求 的值.并利用高一男生身高频率分布直方图来估计男生样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的
中点值做代表)；
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(2)若女生身高的样本方差为 70.4，男生身高的样本方差为 89，请根据题目图表所给信息，求高一年级学生
身高的样本平均数和方差．
20.(本小题 14 分)

2 2 3
已知椭圆 ： 12 + 2 = 1( > > 0)过点(3, 2 )，其右焦点为 .过点 作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆
交于 ， 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点，且直线 与直线 ： = 4 交于点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 = 2 ，求直线 的方程；
(3)是否存在实数 ，使得| | = | + |恒成立？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由．
21.(本小题 14 分)
已知函数 = ( )， 为坐标平面上一点.若函数 = ( )的图像上存在与 不同的一点 ，使得直线 是函
数 = ( )在点 处的切线，则称点 具有性质 ．
(1)若 ( ) = 2，判断点 (1,0)是否具有性质 ，并说明理由：
(2)若 ( ) = 3 3 ，证明：除原点外函数 = ( )的图像上所有的点均具有性质 ；
(3)若 ( ) = ，证明：“点 ( , )具有性质 ”的充要条件是“ < ”.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.{1,2}
6. 12
7.25
8. 1
9.0.9
10.672
11.24
12.6
13. 3 2 12
14.45
15. 4
16.70
17.解：(1)根据题意可得该直三棱柱的侧面积为 2 × 1 × 1 + 2 × 1 = 2 + 2；
1
该直三棱柱的体积为2 × 1 × 1 × 1 =
1
2；
(2)根据题意可将直三棱柱 1 1 1补全成如图所示的正方体：
易知 1 // 1 ，且三角形 1为等边三角形，
∴直线 1 与 1所成的角为∠ 1 = 60°．
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18. 3 1 解：(1)由题意得 ( ) = 2 2 + 2 2 = sin(2 + 6 )，
3 2
由2 + 2 ≤ 2 + 6 ≤ 2 + 2 ( ∈ )，解得6 + ≤ ≤ 3 + ( ∈ )，
( ) 2 所以 的单调递减区间为[ 6 + , 3 + ]， ∈ ；
(2) 求导数得 = ′( ) = 2 (2 + 6 )，根据余弦函数的性质，

可知当 2 + 6 = + 2 ( ∈ ) =
5
时，即 12 + ( ∈ )时， ′( )取得最小值 2．
即函数 = ′( )的最小值为 2 5 ，取最小值时自变量 的取值集合为{ | = 12 + , ∈ }．
19.解：(1)因为[140,148)的频数为 4，频率为 0.1，
14
所以样本容量为 40，则 = 14，所以 = 40 = 0.35；
由男生样本的频率分布直方图知：

平均数为 1 = 150 × 0.1 + 160 × 0.2 + 170 × 0.4 + 180 × 0.3 = 169；
(3)由女生样本的频率分布表可知：

平均数为 2 = 144 × 0.1 + 152 × 0.2 + 160 × 0.35 + 168 × 0.3 + 176 × 0.05 = 160，
2 1
所以高一年级学生身高的样本平均数为 = 3 × 169 + 3 × 160 = 166，
因为女生身高的样本方差为 70.4，男生身高的样本方差为 89，
2
所以方差为 2 = 3 × [89 + (169 166)
2] + 13 × [70.4 + (160 166)
2] = 100.8，
所以估计高一年级全体学生身高的样本平均数为 166，方差为 100.8．
20.解：(1)因为点(3, 32 )在椭圆
9 3
上，所以12 + 4 2 = 1，解得 = 3，
2

2
所以椭圆 的标准方程为：12 + 3 = 1．
(2)由 = 2 可得( , ) = 2( ,
2 8
)，可得： = 3 = 3，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，直线 的方程为 = ( 3)，
= ( 3)
联立 2 2 ，消去 得(1 + 4 2) 2 24 2 + 36 2 12 = 0，
12 + 3 = 1
为线段 的中点，则 1 + 2 = 2 ，
24 2 = 16即1+4 2 3，解得： =± 2，
所以直线 的方程为 =± 2( 3)．
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(3) ( , ), ( , ), ( , ), + = 2 , + = 2 , 1+ 设 2 31 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 = ，1+ 2 3
2 21 + 112 3 = 1 2 2 2 2由 ，两方程相减得 1 2 1 2 ( 1 2)( 1+ 2) 1
22
2
2 12
+ 3 = 0，即( = ，
+ = 1 1 2
)( 1+ 2) 4
12 3
1 1
所以 1 2 3 1 2
= 4，即 = ，3 4
又 =
1 3 3 3
= 3，所以 =
1 ，因为 1 1 4 = 4，所以 = ，即 (4, )，1 1 1 1
= (4 , 3 11 1),
= ( 1 3, 1), = (1,
3 1
)，1 1
+ = ( 2, 3 11 + 1)，1
3 1 2 3 1 2
|
2
|2 (4 1) +(
2 2
=
1) 1 6 1+10+(1 =
) +
1 1
= 1，| + |2 ( 2)2+(3 1+ )2 2 6 +10+(3 1)2+ 21 1 1 1 1 1 1
| = |所以
|
= 1．
+ |
所以存在满足题意的 ，且 = 1．
21.解：(1)点 (1,0)具有性质 ，
理由如下：设 ( , 2)，因为 ′( ) = 2 ，
所以曲线 = ( )在点 处的切线方程为： = 2 2，
将点 (1,0)坐标代入，得：2 2 = 0，所以 = 0 或 2，
即函数 = ( )的图像上存在与 不同的一点 (0,0)，
使得直线 是函数 = ( )图像在点 处的切线，故点 (1,0)具有性质 ；
(2)证明： ′( ) = 3 2 3 对称中心为(0,0)，
设 ( , 3 3 )， ( , 3 3 )，
函数 = ( )的图像在 处的切线方程为： = (3 2 3)( ) + 3 3 ，
因为点 在切线上，所以 3 3 = (3 2 3)( ) + 3 3 ，
化简可得( )2(2 + ) = 0，
当 = 0 时，只能 = = 0，
即 、 点皆为原点不符合性质 ，
当 ≠ 0 时， = 2 ≠ ，
即存在与 不同的一点 ，使得直线 是函数 = ( )在点 处的切线，命题得证．
(3)证明：设 ( , )，
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函数 = ( )的图像在 处的切线方程为： = + ，
必要性：若点 ( , )具有性质 ，则点 ( , )应满足方程 = + ，
令 ( ) = = + ，
则由 ′( ) = 0 = 0，得： = ，
当 < 时， ′( ) < 0，当 > 时， ′( ) > 0，
故函数 = ( )在 = 时取得最小值 ( ) = 0，
因为 与 是不相同的点，
所以点 的横坐标 ≠ ，因此 > 0 即 < ，
充分性：当 < 时，令 ( ) = + = ( + 1) 对于函数 = ( )，
当 趋向+∞时， ( )趋向 ∞，又 ( ) = > 0，
故关于 的方程 ( ) = 0 必然有解，
即存在点 ( , )使得直线 是函数 = ( )的图像的切线，
所以点 ( , )具有性质 ，
综上所述，“点 ( , )具有性质 ”的充要条件是“ < ．
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